Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Согласно т-1 и предположению имеем х + ~ х1= ~ ур Поскольку теорема. 1=1 верна при р=2, д=п, существуют дво такие конечные последоеп-1 вательности (г1), (г",) из п положительных членов, что ~ х;= =1 = ~ г,', х,„= ~ г"; и уг=г1!+г! для 1<)'<п. С другой стороны,. 1 ! ! ! поскольку теорема справедлива для р=т — 1 и д=п, сущестВуЕт даайкая ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ (и11)!я1я,р — 1 1я!<ч таКая, Чта.
и и-1 х1= ~ и!! для 1 <1<т — 1 и г,'= ~ и1; для 1 < !'<и. Полагая 1=1 1=1 г1;=ип при 1<1<т — 1 и г 1=г"; (1 <!'<и), получаем двойную последовательность, удовлетворяющую условиям теоремы. 3' Меняя роли элементов х! и уь видим точно так же, что если теорема варна для р=т и у<и(т> г, п) 2), то она справедлива для р = т, д = п. Таким образом, теорема доказывается двойной индукцией, отправляясь от случая р=-2, у=2. 253 упоРядочкнныв ГРуппы.
делимость Слкдствик. Пусть у, х„хг, ..., х„ зкительных элементов группы С, что — набор п+1 таких полов у < ~ хб тогда су»цестй(14.1<п) таких, что вуют и положительных элеменгпов в у~<х~ и у= Х у». «=! Достаточно применить теорему 1 и последовательности, состоящей из к последовательности х~ двух элементов у и г= =( ~ х~) — у. 11. Полозюмтелеэган гг отриц«гтелъная маеты Опгвдвлвник 4. В решеточно-упорядоченной группе С положшпельной частью (соответственно отрицательной частью, абсолютным значением) элемента х ~ С называется и обозначается через х+ (соответственно х, ~х~) элемент зир(х, 0) (соответственно зир ( — х, 0), зпр (х, — х)). Несмотря на свое яагванне, отрнцатвльнгя часть х- элемента г является волгмсителъвыл элементом.
Ясно, что х = ( — х)+ и ~ — х ~ — — ~ х ~. Отметим также следующие формулы, первая из которых есть непосредственное следствие определений и инвариантности порядка относительно сдвигов, а вторая выводится из первой при помощи предложения 7: зцр(х, у)=х+(у — х)+, 1п1(х, у)=у — (у — х)+.
(3) Пгвдложвнкв 9. а) Для каждого элемента и решеточно- упорядоченной группы С имеют место соотношенияс х=х+ — х и 1П1 (х+, х ) = О. б) л(ля каждого представления элемента х в виде разности двух положительных элементов х=и — о имеют место равенства: и=х»+ш, г=х +ю, где ш=1п1(и, и). Если, в частности, 1п1(и, г)=0, то и =х", о=х . в) отношение «х~у» эквивалентно «х+ 4у+ и х ~у» г) ) х ) = х+ + х > О. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ Н ПОЛЯ ГЛ. Ч1, 5 3 д) Какова бы ни были элемента х и у иг С, справедливо неравенство ) х+ у ) < ( х ~ -(- ! у! и более общее неравенсто ч ч ~ ~ х1~~~ (х;~ длл любого конечного семейства (х;) элементов 1=1 4 1 группы О. е) Какова ба ни бали элементы х и у иэ С, справедливо неравенство 'б' х ! — ! у ~(< ( х — у(.
Мы докажем одновременно а) и б). Если х=и — о, где и и о положительны, то и>х, аначит, и>ввр(х, 0)=х+, и элемент ю=и — х+ положителен. С другой стороны, хт — х=епр(х, 0) — х=эпр(х — х, — х)=х, откуда следует, что х=х+ — х и о — х =ю. Иэ г <х вытекает, что г<х+ — х и х <хе — г; если, кроме того, г<х~, то элемент х+ — г положителен, откуда хе<х+ — г в силу определения х+.
Итак, г <О, поэтому 1П((х~, х )=О, откуда, применяя сдвиг, 1П((и, о) =и. в) Иэ соотношения х < у следует, что эпр (у, 0) > х и акр(у, 0) > О, откуда х+~у"; иа — у< — х выводим точно так же х > у . Обратная импликация тотчас же получается иэ равенств х=х+ — х и у=у~ — у . г) Так как х <х+ и — х<х, ясно, что ~х|=эпр(х, — х) <х" +х . Обратно, из неравенств а > х и а > — х в силу в) следует, что а+>х+, а" > х, а <х, а <'х+.
Так как элемент а поло- жителен и 1п((х~, х ) =О, два последних неравенства показы- вают, что а =0 и а=а+; два первых дают тогда а> эпр(х+, х ), т. е. а больше элемента, равного х++х, в силу а) и предло- жения 7. д) Иа неравенств х <1 х) и у <~у! получаем х+у <)х(+(у(; иа неравенств — х < ~ х ~ и — у < ! у ! вытекает, что — х — у <: <(х(+(у(, откуда следует первое неравенство. Второе выводится индукцией по и. е) Заменяя в д) х и у на у и х — у, приходим к нера- венству )х) — (у( <)х — у); точно так же ! у ( — ) х ( < ! у — х ! = ~ х — у ~, откуда получаем сформулированный реэультат. гпогядочвнныв ггуппы. двлимость Замечание.
Из в) следует, что соотношение ~х!=О влечет х=О (ибо х+ и х воложительвы); следовательно, неревеяство х ~ О означает, что 1 х ! ) О. Пввдложвнив 9 (ДЕЛ). Если группа У' главных дробных идеалов в К решеточно-упорядочена, то каждый элемент х ив Ко можно представить в виде х=ии ', где и и и — некоторые целые такие, что н. о. д. (и, и) =1. Длл любого другого представления х=и'и' ' элемента х в виде частного двух целых имеют место соотношения и' = ию, и'= ио, где ю — целый элемент, равный н. о. д.
элементов и' и о', в ' частности, если н. о. д. (и', о')=1, то и' и о' ассоциированы соответственно с и и о. Такое вредставление во ь элемента х иг К* часто называетсы вооокреоньвоа дробью. лЭ. Независимые элементы Опгкдвлвнив 5, Элементы х и у решеточно-упорядоченной группы нагываются независимыми, если (п1(х, у) =О. В некоторых случаях негависимымн следует называть два таких элемента х и у, для которых (в((!х 5 ~ уй=О (см. Интегр., ч. П, 1 1) или ввести соответствующую терминологию в теорию.
Делимости. Мы етого здесь не будем делать. Два неэависимых элемента обязательно положительны. Поло- жительная и отрицательная части элемента х, т. е. элементы х+ и х независимы (предложение 9а)). Говорят, что элементы х„ семейства (х,)мг независимы в совокупности, если (п1(х,) = Оу ~гг для этого достаточно, чтобы существовала такая конечная часть Х множества У, что соответствующие элементы независимы в сово- купности. Элементы семейства (х,) называются попарно незави- симыми, если 1в((х„х„) — О для каждой пары (ь, х) рагличных индексов, Элементы х, могут быть негависнмы в совокунности, но не быть коварно независимыми.
Если х и у независимы, то говорят также, что х не зависит от у, или что у не аависит от х. (ДЕЛ) Элементы х и у в К наэываются независимыми, если главные идеалы (х) и (у) независимы в У. Это означает, что 256 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ, ЧД $ $ единица является н.
о. д. элементов х и у, откуда следует. что х и у — целые. Например, числитель и знаменатель несократимой дроби независимы. Понятия попарно независимых целых элементов и целых элементов, независимых в совокупности, определяются аналогично. (ДЕЛ) Нсэависимыс элементы з и Э часто наэыва«от «взаимно простыми»; условимся избегать атой терминологии, которая приводит и путанице с понятием целого простого элемента (гл.
Ч11, $1, и' 3). Нгкдложвпив 10. Пусть х, у, г — три элемента решеточно- упорядоченной группы; для того чтобы х — г и у — г были независимы, необходимо и достаточно, чтобы г=1П1(х, у). Действительно, соотношения г=1П1 (х, у) и 0=1п1 (х — г, у в г) эквивалентны. Нгидложкнив 10 (ДЕЛ). Предположим, что л«ножество д«« решеточно-упорядочено, и пусть а, Ь, с — тройка элементов из К, причем с~О; для того чтобы ас ' и Ьс ' были независимы, необходимо и достаточно, чтобы элемент с был наибольшим об»цил«делителем элементов а н Ь. Нгвдложвнив 11. Если х и у — независи.иые элементы в решеточно-упорядоченной группе и г > О, то 1п1 (х, г) = =ш1(х, у+г).
Действительно, 0=(п1(х, у), так что г=(п1(х+г, у+г). Следовательно, отношение «1 < х и 1 < г» совпадает с отношением «8<<х и 1-«;а+ г», а аначит, также (поскольку х <х+г) с отношением «и <х и «<у+г». Слвдствив 1. Если х и у независимы и х< у+г(г>0), то х:. г. Слкдствик 2. Если х не зависит от у и г, то х не зависит танисе и от у+г. Следствии 3. Пусть х«и (у«) — такие два конечных семейства элементов решеточно-упорядоченной группы С, что ни один х; не зависит ни от одного из уь Тогда х«+... + х„ не зависит от у, +... +у Ото выводится из следствия 2 икдукцией по т и п. Следствии 4. Каково бы ни было целое и > О, справедливы равенства (пх)+=ах+ и (пх) =пх; длл каждого п~2, кроме того, (пх1=~п).~х). УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 257 Действительно, пх= их~ в пх, так как элементы х» и х независимы, то независимы также пх» и пх при всех п>0 (следствие 3); первое утверждение следует отсюда в силу предложения 9а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
