Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 58
Текст из файла (страница 58)
в) Пусть каждый элемент группы С являетсп нижпей граыью ыекоторой части в Н; показать, что в этом случае для каждой миыорирующей в Н части В ~ Н вы~оляяется равенство (п(В= =)п( СВ) (ыпжыпе грани берутся в С). (Заметить, что это равенство справедливо пры условии (п(В б Н; в общем случае рассмотреть такой элемент хбС, что х+!п(ВбВ, т, е, являющийся нижней гранью векоторой .асти в Н, а дальше использовать упражыепие 30д).) г) Пусть С вЂ” вполве решоточяо-упорядочепвая группа 2 Х 2 Х В, 0)0 — кррациоыальпоо число, п пусть Н вЂ” подгруппа, состоящая из таких элементов (х, у, з), что О(е — х)+у=-О. Показать, что ые существует никакого паоиорфпзма вполне решеточно-упорядоченной группы Б (Н) ва подгруппу группы С, сводящегося к 'тождественному отображению па Н. (Показать, что группа йй (Н) изоморфыа К=В хВ; рассмотреть в К подгруппу, состоящую иа тех и, для которых для каждого целого и) 0 существует элемевт о б В с по= =и, и аыалогичыую подгруппу в С.) 33) а) Для того чтобы совершеыво упорядоченная группа была архимедовой, необходимо и достаточыо, чтобы для каждой пары упорядоченнып ГРуппы и поля Гл.
РВ $1 алемеятов х ) О, у ) О, принадлежащих С, существовало целое н) 0 такое, что у(нх. б) Всякая совершенно упорядоченная н вполне решеточяо-упорядочеяная группа С нзоморфла либо (0), либо 3, либо В (отбросив два первых случая, воаьмем а)0 в С п поставим в соответствие каждому алементу хрС нижнюю грань тех рациональных чисел р/у, для которых ах (ра). в) Вывестя отсюда, что каждал совершенно упорядоченная архимедова группа изоморфна подгруппе группы В. (Заметиттн что множество 33 (С) совершенно упорядочено.) г) Пелсинографическое пронзводение 3Х3 не является архимедовой группой.
34) Пусть С =3 — вронзведеняа несчетного семейства совершен- и по уиорядоченяых групп 3, Н=З вЂ” изолированная и фильтрую! л0 щаясл подгруппа в С вЂ” прямая сумма множителей группы С. Показать, что решеточно-упорядоченная группа С/Н (упражнение 4) яе может быть архимедовой, хоти С н Н вполне решеточно-упорядочены. (Доказать, что для есякого элемента е б С/Н последовательность ке (н — целые )0) является минорируемой в С/Н.) *35) Высшее множество А в упорядоченной группе С нааывается мяожеством конечноео тина, если существует таков конечное множество р, что А=(р).
Группа С называется нояуархимедоеой, если каждое высшее множество конечного тина снмметрвзуеыо в моноиде 3)) (С). Каждая решеточно-уворядочеяная (соответственно архимедова) группа нвлнется полуархнмедовой (упражнелие 31а)). а) Пояааатьн что каждая полуарх!!мелева группа решеточноупорядочиваема. (Если пх). О, рассмотреть высшее множество ср>, где Р=(0, х, .,(н — 1)х), и показать, что ояо симметриауемо.) 'б) Пусть К вЂ” левсилографичеспое произведение В х В, С вЂ” обычное произведение КхВ. Пусть 6 — иррациональное число 0(6(1, Н вЂ” подгруппа в С, порожденная алементамн ((1, 0), 0), ((6, 0), 6) и ЦО, х), 0), где х пробегает В.
Показать, что подгруппа Н произведения двух совершенно упорядоченных групп яе является архимедовой. (Рассмотреть высшее множество, порожденное элементами ((1, 0), 0) и ((6, 0),6) из Н, и показать, что опо не может быть сим. метризуемым.). в) Пусть С вЂ” фильтрующаяся полуархимедова группа, И/(С)— устойчивое подмножество в Ф(С), порожденное высшими множествамн конечного типа и сяыметрвчными и ним; показать, что 3))/ (С) — решеточно-упорядоченная группа. (Использоватьн что множество 3)) (С) полурешеточно упорядочево.) г)' Пусть С вЂ” группа 3 х 3, в которой в вачестве множества Р положительных элементов берется множество тех пар (х, у), для которых х > О, у ) Ох, где 6 — некоторое иррациональное число.
Показать, что С вЂ” архиыедова группа, но что симметричное множе- ипогядочкннык поля ство в 9Л(С) к высшему множеству конечного типа, ые имегощему вида <ац ые является множеством коыечкого типа., 36) Пусть 6 — упорядоченная группа и Р— множество ее положительыых элементов. Для того чтобм группа С была изоморфыа прямой сумме груип Я, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое отображение х-ьа(х) мыожества Р в Л', что если ые ивгеет места неравенство Ь)~ а, то в высшем множестве <а, Ь) существует такой элемент с, что аг(с) ( а(а). (Показать, что зто справедливо для 2<<), если положить в< (х) = ~ х„; обратно, покааать, что каждое высшее маожество А имеет вид <ак для чего рассмотреть такой элемент а Е А, что г<(а) (в<(х) для каждого х б А, затем примеыить результат теоремы 2.) 37) Для того чтобы фильтрующаяся группа 6 была изоморфыа подгруппе прямой суммы Я<гг, необходимо и достаточно, чтобы: 1' С была архимедова; 2 каждое высшее мыожество в С являлось мпогкеством конечного типа.
(Показать, что условие 2' зквивалеытыо условию (МИН) (теор. 2) в упорядочеыыом моыоиде Я(С); для доказательства необходимости использовать увражыекие 32а).) 3 2. г'порядочениые поля Х. Упорядочеггггь<е ыолът(а Опгкдклкник 1, Пусть дано коммгутативное кольцо А; говорят, что структура порядка на А согласована с колы(евой структурой, если она согласована со структурой аддитивной группы А и удовлетворяет следунп<(ей аксиоме: (УК) 1Хг неравенств х> 0 и у>0 вытекает, что ху> О. Кольцо А, снабженное такой структурой порядка, называется упорядоченным колы(ом.
П р и м е р ы. <) Кольца 6 и Я, упорядочеывые обычным образом, являются упорядоченными кольцами. 2) Произведение упорядоченных колец, снабжеыыое структурой порядка произведеыия, является упорядоченным кольцом. В частыости, кольцо Ак отображоыий множества Е в упорядочевыое кольцо А является упорядочеыыым кольцом. В упорядоченном кольце из неравенств х>у и г>0 вытекает, что хз> уг. В самом деле, зги неравенства эквивалентны соответственно неравенствам х — у> О, з>0 и (х — у) г> О.
Этот результат показывает, что множество положительных гл. уг, б2 272 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ элементов упорядоченного кольца является мультипликативным упорядоченным моноидом. Можно аналогично показать, что неравенства х<0 и у>0 (соответственно у <0) влекут неравенство ху< 0 (соответственно ху> 0).
Эти результаты обычно называют правилом знаков. Из них следует, что если А — совершенно упорядочеггное кольцо, то всякий квадрат положителен,и, в частности,что всякий идемпотент (и единица, если она существует) положителен. П р и и е р. В кольце 2 имеется сдаясжгсггяая структура совершенно упорядоченного кольца, являющаяся обычной структурой: в самом деле, 1 ) О, откуда по индукции я ) О для каждого целого натурального я+О. Кроме этой структуры, на 7 существуют и другие структуры упорядоченного кольца, но уже нэ совершенно упорядоченного (см. ниже). 8 а м е ч а н и о.
11е следует думать, что всегда квадрат ненулевого зазмонта строго иозожитэлзн, как это показывает пример кольца с нулевыми квадратами (га. 1, $8), заданного на аддитиеной совершенно упорядоченной группе. Пусть Р— множество положительных элементов упорядоченного кольца А. Известно, что Р определяет структуру порядка наА (з г, л' 3, предложение 3). Сказать, что А — упорядоченное кольцо — значит сказать, что Р обладает следующими свойствами: В самом деле, условия (АР1) и (АРп) означают, что аддитивная группа кольца является упорядоченной группой (у 1, и' 3, предложение 3), а условие (АРН) совпадает с (УК). Напомним, что для того, чтобы отношение порядка, заданное на А, было совершенным, необходимо и достаточно следующее условие: (АРГег) Р~, ) ( — Р) = А.
П р и м е р. Если в 7 в качестве Р взять множество положительных (з обычном смысле) четных чисел, то мы получим структуру пе соззрпгевно упорядоченного кольца. Напомним еще, что в абелевой совершенно упорядоченной группе из соотношения пх = 0 (для целого натурального и Ф 0) следует равенство х = 0 (2 т, и'3). Это дает нам следующий результат: Пведложение з.
Всякое совершенно упорядоченное кольцо имеет характеристику нуль. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ 3. Упорндоченньсе зго.ем Определение 2. Поле, наделенное совершенной струкгпурой порядка, называетсл упорядоченным полем, если структуры порядка и поля согласованы. дли полей мы ограничиваемся совершенн««и отношением порядка, так как другие случаи слишком «патологичны«(см.
укра«кпенне 5). П р п м е р ы. 1] Поле О рациональных чисел есть упорядоченное поле. 2) Подполе упорядоченного поля с нндуцпрованной структурой порядка есть упорядоченное поле. 3) Поле действительных чисел есть упорядоченное поле. В упорядоченных полях правило знаков можно уточнить следующим образом: если х ) 0 и у ) О, то ху ) 0 (в самом деле, ху;ь О). Это показывает, что неравенство х иО эквивалентно х ' )О, поскольку хх ' = 1 - О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
