Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 60
Текст из файла (страница 60)
279 УПОРЯДОЧЕННЫК ПОЛЯ Можно показать, что зто последнее поле определяется с точ- ностью до К-изоморфизма *). Пусть й — алгебраическое замыкание поля К, и пусть Я вЂ” мно- жество упорядоченных расширений поля К, содержащихся в ьг. Упорядочим множество Я с помощью отношения «Б является упорядоченным расширением поля М». Упорядоченное множе- ство Я, снабженное этой структурой порядка, будет индуктив- ным: в самом деле, если (Е,) вполне упорядоченное семейство элементов из Я, то поле Е= () Ь, можно упорядочить, взяв В Е+ = () (Т,)+, а тогда Š— верхняя грань семейства Л, (см.
гл. У, » 2, предложение 3). В силу теоремы Цорна Я содержит максимальный элемент Е, удовлетворяющий требованию теоремы. Пведложение 5, Пусть К вЂ” максимальное упорядоченное поле и ~ — многочлен из К(Х), меняющий знак между двумя злемен- тами а и Ь из К. Тогда ~ имеет в поле К такой корень х, что а<хСЬ. По крайней мере один из неприводимых множителей много- члена /меняет знак между а и Ь; пусть это будет Ь. Поле К (Х)/(Ь) обладает тогда структурой упорядоченного расширения поля К. Следовательно, оно совпадает с К и Ь имеет степень $. Так как Ь (а) Ь (Ь) (О, единственный карена х многочлена Ь удовлетво- ряет неравенству а (х ( Ь, поскольку многочлен первой сте- пени является монотонной функцией.
Предложение 5 дает, в частности, Пгедложение 6. Каждый положительный элемент максимального упорядоченного полл К имеет в К квадратный корень. Каждый многочлен нечетной степени над К имеет по крайней мере один корень в К. Это непосредственно следует из следствий 2 и 1 предложения 4. Следствие. Максимальное упорядоченное поле К не допускает иных, кроме ил«еюи(ейск, структур порядка, согласованных со струк- турой полл. В самом деле, положительные элементы поля К определяются его алгебраической структурой: они являются квадратами. *) Смотри Ван-дер-Варден, Соаременнан алгебра, 1-е игд., т.
я 18* 26О гл. тк $2 6. Хароктперизат4тля мапспмольпьссс упорядоченных полей. Хеорема Эйлера Лагрсгпэгса Свойство, установленное в предложении 6, характеризует максимальные упорядоченные поля. Более точно: Ткогкмя 3 (Эйлкг — Ляг| люк). Пусть К вЂ” упорядоченное поле. Следующие три свойства эквивалентны: а) Поле К(~) алгебраически замкнуто (~ один из квадратных корней из — 1). б) Поле К является максимальным упорядоченным полем. в) Каждый положительный элемент в К является квадратом, и каждый многочлен над К нечетной степени имеет корень в К. Ясно, что а) влечет б): в самом деле, К обладает, с точностью до изоморфизма, двумя алгебраическими расширениями: самим К и К (с) . Последнее не может быть упорядоченным, так как — $ является в нем квадратом. Для доказательства импликации б) -+ в) нужно лишь применить предложение 6.
Остается показать, что из в) вытекает а). Это является результатом двух следующих предложений: Пгкдложкник 7. Пусть К вЂ” упорядоченное поле, каждый положительный элемент которого есть квадрат. Тогда каждый элемент поля КЯ есть квадрат и каждый многочлен над К (г) второй степени имеет корень в К (с). Покажем сначала, что второе утверждение следует из первого. Многочлен второй степени ахг + Ьх + с можно записать в следующей форме, которая часто называется канонической формой трехчлена: (( 2) 4э ) Если д — квадратный корень из (Ь' — 4ас)Яа', то И вЂ” (Ы2а) есть корень заданного многочлена второй степени. Покажем теперь, что каждый клемент а + Ь;(а Е К, Ь 6 К) является квадратом. Найдем такой клемент х + у;, что (х + у;)г = = а + Ьб зто равенство можно записать в виде двух таких равенств: х' — уе = — а и 2ху = Ь.
Отсюда получаем (х' ' у') = а'+ Ь'. 6 УПОРЯДОЧБННЫК ПОЛЯ 281 Обозначая через с положительный квадратный корень из аг + Ь*, получаем с ~ ~а), с > ! Ь ~ и хг + у' = с. Отсюда хг = ( с + а)/2 и уг = (с — а)/2. Так как с >~а~, то зти уравнения разрешимы в К, и если хг и уг — одно из решений, то хг г— увг = О и 2хгуг=- =+ Ь. Взяв х = хв и у =- Ы2хв, получим искомыйквадратный корень. Пгвдложввик 8. Пусть К вЂ” позе (произвольной характеристики).
Пусть К и К'= КЯ таковы, что: а) каждый многочлен нечетной степени над К имеет корень в К, б) каждый многочлен второй степени над К' имеет корень в К'. Тогда К' алвебраически замкнуто. Обозначим через а элемент, сопряженный с элементом а ~ К', другими словами, образ а при К-автоморфизме ноля К', определенном отображением 1 -+ — 1. Для каждого многочлена / над К' обозначим через / многочлен, все коэффициенты которого сопряжены с коэффицвентами многочлена /. Достаточно показать, что каждый многочлен над К имеет корень в К'. В самом деле, пусть / — многочлен над К', тогда многочлен над К д = // имеет корень в К', который будет корнем либо для /, либо для /. В этом последнем случае элемент, сопряженный с этим корнем, будет корнем для Пусть теперь / — многочлен над К степени 2"р, где р нечетко.
Прв и = О, в силу условия а), / имеет корень в К. Проведем доказательство индукцией по и. Пусть Š— расширение поля К, в котором / разлагается на линейные множители: / (Х) = П (Х вЂ” а~). Пусть Ь ~ К; образуем многочлев Ь, корнями которого являются элементы уы.— а;+аз+ Ьа~а~ (1) /). Коэффициентами этого многочлена будут симметрические функции от переменных а~ с коэффициентами из К; следовательно, Ь вЂ” многочлен над К (гл, Ч, Приложение 1); так как он имеет степень 2"р(2"р — 1)/2 = 2г 'р' (р нечетно), то он имеет корень уп, лежащий в К', в силу предположения индукции.
Если принять во внимание, что это верно для каждого Ь ~ К и что К вЂ” бесконечное поле (в самом деле, конечное поле, имеющее упогядочвнныв Ргуппы и пОля гл. уг, 12 282 произвольно большие простые расширения нечетной степени (гл. У, 4 11, предложение 3), не может удовлетворить условию а)), то отсюда следует существование по крайней мере одной пары (ц) такой, что а; + ау + Ьа,ат Е К' и а; + а) + Ь'а;ау Е К', где Ь Ф Ь'.
Тогда элементы а, +а) и а,аг лежат в К', и, следовательно, а; и а) —.элементы из К', поскольку они являются корнями уравнения второй степени х' — (а; + ау) х + а;а) — — О. Это доказывает требуемое. Пусть К вЂ” упорядоченное поле, и пусть К' = К (З); для каждого элемеита з = а + Ь; б К' нэр.ча зз = аз+ Ьз элемента з иад полем К (гл. Ч, 1 (О, и' б) является положительным элемеятом поля К, который равен нулю лишь при з = О. Если в К каждый положктельиый элемент является квадратом (если, в частности, К вЂ” максимальное упорядочеявое поле), назовем,абсалююням значением элевента з и обозначим через ( з ) положительный квадратяый корень из нормы зз. Так как ( зз' )е = ( з )з ( з' )з, то ! зз' ( - ) з ! ) з' ).
Кроме того, имеет место нерсвевствс трсузолъника ! з+ з' ( ~ ( з (+ ) з' 1 для каждой пары элемеятов з, з' 4 К'. В самом деле, если з = а + Ъд з' = а' + Ь'д ато иеравеяство,зквивалеитио следующему: (а+а')з+ (Ь+Ь')з ~ аз+ Ьз+а'з+ Ь'з+2 Р' (аз+ Ьз) (а'з+ Ь'з); или еще: (аа'+ ЬЬ')э ~( (аз+ Ьз) (а'з+ Ь'з), которое записывается в виде (аЬ' — Ьа')з ) О.
Теорема 3 позволяет нам найти все неприводимые многочлены над максимальным упорядоченным полем. Пгкдложкник 9. Кеми К вЂ” максимальное упорядоченное поле, то единственными неприводимыми над К многочленами лвляются многочлены первой степени и многочлены второй степени ахз + + Ьх + с, у которых Ьа — 4ас( О.
Так как поле К (() алгебраически замкнуто, каждое алгебраическое расширение поля К имеет либо первую, либо вторую степень, и следовательно, лишь многочлены первой или второй степени могут быть неприводимыми над К. Чтобы увидеть, какие из мкогочленов второй степени неприводимы, достаточно написать каноническую форму трехчлена а ((х + (Ы2а))з — (Ь' — 4ас)/4аэ) (ср. Предложение 7). УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ 283 3 а м е ч а н и е. Рассмотрение канонической форыы трехчленов дает более сильный результат: пусть К вЂ” упорядоченное поле; для того чтобы мвогачлев второй степени вад К ахз + Ьх+ с имел в К постоянный анак, необходимо и достаточно, чтобы Ье — 4ас < О, н знак мвагочлена в этом случае совпадет со знаком о. У п р а ж н е н и я.
1) Пусть А — совершенно упорядоченное кольцо и  — подкольцо в А. а) Элемент х б А называется бесконечно большим относительно В, если ( у ! ( ) х ! для каждого у б В. Показать, что множество элементов из А, не являющихся бесконечно большими относительна В, обраауют подкольцо Р (В) в А, содержащее В. б) Элемент *б А называется бесконечно малым относительно В, если ) * ) < у для калсдого у б В, у ) О. Если кольцо А обладает единицей, принадлежащей В, и если для каждого у б В такого, что О ( у, существует такой элемент с б В, что О ( з ( у, то множество элементов иэ А, бесконечно малых относительно В, образует падкольцо ! (В) в А . Если, кроме того, длл каждой пары таких элементов у, з из В, что О ( у ( з, существует такой элемент х б В, что О ( хе ( у, то 1 (В) является идеалом в Р (В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
