Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Так как 6 — фильтрующаяся группа, то достаточно показать (предложепие 4), что каждый элемент х - 0 в группе 6 является суммой экстремальных элементов. Для этого рассмотрим множество Е тех положительных элементов у ~ 6, которые представимы в форме у =- х — (р, +... -~- р„), где р; — экстремальные элементы группы 6, не обязательно различные.
Так как х ) О, то в силу леммы множество Е не пусто. Следовательно, Е содержит некоторый минимальный элемент д в силу свойства (МИН). В случае д ~ О, элемент д в силу леммы был бы больше некоторого экстремального элемента р' группы 6 и элемент д — р' принадлежал бы Е, что противоречит минимальности д в Е. Следовательно, д = 0 и х = р, +... +р„, что и требовалось доказать. Теорема 2 найдет г дальнейшем прыыенеыые в теории Делимости в кольцах главыых ыдсалсв (гл.
Ч11, 1 1, и' 2) ы в кольцах частыых (Вторая часть, глана, стыосящаясн и нормированиям) ы в игучеывы идеалов дедсыпыдовых колец (тгм же). У и р а ж ы е ы ы я. 1) Упорядоченный ысхоымутатывыый мсновд М есть мсысяд (гапысывагмый мультыплыкатывыо), сыабжввыый такой структурой порядка, что отыошеыые х ~ у влечет гг «', эу и ле ~( Кг для каждого г т М. Пусть С вЂ” упорядоченная ыексмыутатввяая группа. Доказать следующие утверждения: а) Пусть Р— множество элементов, больших чем нейтральный элепеыт е с С, тогда Р.Р =- 1', Р () Р ' = (е), ы аРа 1 = Р для 262 УПОГЯДОЧИННЫБ ГРУППЪ|И ПОЛЯ гл. Уг, $1 каждого а б С. Обратить утверждение.
Найти условие для совершенной упорядоченности группы С. б) Если один из элементов зпр (х, у), )п1(х, у) существует, то другой такнзе существует и зир (х, у)=х ()п( (х, у)) =у ()п( (х, у)) в) Элементы зпр (х, е) и зар (х-г, е) яерестановочны. Два независимых элемента вереставовочвы. г) Подгруппа С', порожденная экстремальными элементами группы С, коммутативва. Отсюда следует, что если выполнены условия теоремы 2, то С вЂ” коммутативная группа. 2) Пусть Š— решетка, на которой задав заков иомпоэицки (х, у) -+ ху (но обязательно ассоциативный) такой, что для каждого а б Е отображениях - ахи х ха являются иаоморфизмами упорядоченного множества Е ва себя. Обозначим через ха (соответственно ах) элемент из Е, определенный равенством (х,) а х (соответственно а( х) = х), ипредполоизиы, что отображениях - а„их - „аявляются изоморфизмами упорядочекпого множества Е на множество Е, снабженное противоположным порядком.
Покааать, что при этих условиях для любых х, у, х имеет место равенство (*1,г(х „,) *=(хз) (зпух. У). 3) Пусть С вЂ” упорядоченная группа, множество Р положвтельвыл элементов которой не сводится к нулю. Показать, что С бесконечна и не может обладать ни наибольшим, ви наименьшим элементами. 4) Пусть С вЂ” упорядоченная группа, Р— множество положительных элементов группы 6,1 — каноническое отображение группы С на 1дахтергруяяу 6(Н. Для того чтобы множество 1(Р) определяло ва 6(Н структуру упорядоченной группы, необходимо и достаточно, чтобы иэ условий О -., у ( х и х у Н следовало, что у б Н. Тогда Н называется иеоаираеаяаей подгруппой группы С, и 61Н рассматривается как упорядоченная группа.
Если С к тому же решеточвоупорядочена, то для того, чтобы С!Н была группой-решеткой, необходимо и достаточно, чтобы иэ соотношений (у ( ч, ! х ( и х б Н вытекало, что у Р Н. Показать, что этот факт равносилен тому, что Н вЂ” изолированная и фильтрующаяся подгруппа. Показать, что упорядоченная группа С, не имеющая других изолированных подгрупп, кроме себя и 10), является совершенно упорядоченной (рассмотреть изолированные подгруппы, пороьтденные двумя положптельными элементами из С); *вывести отсюда (Общ, топал., гл. У, 3 3, упражнение 1), что С изоморфна тогда подгруппе ардитиввой группы действительных чисел.
5) Дать пример упорядоченной группы с кедискретвым отношением порядка, обладающей ненулевыми элементами конечного порядка (взять факторгруппу подходящей упорлдоченвой группы С по такой подгруппе Н, что Р () Н = (0)). 6) Пусть С вЂ” упорядоченная группа, Р— множество ее положительных элементов. Показать, что Р— Р является наибольшей упогядочнппыи группы. днлимость 263 фильтрующейся подгруппой группы С и что ато изолированная подгруппа.
Каково отношение порядка в факторгруппе? 7) Если в группе й в качестве множества положительных элементов взять множество, состошцее из нуля и целых чисел > 2, то полученная упорядоченная группа будет фильтрующейся, но не решеточно-упорядоченной. (Покааать, что множество тех х, для которых х > 0 и х ~ 1, обладает двумя равными минимальными элементами.) 8) Пусть х — такой элемент упорядоченной груш1ы, что существует у = 1п1 (х, 0); тогда для любого целого числа и ) 0 из нх > 0 вытекает, что х >. 0 (имеем ну 1в( (пх, (и — 1) х,..., 0) ~ > 1в( ((и — 1) х,..., О) = (и — 1) у); следовательно, равенство ях = 0 влечет х О.
9) Показать, что в решеточно-упорядоченной группе сумма всякого семейства (Н ) нзолироаанных и фильтрующихся водгрупп яяляется иаолированной и фильтрующейся подгруппой. (Использовать следствие теоремы 1.) 10) Покааать, что в решеточно-унорядоченной группе С для каждой конечной последовательности элементов (х;) (1 < 1 < н) иа С справедлвво соотношение авр (х1) —. ~ ~х1 — ~~ 1п( (х1, х1)+ +( — 1)Р11 Х 1 1<1 х ~ (п1(х1, ..., хь )+...+( — 1)"+11в1(х1, ..., х„). 11<11«... 1Р (Рассуждать по индукции, отправляясь от предложеаия 7 и испольауя дистрибутнввость операции еар относительно операции пп.) 11) Пусть (х1) †семейст иа я алементов в решеточно-упорядоченной группе С; для каждого целого й (1 ( й ~ н) через 11Ь (соответственно ть) обозначим нижнюю (соответственно верхнюю) грань 1 Н сумм й различных элементов хб число таках сумм равно Показать, что на+ 1Н вЂ” Ь Х1+Хх+ ° +ХН.
12) Подгруппа Н решеточно-упорядоченной группы С называется НОРЕЮЕН1ОЧНО-УНСРЯдеченнсй, если для каждой пары элементов х, у б Н, также авр(х, у) б Н (эта верхняя грань, следовательно, совпадает о с евр(*, у)). и а) Если С=Д Х() хЯ (группа Я унорядочева обычным образом), то подгруппа Н тех элементов (х, у, х), для которых 1=я+у Решеточно-упорядочена, но не корешеточно упорядочена. б) Каждан изолнроваянан (упражнение 4) фильтрующаяся подгруппа решеточяо-упорядочеяяой группы является корешеточяоупорядоченной.
264 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ, Ч1, в) Пусть С вЂ” решеточно-упорядоченная группа, Н вЂ” некоторая подгруппа в С, Н' — множество нижних граней конечных частей из Н и Н" — множество верхнях граней конечных частей из Н'. Показать, что Н" — наименьшая корешеточно-упорядочепиая под- группа, содержащан Н (использун замечание к предложению 3). 13) Говорят, что моноид М иолурешеточио-уиоридочеи снизу (илп, для краткости, лолургшеточио-уиоридочеи), если М вЂ” упорядоченный моноид, !п1(», у) существует для любой пары х, у элементов из М и если !п1(х+г, у+г)=!п1(х, у)+г для любых х, у, з бМ, Доказать, что тогда справедливы тоя<дества !п1 (х, г) -(-!п1(у, г) = !в1 (х+у, г+ !н1 (х, у, г)), !п1(х, у, г)+!п1(х+у, у+г, г+х)=!п((х, у)+!п1(у, г)+гп1(г, х).
С помощью первого тождества доказать, что из неравенств хк, г и уь,г следует, что х-(-у (г+!п1(х, у). Показать, что предложение 1! и его следствие имеют место в полурешеточно-упорядоченных моноидах, обладающих нейтраль- ным элементом. !4) Показать, что в полурешеточно-упорядоченных моноидах имеет место неравенство (п( (х. -)- УД )~ ! п1 (х ) + !и! (й) для любых конечных последовательностей (хг) и (у!), состоящих каждая иа и элементов. Вывести из этого, что в решеточно-упорядоченной группе выпол- ннются неравенства (х -(- у)+ < х++ у+; ! х+ — у+ ( < ( х — у !.
!5)-Покаватьи что в решеточно-упорядоченной группе справед- ливо тождество ~ х+ — у+ (+ ! х — у ! = ! х — у (. (Заметить, что х — у ( ! х — у ( и ! х ) — ! у ! ( ~ х — у !.) 16) Показать, что в полурешеточно-упорядоченном моноиде выполняется соотношение и !п1(х, у)+По 1(и, иу)=2и!п1(х, у) (сравни упражнение 8). Доказать, что !п1(их, иу)=и !и1(т, у), если !п1(х, у) — регулярный элемент.
17) Пусть М вЂ” полурешеточно-упорядоченный моноид, обладающий нейтральным элементом нуль, и х, у, г, ! бМ таковы, что г)0, т)~0. Доказать веравенство !п1(х-)-г, у-)-г)-)-!п1(х, у))~ ьв1(х+г, у)+!п1(х, у+!). 18) Пусть (С,), г — семейство совершенно упорядоченных групн с совершенно упорядоченным множеством индексов П на группе С', явчяю|цейся прямой суммой групп С„определим структуру упорядоченной группы, беря в качестве положительных элементов группы УПОРЯДОЧПННЫЕ ГРУППЫ. ДКЛИМОСТЬ 265 С' мнояеество таких (х,), что х,)0 для наименьшего иядекса с яенулевым хк Показать, что группа С', снабженная атой структурой, является совершенно упорядоченной группой. 19) Пусть С вЂ” аддитивная группа, (Р ) †семейст частей в С таких что Р»+Р» ~ Р» и Р» () ( Ра)= (0); пусть С» — упорядо ченная группа, получающаяся, если в качестве положительных элементов взято множество Р».
Положим Р= Д Р . Похавать, что а Р+Р< Р и Р() ( — Р)=. (0), Показать, что упорядоченная группа Е, получающанся наделением группы С отношением порндка с множеством Р положительных элементов, изоморфна диагонали произведения групп С». 20) Пусть С вЂ” аддитивыая группа, Р— часть в С, удовлетворяющая условиям: 1' Р+Р= Р, 2' Р () ( — Р) = (О), 3* для каждого целого и из включения лх б Р следует, что х б Р (условие С)).
а) Показать, что для элемента абС такого, что абР, существует часть Р' в С, удовлетворяющая услоыию (С) в) н такая, что Рс Р' и — абР' (в качестые Р' взять мыожество тех хр С, для которых существуют два целых числа т ) 0 и л > 0 и элемент у б Р, удовлетворяющие равенству тх= — за+у). б) Вывести нз а), что Р является пересечением тех частей Т~С, для которых выполняются равенства; Т+Т=Т, Т П ( — Т)=(0), Т () ( — Т) = С (иыыыи словами, тех частей, которые определяют ыа С структуру совершенно упорядоченной группы) и которые содержат Р. (Использовать теорему Церна.) в) В частности, если С вЂ” аддитивная группа, в которой все неыулевые элементы имеют бесконечный порядок, то пересечеыие всех таких частей Т, для которых Т+Т = Т, Т () ( — Т) = (О) и Т () ( — Т)=С, сводится к О.
»21) Упорядоченная группа называется решеточно-уаорхдочиваеиой, если она изоморфна подгруппе решеточно-упорядоченной группы. Показать, что для решеточной уыорядочиваемостн группы С необходимо и достаточно, чтобы для каждого целого а )О ив неравенства их) 0 следовало бм, что х) 0 (для доказательства достаточности использовать упражнение 20б) и 19).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
