Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Показать, что каждая решеточно-упорндочиваемая группа изоморфна подгруппе произведения совершенно упорядоченных групп. 22) Пусть С вЂ решеточ-упорядочиваемая группа (рассматриваемая как Я-модуль) и Š†векторн пространство С~р (гл, 1П, $ 2); показать, что на аддитиыной группе Е можно однозначно определить структуру порядка, согласованную с групповой структурой на Е и иидуцирующую на С данную структуру порядка. ПространствоЕ, наделенное этой структурой, является решеточно-уыорядочиваемой группой. 23) Пусть С вЂ” решеточно-упорядоченнаы группа 2 Х 2 (2 наделена обычной структурой порядка) и  — изолированная подгруппа в С, УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. У1, Ь 1 порожденная элементом (2, — 3); показать, что упорядоченная группа С)Н не является решеточно-упорядоченной (см.
упражнение 4). 24) Пусть А — коммутативное кольцо, а à — множество всех его идеалов; ироивведением аЬ двух идеалов а и б назовем идеал, образованный конечными суммами ~ч~ ~а;ь>, где а; ба н ь; бь. показать, « что а(б+Г)=аЬ+аГ; иначе говоря, множество 1, наделенное отношением порядка а э Ь и законом композиции (а, б) -ы аЬ, является лолурешеточно-уиорлдоченным моноидом (унражненне 13), причем верхней гранью элемевтоз а н Ь является идеал а+б, а нижней гранью — а П Ь. Пусть К вЂ” некоторое поле, А=К(Х, У) — кольцо многочленов от двух переменных над К.
В кольце А рассмотрим главные идеалы а= (Х), Ь = (У) и Г= (Х+У); показать, что (а П Ь) + Г ~ (а-(. Г) П (Ь+ Г), (а+ Ь) П Г Ф (а П Г)+ (б П Г), ( П б) (а+Ь) ч= (а(а+Ь)) П (Ь ( +Ь)). *25) Пусть à — полурешеточно-упорядоченный моноид идеалов коммутативного кольца А (упражнение 24). Для того чтобы конечнав система сравнений х= а>(а>) имела решение каждый раз, когда любые два из этих сравнений имеют общее решение (т. е. если и> ш аг(а>+а>) для каждой пары индексов 1, >), необходимо и достаточно, чтобы в 1 каждая из двух операций (а, Б) — на П Ь и (а, Ь)-ы ->.а+ Ь была днстрибутивна относительно другой («китайская теорема>).
Доказательство можно провести следующим образом: а) Если (а, П аз)+(а> П аз)=а> П (а +аз) и если каждые дза из трех сравнений х ш а>(а;) (1=1, 2, 3) имеют общее решение, тогда все три сравнения имеют обп«ее решение (пусть х>з — общее решение сравнений х ш а> (а>) и х ш аз(аз), х>з — общее решение сравнений х ж а> (а>) и х= — ав (аз); показать, что сравнения х =х>з(а> П аз) и х=х>з(а, П аз) имеют общее решение). б) Если каждая система трех сравнений, любые два из которых имеют общее решение, сама обладает общим решением, то выполняются законы днстрибутизности; а+(Ь П Г)=(а+Ь) П (а+Г) и а й (з+Г)=(а П б)+(а П Г).
(Для доказательства первого равепства заметить, что для каждого элемента хб(а+Ъ) П (а-(-Г) существует такой у, что убб й Г у ж х(а). Для доказательства второго соотношения заметить, что для каждого элемента хб а П (б+() су>цествует такой элемент у ба й Ь, что уж х(Г).) Отметим, что в силу а) и б) вторая формула дистрибутивяости влечет первую. в) Доказать «китайскую теорему» индукцней по числу рассматриваемых сравнений методом, аналогичным методу доказательства предложения а). 267 УПОРЯДОИЕННЫЕ ГРУППЫ, ДЕЛИМОСТЬ 26) Показать, что в моноиде идеалов нольца многочленов К (Х, г') (где К вЂ” поле) идеал (К) удовлетворяет условию предложения 14, но не является максимальным.
27) Пусть А — кольцо, являющееся квадратичным расширением кольца 2 с базисом (1, е), где ез= — 5. Показать, что А является областью целостности; в этом кольцо 9=3 3=(2+с)(2 — е); показать, что 3, 2+е, 2 — е являются акстремальяыми злементамп нольца А, не удовлетворяющими условию предложения 14 (ДЕЛ). е 28) Пусть С вЂ” решеточно-упорядоченнан группа, Р— множество ее положительных элементов.
Два элемента х, убР называются вхвиеалелтлмли, еслп каждый влемент, независимый с первым, не аависит и от второго; классы эквивалентности, соответствующие атому отношению, называются витями в Р; через х обозначим яить, содержащую х. а) Пусть а н Ь вЂ” две нити; пусть х, х1 — два элемента нз а и у, ут — два элемента иа Ь; покааать, что если каждый алемент, пе зависящий от х, не аависит от у, то каждый элемент, не зависящий от хь не аависнт от уО Таким образом определяется отношение мел~ну а и Ь, которое обозначается а )~Ь; покааать, что оно является отношением порядка на множестве Р нитей. б) Показать, что прп так опредевенном отношении порядка Р является решеткой и что 1п1 (а, Ь) =(п1 (а, Ь), зир (а, Ь) = зир (а, Ь) = а+ Ь.
(Использовать следствие 2 предложения 11.) Показать, что наименьшим влементом в Р является нить 0=(0). в) Две нити а и Ь называются независимыми, если !п1(а, Ь)=0. Показать, что если а и Ь вЂ” две нити ~ 0 и если а ч, Ь, то существует нить с ф О, неаависнмая с а и талан, что с( Ь. г) Нить ш ~ 0 называетсн зкстремальной, если она является минимальным элементом множества отличных от 0 нитей. Показать, что экстремальная нить совершенно упорядочена (пусть а и Ь вЂ д элемента иа ш; рассмотреть нити, которым принадлежат элементы а — ш1(а, Ь) и Ь вЂ” ш1(а, Ь) и использовать б)). Покааать, кроме того, что объединение нитей т, — т и (О) является совершенно упорядоченной подгруппой Н (ж) в С. д) Пусть дано семейство (т,) экстремальных нитей в С; показать, что подгруппа Н, порождеяная объединением нитей ш„ изоморфна прямой сумме (и' 6) групп Н(ж6 (свести к случаю конечного семейства, а затем провести индукцию).
,'УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ гл.уц $1 е] Показать, что в произведении (соответственно в прямой сумме) совершенно упорядоченных групп элементами зкстремальных нитей являются в точности те, у которых все координаты, кроме. одной (которая )О), равны нулю. Отсюда следует, что упорядоченная группа может быть только одним способом представлена в виде произведения (соответственно прямой суммы) совершенно упорядоченных групп (иначе говоря, множители определены однозначно).
29) Упорядоченная группа С называется вполне решеточно-уяорядочлляов, сслк она решеточно-упорядочена и если каждая мажорируемая часть в С допускает в С верхнюю грань. а) Показать, что для полной решеточной упорядоченности фильтрующейся группы С необходимо и достаточно, чтобы каждая часть иа множества положительных элементов Р группы С имела верхнюзо. грань в Р.
б) Произведение вполне решеточно-упорндоченных групп есть. вполне решеточно-упорядоченная группа. в) Каждая изолированная подгруппа вполне решеточно-упорядоченяой группы вполне решеточно-упорядочена. ЗО) В упорядоченной группе С для каждой части А в С обозначим символом т (А) (соответственно М (А)) множество мннорант (соответственно мажорант) части А в С; тогда т (А) = — М ( — А).
а) Отношение АС В влечет >в(В) ~ ш(Л) и М(т(А))( М(т(В)). б) Имеют место включения ЛгМ(т(Л)) и М(т(М(А)))=М(А)- в) Пусть А,— семейство частей из С; тогда а Л)=П (Л), з г) Каждое множество М(В), где  — мажорируемая непустав часть в С, нааывается высшим лнозместлом в С. Для каждой минорируемой непустой части А в множество СМ(т (А)) является наименьшим высшим множеством, содержащим А; его обозначают через [А>, если А~ В, то (А> ~ (В>; если А имеет верхнюю грань е в С, то (Л>=М(а); последнее множество обоаначает также (а>.' д) Если А и  — две непустые мннорируемые части в С, то (Л+В>=--<(Л>+<В». Отсюда следует, что в множестве бй(С) высших множеств из С отображевве (А, В) (А+В> является ассоциативным и коммутативным законом композиции, для которого <0>=Р— нейтральный элемент, причем отношение порядка Л~В согласовано с зтим законом композиции.
Множество И (С), наделенное этой структурой, является полурешеточно-упорядоченным монондом, если С вЂ” фильтрующаяся группа. Кроме того, отображение з - сз> группы С в 9>) (С) является изоморфизмом упорядоченной группы С на некоторую подгруппу моноида 9>) (С). е) Если элемент А из моноида 9>)(С) симметрнзуем относительно закона композиции в этом мояоиде, то симметричным к нему служит УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 269 М( — А)= — пз(А).
(Заметить, что если В симметричен с А, то В~ М( — А) и А+М( — А)(: (ОП откуДа (А+В)=(А+М( — А)) ) в 3$) Упорядочеыпая группа С ыазываетсп архимедовой, если едипствеыиыми элемеытамы х б С, для которых множество кратных пх (п — целые ) 0) является мипорируемым, будут положительыые алемепты в С. а) Для того чтобы монопд 2))(С) высших множеств упорпдочеыпой группы С был группой, веобходпмо и достаточно, чтобы группа С была архимедовой (пспользовать упражнение 30г)); л)(С) тогда вполпе решеточно-упорядочена. б) Вывести отсюда, что для того, чтобы упорядоченная группа С была изоморфыа подгруппе вполне решеточыо-упорядоченной группы, необходимо и достаточно, чтобы С была архимедовой.
в 32) а) Пусть С вЂ” вполые решеточно-упорядоченная группа и Н вЂ” подгруппа в С. Для каждого высшего множества А е группе Н через хл обозпачим иижпюю грань А в С. Показать, что отображение А- хл множества йй(Н) в группу С вааимво одаоапачпо. (Установить, что А — множество тех элементов убН, для которых у охА) б) Обозыачим череа (В>, где  — миыорируемая часть в Н, высшее множество, порождевпое частью В в Н (элемепт мпожества 3)) (Н)). Пусть для павшей части В в Н, мппорыруемой в Н, справедливо соотношение 1п(В=(п((В) (ыпжвпе грани берутся в С); показать, что в этом случае отображеыпе А - хе является изоморфизмом вполпе решеточка-упорядоченной группы %(Н) яа некоторую подгруппу группы С (см. упражыеыие 30д)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
