Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 99
Текст из файла (страница 99)
д. На модуле «целых комплексных чисел> а со Ь1 он исследует позже бесконечвый модуль вад «з изоморфизм которого с (открытым им же в комплексной области) модулем периодов элляптнческих функций, несомненно, не остался аля него незамеченным; во всяком случае, эта идея уже лвно появляется у Якоби, например в его знаменитом доказательстве невозможности функции с тремя периодами и в его взглядах на задачу обращения абелевых интегралов (ХЧ1б), н вскоре приводит к теоремам Кроиекера (см Исторический очерн к главе ЧН «Обще»1 топологнн»). ИСТОРИ 1КСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ И И И! 487 Здесь к течениям, трассы, а иногда н извилины которых мы пытались проследить, примешалось еще одно, долгое время остававшееся подспудным.
Как будет подробнее изложено в другом месте (см. Исторический очерк к главе 1Х), «чистая» геометрия в том смысле, как ее понимали в течение прошлого века, т. е. в основном проектпвная геометрия плоскости и пространства без использоваяия координат, была создана в ХЧ11 вене Дезаргом (Ч1), идеи которого, оцененные в их истинном значении самим Ферма и использованные самим Паскалем, были затем забыты, отодвинутые в тень блестящими успехами аналитической геометрии; она вновь попала в честь к концу ХЧП1 века стараниями Монжа, а затем Понселе и его соперников Шаля и Брианшона иногда умышленно и полностью очшценная от аналитических методов, иногда (особенно в Германии) тесно переплетенная с ниии. Но, с какой бы точки зрения нх ни рассматривать (синтетической или аналитической), проектнввые преобразования все же являются просто линейными подстановками проективных или «барицентрических» координат; конические сечения (в ХЧ11 веке), а ноаже поверхности второго порядка, проективная теория которых долгое время составляла основной предмет исследований этой лшолы, являются просто квадратичными формами, на тесную связь которых с линейной алгеброй мы уже выше указывали.
К этим понятиям присоединяется понятие полярности; теория полюсов и поляр, также созданяая Дезаргом, становится е руках Монжа и его последователей, в«норе под наименованием принципа двойственности, мощным инструментом преобразования геометрических теорем; если и не брать на себя смелость утверждать, что были замечены ее связи с сопряженными дифференциальными уравнениями,— это было сделано с опозданием (ояи были указаны Пинкерле в конце Х1Х века),— все»ке от математиков не укрылось — тому свидетель Шаль (ХЧ11) — ее родство с, понятием полярных сферических треугольников, введенным в сферическую геометри!о Вьета ((Н1), стр.
418) и Снеллием в ХЧ1 веке. Но двойственность в проектнвной геометрии есть лишь один иа аспектов двойственности векторных пространств с учетом модификаций, накладываемых переходом от аффинного пространства к проентивному (являющемуся егофакторпространством ло отношению «скалярного умножения»). Х1Х век, более чем какой-либо другой период нашей истории, был богат первоклассными математиками, и трудно на нескольких страницах, даже только в главных чертах, описать все, что соадало их руками слияние этих идейных течений. Между чисто синтетическими методами, с одной стороны, — этим родом Прокрустова лоя«а, на котором сами предавали себя пыткам их ортодоксальные адепты,— и аналитическими методами, связанными с произвольно навязанной пространству системой координат, скоро ощугилн потребность в чем-то вроде геометрического исчисления, задуманного, но не созданного Лейбницем и в несовершенном виде намеченного Карно; сперва появляется сложение векторов, в неявной форме у Гаусса в его геометричесном представлении мнимых чисел и применении лхк элементарной геометрии (см.
Исторический очерк к главе ЧП1 «Общей топологии»), далее развитое Беллавнтисом под названнем «метода эквиполлепций» я лринявшее свой окончательный вид у Грассмаяа,Мебиуса п Гамильтона; 488 историчпскип ОчеРН к главам и и и! одновременно Мебиус предлагает его вариант под названием «барицентрвческого исчисления», приспособленный к нуждам проективной геометрив (ХУ1П). К тому времени, и теми же шодьмн, совершается возвещенвый, как мы видели, еще сперма переход от «обычных» плоскости и пространства к пространству к измерений, столь естественный (раз уж вступили на этот путь) и даже неизбежный, поскольку алгебраические факты, которые для двух нпи трех переменных, как н сами эти переменные, истолковываютсн в геометрических терминах, оста»отея такими же для любого числа переменных; поэтому налагать на употребление геометрического языка ограничение двумя или тремя измерениями была бы для математиков этого времени столь же стеснительным ярмом, как н то, которое всегда мешало грекам распространить понитие числа на отношении несоизмеримых величин.
Поэтому язык и идеи, относнщиеся н пространству к измерений, почти одновременно поивляются повсеместно, неявно у Гаусса н отчетливо у математиков следуюгцего поколении, а их бблыпая нли меньшан смелость в пользовании этим языкам, бмть может, определяется не столько их математическими склонностями, сколько философскими или даже чисто практическими соображениями. Во всяком случае, Кали и Грассман к 1846 г, обращаются с этими понятинми с весьма большой непринужденностью (и притом, говорит Кэпи в отличие от Г расс ма на ((Х Х1!а), стр.
321), «не прибегал ни к каким метафизическим понлзкизггг»), 'Кэпи постоянно держится весьма близко к аналитическому истолкованию и координатам, тогда как у Грассмана уже с самого начала, со сложения векторов з к-мерном пространстве, одерживает верх геометрический аспект, что приводит его к рассмотрениям, на которых мы позже остановимся. Тем временем импульс, полученный от Гаусса, двуми разными путямв побуждал математиков к изучению алгебр и гиперкомплексных систем. С одной стороны, не могли не появиться попытки расширить область вещест.
венныХ чисел иным путем, чем введенИем «мнимой единицы» 1=)г — 1, и, быть может, открыть так области, более обширные, чем область комплексных чисел, н столь же плодотворные. Сам Гаусс был убежден ((Х116), стр. 178) в невозможности такого расширения, по крайней мере если пытаться сохранить основные свойства комплексных чисел, т. е., на современном языке, те свойства, которые дела«от множество атих чисел коммутативным телом; и под его влиянием или незавнсвмо современники Гаусса, по-видимому, разделяли ато убеждение, обоснованное лишь значительно позднее в виде точной теоремы Вейерштрассом (ХХП1).
Но раз только умножение комплексных чисел интерпретируется вращениями в плоскости, желанно распространить эту идею нэ пространство неизбежно ведет к рассмотрению некоммутатнвпых умножений [поскольку вращения в пространстве образуют некоммутатнвную группу); это н нзлкется одной из идей, которыми руководствовался Гамильтон") в своем открытии кватернионов (ХХ), первого примера некоммутативного тела. *) См. интересное предисловие к его «Лекциям о кватернионах» (ХХ), где он налагает всю историю своего открытия, нстОРичискмй ОчеРк к главам ы к ~ы 489 Своеобразие этого примера (единственного, который — как показал позже Фробениус — можно было построить над полем вещественных чисел) несколько ограничило сферу его влияния, вопреки или, быть может, даже благодаря образованшо школы фанатичных «кватернионвсто⻠— страяному явлевито, повторившемуся поаже вокруг творении Грассмана,— а аатем популяризаторов, навлекших у Гамильтона и Грассмаиа то, что было названо «векторным исчислением».
Отказ ат ассоциативности несколько поаже у Грейвс» и Кали, построивших <числа Кали», ве открывает интересных путей, Но после того, как Сильвестр ввел матрицы и (не давая ему наименования) явно определил ранг (ХХ1), тот же Кали (ХХНб) создает матричное исчисление, ве преминув заметить (существенный факт, впоследствии часто упускавшийся вз виду), что матрица есть просто сокращенное обозначение линейной подстановки, такое же, в сущности, как гауссовское обоаначение (а, Ь, с) формы «Х»+ 2ЬХУ + «У'.
Впрочем, зто было лишь одним из, несомненно наиболее интересных для пас, аспектов относящейся к определителям и всему с изми связанному обильной продукции Сильвестра и Кэпи, ощетинившейся замысловатыми тождествами и внушительными вычислениями. Грассмав открынает также (среди прочего) одну алгебру иад полем веществевяых чисел, а именно внешнюю алгебру, за которой закрепилось его имя. Его творение, даже более раннее, чем творение Гамильтона (Х1Ха), я созданное в почти полном духовном однвочесю«е, долгое время оставалось мало известшам, несомненно вследствие своей оригинальности, а также философского тумана, окутывающего его начало и сперва оттолкнувшего, например, Мебиуса. Побу»кдае»гый замыслами, аналогичными имевшимся у Гамильтона, но более широкими (и, как он скоро заметил, совпадавшими с замы«лами Лейбяица), Грассмав строит обширное алгебраико-геометрическое здание, покоящееся ва геометрической, или «внутренней» (уже почти аксноматизироеавпой), концепции я-мерного векторного пространства;из наиболее элементарных реаультатов, к которым он приходят, упомянем, например, опре.
деление линейной независимости векторов, размерности и основное соотношение гНп» У+ б1ш И" = йпв (У+ И') + «((ш (У П И') (там же, стр. 209; см. (Х1Хб), стр. 21). Но главным образом внешнее, а затем внутреннее умножение поливекторов доставляют ему средства, с помощьто которых ов легко справляется сначала с задачами собственно линейной алгебры, а затем относящимися к евклидовой струитуре, т.
е. ортогональности векторов (где он находит недостающий ему эквивалент двойственности). Другой путь изучения гиперкомплексных систем, открытый Гауссом, имеет своим отправным пунктом целые комплексные числа а + ЬС вполне естествен переход от иих к более общим алгебрам или гиперкомплексным системам иад кольцом целых чисел Е или полем рациональных чисел Г(, прежде всего к тем, ун«е рассмотренным Гауссом, которые порождаются корнями из единицы, п далее к полым алгебраическвх чисел и модулям целых алгебраических чисел. Указанные поля составляют главный предмет работ Куммера, а модулям целых алгебраических чисел посвящают свои исследования Дирнхле, Эрмит, Кронекер, Дедекинд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
