Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Операмзорьв ни ХЗв ?е Пусть и — эндоморфизм правого А-модуля Е. Если ? означает тождественный автоморфизм левого А-модуля Р, то и(31 есть эндоморфизм коммутативной группы ЕЯар (и'2). При этом, согласно (4) и (5), для любых эндоморфизмов и„и А-модуля Е имеем (и,+и,®1=(и,®1)+(и,®1) и (и, и,)(,)1=(и,®1) о (и Я1). Отсюда, в частности, следует, что если  — кольцо п Е наделено структурой левого (соответственно правого) В-модуля, внешний закон которого нереетановочен (гл. 1, т 5. определение 5) с внешним законом структуры А-модуля в Е, то тензорное произведение ЕЯаР канонически наделимо структурой левого б4 пги.южанке и к глввк п~ (соответственно правого) В-модуля, прн которой 1 (хну)=-Фх)Зу (соответственно (х3у) ° (э = (х())сьу) для всех рбВ, хб Е, убР.
Точно так же, если Р наделено структурой левого (соответственно правого) С-модуля, вне|пнпй закок которого переегаановочен с внешним законом структуры Л-модуля в Р, то Ефлр канонически паделимо структурой левого (соответственно прав го) С-модуля, прп которой у. (хну) = хК(уу) (хну) у=:х3(уу)) (соответственно для всех тРС, хбЕ, убР. При этом, если Ефлр одновременно наделено структурой В-модуля и структурой С-модуля, то, вследствие предыдущих формул. внешние законы этих двух структур переетановочнм. Пусть Е' — правый А-модуль, Р' — левый А-модуль, и: Š— ьЕ' и и: Р— ьР' — А-линейные отображения. Если Е и Е' наделены структурами (скажем, левого) В-модуля, внешние законы которых перестановочны с внешними законами структур А-модуля, и если и В-линейно, то ибйп В-линейно, пбо (и3о) (р(хну)) =(и®о) ((рх)3у) = и (()х)зп(у) = = Яи(х))Я~о (у) = р (а (х)Зо(у)) для всех ()бВ, хсЕ, убр.
Точно так же, если Р и Р' наделены структурами С-модуля, внешние законы которых перестановочны с внешними законами структур А-модуля, и если о С-линейно, то исвп С-линейно. Пусть à — иентр кольца Л. Гомотетни, определяемые в Е (соответственно в Р) элементами из Г, являготся эндоморфизмами структуры А-модуля в Е (соответственно в Р). Тем самым, согласно предыдущему, зто определяет в Ефлр две структуры Г-модуля с внешними законами (у,х®у) — +(ху)фу и (у, х(3у) — ьхЗ(уу) по определению Е®лР, зти две структуры совпадают.
Если Е'— правый А-модуль, Р' — левый А-модуль, а и: Е=Е' и ьч Р— >Р'— Л-линейные отображения, то ифп есть Г-линейнве отображение пкнложкник 11 к ГЛАВБ пг 465 ЕЗлГ в Е'Злр'. Отображение (и, о) — иЗо произведения Жл(Е, Е') хЖл (Г, Г') в Жг(ЕЗлГ, Е'Злр') опредетяет тогда (называемое каноническим) отображение Хл (Е, Е')Зг Жл (Г, Г') в Жг (ЕЗ лГ, Е'Зяр'), которое, очевидно, ! -линейно. Заметим, что, так же как в и' 4 ! 4, обозкачекве и З о может повлечь смешепво эяемеята и З о яз Жя(Е, Е') ЗгЖя(Р, Е') с его образом в сг(ЕЗ1Е, Е'Звр') пря упомянутом отображении, который мы в и' 2 также усяовклись обозначать и З ж В случае, когда Л коммутативно, ЕЗлГ, согласно предыдущему, наделено структурой А-.модуля, прн которой а (хЗу) = = (хсг)Зу = хЗ(ау) для всех и 6 А, х6 Е, у 6 Г. Для любого А-билинейного отображения) произведения Е)сГ в произвольный А-модуль Л' существует л,-линейное отображение у модуля ЕЗлр в )т' такое, что ! (х, у) = д (х З у) для всех х 6 Е, у 6 Г; так как при этом для всех сгб А имеем д(а(хЗу)) =у((ха)Зу).=1(ха, у) =се)(х, у) = ад(хЗу), то д А-линейно.
Поэтому существует (т 1, предложение 3) А-изоморфизм модуля ЕЗлГ на А-модуль, обозначенный в определении 3 4 1 через ЕЗГ, преобразующий хЗу (в смысле определения 1) в хЗу (в смысле, установленном в п' 2 1 1). В дальнейшем эти два А-модуля оудут посредством указанного изоморфизма отождествляться. 4..лензорное тероивведение с основным кольцом Пусть Š— правый А-модуль. Так как внешние законы А-модулей А, и Ав перестановочны, то тензорное произведение ЕЗлА, канонически наделимо структурой правого Л-модуля, пря которой (хЗХ) р=хЗ().р) для всех х6 Е, у 6 А, р6 А. Так как отображение (х, Х) — +хХ произведенияЕхА, в Еудовлетворяет условиям (2), то существует (называемое каноническим) Х-линейное отображение д модуля ЕЗлА, в Е такое, что у (хЗХ)=х)' для всех х р Е, ) бА; ясно, что Е А-линейно.
Пгкдложкник 3. Отображение Ь: х — ьхЗ1 правого А-модуля Е в ЕЗлА, есть изоморЯизм правого А-модуля Е на правый А-модуль ЕЗлА,; изоморфизм д, обратный к Ь, определяется условием д (хЗ 1) = х) . Зо н. вуреакя ПРИЛОЖЕНИЕ 11 К ГЛАВЕ 111 ДсйотзнтЕЛЬНО, ОЧЕВИДНО, Елй И Йлд — СООтВЕтСтВЕННО таждсственные отображения Е и Е3ААл на себя; поэтому, в силу своей А-линейности, д п Уг являются взаимно обратными изоморфпзлшмп, Заметим, что если Е наделено структурой (левого или правого) В-модуля, внешний закон которой перестановочен с внешним законом структуры А-модуля в Е, то д и й являются такяге взаимно ооратпыми пзоморфизмамп структур В-модуля в Е н ЕЗАА,.
Пусть теперь Р— левый А-модуль. Аналогичным образом определяются структура левого А-модуля в Ав|3АР' и канонический А-изоморфизм АвзАР на Р. В частности, существует канонический изоморфизм Ав3АА, на А (для структур левого и правого А-модулей), преобразующий Л<31г в Лр. Б. Свойсгмва Хг3АЕ мо омгыоьнеыит ь ггодмодулгга ы гфамггго1о.нодуулям Пусть Š— правый А-модулгы с — левый А-модуль, М— подмодуль в Е и ггг — подмодуль в Р. Расслготрилг канонические отображения Р г .
в :$Х -г- Е -+ ЕУМ и Х вЂ” ~ Š— е Р,,'"г1 . Отображение г®у (называемое каноническим) вообще не инъективно, так что вообще М®АХ не отождествимо с подгруппой группы езлг" (см., однако, и' 6). но имеет место следующий результат, доказываемый совершенно так же, как предложение 6 з 11 Пгедложение 4. Отображение р 3 д груггпы ЕЗАР в (ЕУМ) ~3А(РУЛ') сюръективно, и его ядром служит су.мма образов групп Е ЗА Л' и йг' ®А Р соответственно при отображениях 13у и гг31.
Следствгге. ууусть р — левый А-модуль и а — правый идеал колыуа А. Тензорное произведение (Ав а) 13АР канонически изоморфно факторгруггпе ру(ар), где мы под ар (допуская вольность) пони.маем подгруггпу в Р, образованную конечными сум.мами ~~'" Лгун в котоРых Лгбп и У16Р. 467 пгиложкник ы к главк ги Действительно, в силу предложения 4, (Ав)а)ЗлГ канонически изоморфно факторгруппе группы Ав ЗлР по каноническому образу группы аЗлР. Поэтому достаточно, на основании предложения 3, канонически отождествить Ав ЗлР с Р и заметить, что канонический образ группы а Зл Г отождествится тогда с аГ.
6. Свойства .Е Зля>' по оп>тсошенито м пряма>.н суммах и произведениям Пгвдложвнив 5. Пусть Š— правый А-модуль, являющийся прямой су.ямой се.чейства (Ез)>еь своих подмодулеи, и Р— левый А-л>одуль, являющийся прямой суммой семейства (Р»)»ем своих подмодулей. Тогда для любой пары (>., )>) 5 ЛХЛХ каноническое отображение Е>ЗлГ» е ЕЗлГ есть иэоморфизм на некоторую подгруппу 6г» группы ЕЗлР, и Е®лР есть прямая сумма этих подгрупп 6;ц,. Это предложение доказывается совер>пенно так же, как предложение 7 з 1.
В условиях предложения 5, ЕхЗлГ» отождествляется с 6н» посредством канонического отображения. Если элементы х> 5 Е> и у»5Р» равны нулю для всех кроме конечного числа индексов, имеем тогда (У ха) 3 ( ~) у») = Х зл 3 ум 'х » мм (б) В условиях следствия предложения 5, допустим, что модуль Е также обладает конечным базисом (аь)хеь. Тогда каждое гбЕЗлР представимо, и притом единственным образом, в виде 30" Слвдствпь. Если Р обладае>п базисом (Ь»)мем, пю группа ЕЗлР иэоморфна группе Е™ и каждый элемент иэ ЕЗлР представйм, и притом сдинственнь>лс образом, в виде ~, (хм 3 Ь>,), где элементы х»5Е для всех кроме конечного числа индексов равны нулю. Это доказывается, как следствие 1 предложения 7 у 1, с учетом установленного вьппе предложения 3. 468 ПРИЛОЖЕНИЕ 11 К ГЛАВЕ ГЫ ((аььь ) 3 Ьи), где ~ь„принадлежат А, н отображение Е,в — э (ььгг)ои и>еьхм есть изоморфпзм Е г3АР на А относительно <ьхм> групповых структур (и даже относительно структур модуля над центром кольца А).
Пусть (Еь)>еь — семейство правых А-модулей и (Ри)„ем — семейство левых А-модулей; рассмотрим модули Е= И Еь и Р= (1 Р„. ьеь гг ЕМ Отображение ((хь), (уи)) — х (хь г3 у„) произведения Е х Р в коммутативную группу Ц (Еь ЗА Р„) удовлетворяет условиям (2) ги>ОЕьхм предложения г; поэтому существует, н притом единственное, 7-линейное отображение ~ группы Е ЕЗАР в ~! (Еь (рАР„) (пазы>,Ъ ваемое каноническим) такое, что >((х>.) 9 (уэ)) =(хь 3 уи) Пгкдложкпнк 6.
Если (Еь)>еь — селгсйство правых векторных пространств над телом А и (Р„)„ем — семейство левых векторных пространств над А, то каноническое отображение ( Ц Еь) г3А( Ц Рэ) в ) г( (Еь г3АРР) инъвнпгивно. ЬЕь иегг (Ь, Феьхп ОбозначимчерездканоническоеотображеннеЕ3АРв ) ) (ЕАЗАР) ХЕь и через Ьь (для каждого Л6 Е) — каноническое отображение Еь®АРв )( (Е>3АР„); очевидно, > есть композиция отображениях аеэг и отобРажениЯ (Ь>,) пРонзвеДенна [~ (Еь>ЗАР) в П ( 1 ~ (Еь('> Р'в))' хеь 1ЕЬ иЕэх тем самым все сводится к случаю, когда каждое из множеств Е, М состоит нз одного элемента.
Покажем, например, что в инъективно; пусть (Ьо) — базис левого векторного пространства Р; тогда каждый элемент из Е®АР может быть однозначно представлен в виде х = ~., ((хьм>) г3 Ьс); если д (х) = О, то ~ (х~~~~г3 Ьс) = 0 0 о для каждого Л6 Я, значит, х)~>=0, каковы бы ни были Л п (следствие предложения 5), и предложение доказано. При выполнении условий предложения 6 тензорное произведение (ЦЕА)3АЩРи) часто отождествляется с его каноническим ь М пг11ложение и к глАВЕ ты образом в П(ЕлКаГа). В частности, если Р— левое векторное ма пРостРанство над телом А, АабРаР канонически отождестзлнетсЯ с Р (и' 4), значит, А афана канонически отождествляется с векторным подпространством в Г путем отождествления элемента ~~', (иг3Ьг), где Ьгб Р и иг — отображение Е з А, с отображением 7 — ~ ~ иг(Л) Ь,. множестваЛвР.
Точпо так же ЕзаАм, где Š— ппавое векторное пространство над А, отождествляется с подпространством в Е . Еще специальней, Аа ЗаА,' для любого М ь лх тела А отождествляется с подпространством в Агхм (рассматриваемом одновременно н как левое н как правое векторное про- странство надА) путем отождествления каждого элемента ' (и,Ко,), где иг — отобрав<ение Х в А и вг — отобраягение ЛХ в А, с отображением (Х, р) — +)' и; (Х) ог(р) множества Е'гЗХ з А.
Х. Дополнения о>пиосипгельно Жл (Е,Х) Пусть Е и Р— два левых или два правых А-модуля. (В дальнейшем для краткости будет предполагаться, что Е и à — левые А-модули.) Мы дополним в некоторых отношениях свойства ,Уа(Е, Р), установленные в главе П. Читатель отметит определенную аналогию между свойствами Жа(Е, Е) и Ебрр. Пусть Е', Р' — левые А-модулн и и: Š— эЕ', гл Р— +Р'— А -линейные отображения. Отнесение каждому элементу гб Ха (Е, Р) элемента а ого и б Жа (Е', Г') устанавливает Х-линейное отображение Ха(Е, Р) вХл(Е', Г'). Мы будем обозначать его Х(и, о). Каковьг бы ни были и, и„и, из Жа (Е', Е) и о, з„о„из Ха (Р, Р'), имеем Х (иг+ и., о) =Ж(ц„о) — , 'Я (и., п), ~ Х (а, о, + о ) = Х (а, ог) + Ж (и, о,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
