Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 92
Текст из файла (страница 92)
8) Пусть Š— Л-модуль, обладающий конечным базисом, состоя- щим иа и ) 1 элементов. Показать, что каждое линейное отображение р и — г е р. г фмодУлЯ /11Е в /(Е" такое, что (/~и) ф=ф (Р(и) Дла кажДого автоморфнзма и модули Е с определителем, равным 1, явчяетсн одним из изоморфнэмов грю определенных в п' 5. (Рассуждать, как з упражнении 12 1 5.) Вывести отсюда, что если в А существукгг обратимые элементы чь 1, то не существует изоморфизма /~(Е на ч — Г /~( Е*, который бы зависел лишь от структуры А-модуля в Е. 9) Пусть Š— А-модуль, обладающий конечным бавнсом, состоя- щим иэ я элементов. Пусть, далее, и — изаморфизм .Е на сопряжен- нмй модуль Е*, б — определитель матрицы з относительно базиса (ег) модуля е и сопряженного базиса (ез) модуля ее и и — канониче- ское продолжение и до изоморфизма д Е на /~( Ее.
доказать формулу -1 ги=з)а'гб ~р и*гр, где ф — ивоморфивм, состветствугощий базису е, Л /( ее моду- ля /1Е. 10) Пусть Х вЂ” «вадратвая матрица и-го порядка над коммутаи — 1 гивкым кольцом и Х==/Ь Х. Показать, что если Х обратима, то цвовствкнность для внкгвнкй ллгквры десХем(бе!.Х)п ', и что каждый минор Х а р.го порядка матрицы Х (! 6, н'3) задается формулой «=(с)ег е)Р Хл, (1! где Н' и К ' — соответственно дополнения к Н и Л' относителюго (1, и) (етогкдествз Якобнг). (Воспользоваться соотношением (30).! 1!) Из каждого тождества Ф=О, связывающего миноры общей обратимой квадратной матрицы Х п-го порядка над коммутативныи кольцом А, можно вывести новое тоясдество Ф =О, называемое дапеянитеяьним к Ф=О, прнлсеяяя тождество Ф=-.
О к минорам матрицы .Л (упражнение 10) и далее заменяя зти последние нх выражением чере: миноры матряцы Х посредством тождества (1) упрзжненяя 10. Дока зать этим способом следугощее тождество: Х'ьХг" — Хс«Хгь=(деГХ) Х" л'. где Х'г,сеа означает минор (и — 2)-го порядка матрицы А', яолучагощийсн путем вычеркивания в ией строк с индексами ! и ( и столбпов с индексами й я й. е12) Пусть Ф= 0 -- тоясдество, связывзгощее миноры общей обре.
тимой квадратной матрицы и-го порядка над коммутативным коль цом А, Ф=-.Π†дополнительн тождество (упражиеняе 11), У вЂ обратиман квадратная матрица (гг + й)-го порядка, где я — целое О, и У,--подматрица матрицы У (см, упражнение 10), полученная путем вычеркивания в У строк и столбцов с индексамя < Ю Если предположить, что Ус обратпма, и прпмеоить к ее минорам тождество Ф=О. далее заменить каждый минор, фигурирующий в этом тождестве (рассматриваемый как минор матрас)ы У), его выражением череа миноры матрицы У посредством тождества (1) упрюкнения 10, то получится тождество Фи=О для миноров матрицы У (справедливое, когда У и У„обратимы), называемое распространением И-ее порядка тождества Ф=О.
В частности, пусть А=(и;,) — обратимая квадратная матрица (и+(с)-го порядка,  — ее подматрица (с-го порядка, полученная путем вычеркивания в А строк н столбцов с индексами ) й, ЛΠ— определитель матрицы («+1)-го порядка, полученной путем вычеркивания в А строк с индексами ) й, аа нсклгочением ((с+г)-й, и столбцов с нвдексами ) сс, за исключением (й-) !)-го, и С вЂ” матрица (ЬП) гг-го порядка. Доказать, что если матрица В обратима, то с!е! С =(бес А) (с!еь В)" г. (Показать, что это тождество есть распространение й-го порядка полного разложения определятеля п-го порядка.) Указать тождества, получающиеся путем распространения лапласовского разложения (з 6, и' 4), а также тоясдества упражнения 2 1 6.
ЛОЛИЛИНИИНА// АЛГЕБРА гл. Ш,"8 «13) Пусть Х.=(сь/) — обратимая квадратная матрица и-го оо рядка над полем К, Н вЂ” подмножество интервала [1, и[, состоящее из р элементов, н Н' — дополнение к Н относительно [1, и[. Предположим, что для каждой пары индексов й б Н, /г б Н' имеет место равенство З//Е/а =- =я 1(оказать, что для любых двух нодмножестн /„й/ китернала [1, и), состоящих иа р элементов, выполяяется равенство йп и "ь //"л н рс / "г/ л"/.п =" (Рассматривая столбцы х/, матрицы Х с иццексамя /г б П как векторы ПРОСтРаиетза Е=КИ, а СтОЛбЦЫ Хз С ИНДЕКСаМИ ЛЕН' КаК ВЕКТОРЫ сопряженного пространства //«, показать, что (и — р)-форма х//, пропорциональна ЧР(х /).[ 14) Пусть Г и о — обратимые определители и-го порядка пад коммутатипным кольцом и ГН вЂ” определитель, получающийся путем аамены в Г гго /-го столбца /зм столбцом определителя Л, Показать, что (1е((Г;,:) =-Г«-~1.
[Разложить Г/г но /-му столбцу н попользовать упражнение 10.) ПРИЛОИ1ЕИИК 1 К ГЛАВЕ Г11 БЕСКОНЕЧНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ П РОИЗВЕДЕНИЯ 1. Теноорпые произоедетвим модулей Определение 4 з 1 без труда распространяется на тот случай, когда рассматривается любое (не обязательно конечное) семейство унитарных А-модулей Е, (в б Т). Те зорное произведение. ®Е, определяется аналогично как фактормодуль модуля форин мальных линейных комбинаций (с коэффициентами из А) элементов произведения Ц Е„по подмодулю, порожденному элементами ыг следующих типов: 1' (х,)+ (у,) — (з,), где х„+ у„= з„для некоторого (произвольного) индекса х и х, =- у„ = гч для всех вФ н; 2' (х,) — и(у,), где х„=-сву„для некоторого (произвольного) индекса и и х„=у, для всех с Ф и.
Существует каноническое полилинейное отображение (х„) — + ® х, произведения Ц Е„в ®Е, такое, что ® Е, порожыг их ыг ит дается образом Ц Ь', при этом отображении. Кроме того, для кажит доге полилинейного отображения 1 произведения ЦЕ, в произ- Ю вольный А-модуль Р существует, и притом единственное, линейное отображение у модуля ®Е, в Р такое, что тождественно мт у((х„))=у(®х,). Каково бы ни было разбиение (Ть)ць множества индексов Т, тензорное произведение Я Ь'„канонически изоморфно тензорвому ег пгиложкнив 1 к главк н! произведению ®Рю где Ра=® Е, (ассоциативность тензориого аЕ7 ьЕта произведения). Нрадпоження 6 я 7 $7 не распространяются на тенаорные пронаведения беоаонечння семейств модулей.
о. Тетанотаньае ироилведетатал алаебр Пусть (Е,),ег — произвольное (конечное нлн бесконечное) семейство алгебр над одним и тем же коммутативным кольцом А (с единицей). Введение на модуле ® Е„ассоциативного умножения ~Е7 по формуле (Я х,) (8 у,) =- Я(х,у,) определяет в ®Е„структуру алгебры относительно А. АТЕЕ Наиболее интересен тот случай, когда каясдая нз алгебр Е„ обладает единичным элементом е„, Тогда для ка7кдого к С 1 существуют канонический гомоморфизм ср„кольца А в Ея и канонический гомоморфизм 1я алгебргя Ея в ЯЕ„наделенное структурой ЕЕГ алгебры, определяемые формулами ср„(а) =не„для всех ар А, 1„(я)=®уо где у,==с„для с Ф к и уз=хсЕ. Мт Подалгебры ~„(Е,) попарно комму7пируют (т 3, и' 3), и порожденная имн подалгебра алгебры ® Е„состоит пз (конечных) сумм аЕГ элементов вида ®л„ где я„.=- е, для всех кроко конечного числа индексов.
Вследствие ее употребительности именно этой подалгебре (а не всему ®Е,) присвоено наименование 7псмзорного айаг произведения алгебр Е„. Она обозначаетсн ®Е, и вообще отлична он от алгебры (Я)Е„когда 1 бесконечно. сЕ7 Предложение 1 х 3 распространяется на тензорное произведение любого семейства алгебр, обладающих каждая единичным цгиложвник к Гллвк 11> элементом. Это уже ке верно ни для предложения 7 $1, ни для предложения 2 1 3.
Предположим, однако, что каждая алгебра Е„обладает базисом В„в который входит единичный элемент е, (что всегда имеет место, когда кольцо А есть поле). Тогда элементы ®то в кото- >Е> рых х, б В, для каждого > б Е и х, = е, для всех кроме конечного числа индексов г, образуют базис В тензорного произведения ®Ео Действительно, то, что этн элементы порождают ЯЕ„ (>) бб очевидно, и нужно только доказать, что они образуют свободную систему. Для этого достаточно, согласно п' 1, доказать, что для каждого элемента а = ® а, б В существует полилинейкое ото- >Е> браженне я произведения И Е, в А такое, что я((а,)) = 1 и я((Ь,)) = \Е> = О для всех элементов Ь = ® Ь, из В, отличных от а. Но пусть и, >Ег для каждого > б 1 — координатная форма на Е„, относящая каждому х,бЕ, коэффициент при а„в выражении з„в виде линейной комбинации элементов х„к В,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
