Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 89
Текст из файла (страница 89)
'р а-векторы х «, где Н пробегает множество всех Н' подмножеств интервала [1, р[, состоящих из а элементов, образуют а свободную систему в )1 Е. [Использовать а),[ 433 Опгецелители нлц полки; Разлгв!зныыю Р-Векторы в) Вывестп нз а), что есчи столбцы квадратяой в>атрицы и-го порядка над С линейно независиыы, то также строки этой ыатрпцы линейно неэавпснмы. (См, гл.
П, 4 О, упражнение 3.) 3) Пусть Е и Р— С-ыодулн, облздщощие конечныв>и базисаыи, состоящими соответствекпо кз т н и элеыыыов. Для того чтобы линейное отображение и ыодуля Е в Р было иооз орфиоиом Е о Р, необгоднв>о н достаточыо, чтобы т '=, и и для матрицы Х этого отображения относительно произвольных базисов в Е и Р не существовало бы скзляра азы О, произведения которого на все ее миноры т-го порядка равнялись ну>по.
[1(спользовать упражнение 2.) При выполнсаны этих услор >' Р вий, /), и для каждого Р (т есть изоыорфизв! >1 Е в ДР. 4) Пусть .-система т уравнещ>й с о певзвестныыи на коымутатнаноы кольце С. Пусть, далее, х, (1.а, (:;. л) — столбцы матрицы А=(а! ) втой системы и у=ф!)! предположим, что в А все ыиноры порядка ) р равны нулю, по х, Д Дхозсй. Для того чтобы система имела ре. шение, пеобходвпво, чтобы х Л ... Л хр Рз Е=О.
Обратно, если зто усвоена выполнено, то в С существуют л+ ! олеыеитов $> (1 ! ";., и-ь1) таких, что о >РОО н а»й> =()Д„! (1 ' > .< л>), >=! '5) Пусть Е н Р— модулы над коымутативныы кольцом А, облвда>ощие конечными базисами, состоящнмн соответственно из т и л :>лементов, и — линейное отображение Е в Р н Х вЂ” его матрица относительно произвольных базисов в Е и Р. а) Гслн >и л л и существует обратимый ыннор л-го порядка матрицы Х, то и есть отображеяие Р, иа Р.
б) Показать, что если, обратно, и есть отображение Е иа Р, то >л иа и и в Х существует ненулевой минор л-га порядка. Если, нроме гого, идеал кольца А, порождаемый необ>ратныымн элементами этого кольца, отличен от А, то в Х существует обратныый ыинор л-го порядка. и ! Рассмотреть внешнюю степень /~ и.) в) Пусть Š— комыутатнвное кольцо с единицей и А — яольцо ЛИЛ (гл.
1, 1 8, а' 10). Привести прка>ер такого линейного отобра>кения А-ыодуля Ав на ыодуль А, чтобы все элементы его матрицы (относительно канонических базисов ыодулей А ' и А) были делителями нуля. 6) Пусть и н в — раззожныые Р-вектора> пад векторныы пространством Е. Для разложимостн рыюктора и-) о необходимо н Носта- 436 полилинеиная АлгвБРА гл. 11г, 1 3 точно, чтобы пересечение подпространстя, определяемых соотаетстеенно р-аекторамп к и г, имело размерность ..-..р — 1.
7) 11усть х.= — ~ ассе!с — ненулекой разложнчый р-яектор над и секторным прас ранстаоч Е, еыраженпый через свои компоненты относительно пропзаольного базиса (в;). с е этого пространства; 6 — ыножестко р элементов ннтеразла [!, и[ такое, что но~0; (ж)~ юсо - последовательность, полученная путем расположения индексов нз 6 и аозрастающелс порядке, и (Гь)~ ь — последоаа~ельность, полученная путем расположения а возрастающем порядке пндексоа дополнения С' к С относнтольно [1, я[. Г)усть, далее, йьг для любой пары (Гь ь) ондекоза такнх, что 1:, й ьх р, 1::,' ь:и я -р, есть компонента а р-аектора з, соответствующая множестау Г! с [1.
я), образованному р — 1 инденсами нз С, отличныыи от ссь и индексом 1', н Х вЂ”. матрица (йьь) из р строк и я — р столбцов, Пусть, наконец, Ь вЂ” пронзаольное множестао р элементов интервала [1, а[ такое, что Ь П СС содержнт В ) 1 элементов. Показать, что (но)з 'ас. раино минору с-го порядка матрицы Х, образованному строками с индексами )ь для которых сь ч 6 П сь, и столбцами с пндексамк к, для которых )х бГ, П С6. [Записать, что имеет аид аоу,,т ...
Ст зрю где кекторы у; таковы, что а матрице У из п строк я р столоцов, столбцы которой образованы компонентами этих лекторов, поднатрнца, состааленцая из строк, пндексы которых принадлежат 6, является единичной гсатрпцей р-го порядка.[ 3) 1)оказать, что комыутант линейнон группы Сь„(К) обратимых киадратпых матриц я-го порядка над полем К соападает с группоя матриц, определитель которых равен 1, за исключением того случая, когда н=-2, а К есть поле 21(2) из даух элементов. [Слс. гл. 11, $ б. упражнение 9.[ 9 8. Двойственность для внешней алгебры Всюду, где нг оговорено противное, модули, рассматриваемые с настоящем параграфе, — это унитарные модули (над коммутативиым кольцом), имеющие конечный базис. Знакопереленньсе линейньсе у)ор.ньс и анпгиеимметприрооанные нонарианспньсе спензоры Пусть Я вЂ” унитарньш А-модуль с конечныгс базисом.
Как мы ш;дели [9 1, и'и' 5 н 7). модуль, гавря'кешсый к модулю ®Е коптранариаитпых тепзорон р-го порядка над Е, канонически двонст!ж!!ность для впвшнки АлГеБРы 43 отождествим с модулем ® Е* ковариантных тензоров р-го порядлз яад Е, так что по отождествлении каноническая билинейная форм ! (г, ."') (гл.
11, $ 4, и' 1) на (®Е) х (®Е*) определяется соотн!- шепнем (х, З ... З х,„ х,'З ... З хр) = (х„ з,') .. (хр, хр), (1; каковы бы нн были х,.бЕ н х,'РЕ*. Каждый коваркантный тонр зор з' б 8 Е~ отождествляется так с линейной формой ° —. (з. =, на ® Е. Исследуем, с какой линейной формой на (3 Е отождествлястсн тензор а (4 5, п' 1), где а — произвольная подстановка из б,.
Заметим для этого, что имеет место тождество (ах, аз') =(г, г'); (2! по линейности достаточно доказать его для разложимых тензоргв з = х, З ... З х„ и з' = х, З ... З х„; но в этом случае левая р часть формулы (2), по о!тределению, равна )) (хе-нй, х,',-!!!>); в сняу !=! же коммутативностп А, это выражение равно правой части формулы (1) и тем самым равно (з, г').
Заменив теперь в (2) в на а лз, получим (з, аз') = (а ", з'). (5) Инымп словами, в силу формулы (4) 4 5, линейная форма, с кот!- рой отождествляется тензор аз', получается путем применения к линейной форме, отождествляемой с з', оператора а в соотвстствпн с определением внешнего закона (а, я) лад на М ((ЯЕ.
Р) (з 5, и' 1). Из тохсдества (3), умножая обе егочастн па е = е,—, н суммвр! н но а, получаем (з, аг') =-(аз, з'). Иными словамн, линейная форма па ЯЕ, отождествляема:! с результатом аптис!ап|етрнрованпя коварнантного тензора з', есть не что нное, как результат антнснмметрнроваппя линейной формы, отождествляел!ой с "'.
полгглииейггля ллгквРА гл. ггг, а в и. Модрль, еопрязгсенный и енегиней етгаененн Найдем теперь модуль, сопряженный к р-й внешней степени Р /г, Е. Как мы знаем (з 5, и' 5), существует (каноническое) взаимно р однозначное соответствие между линейными форлигми на /г Е р и знакоперемснныни линейными формами на Я Е.
Так ъак Е облар дает базисом, то знакапеременггые лип ей пью формы па ®Е совпадают с антисиммстрированными (з 5, теорема 1). По поскольку Е обладает конечным базисом, аптпспмметркровапные линейные формы на ®Е отождествипы (канонически) с аптисимметрированными коаариантными. тензорами р-еа порядка пад Е (и' 1). Наконоц, так как Е* обладает базисом, то существует канонический изоморфггзм модуля аптпспмметрпрованиых ковариантных р теизоров р-го порядка над Е па р-в внегингакг спгтгень /~Ее (з 5, продлоягеппе 6). Такгчгг образом, в силу этих замечаний, можно устагговить канонический изоморфизм чодуля, сов рьпкотгого к /г, Е, на модуль Р /~ Еа.
Дпя точного определения этого изоморфизма достаточно р указать линейную форму / па ДЕ. которой соответствует разложимый р-вектор х,' /г ... /г хр на Е* (з 5, и' 5, схолпя); с другой стороны, значения / будут известны для каждого р-вектора пад Е, если онп известны для каждого разлслсимого р-вектора х, /г ... /г хр (з 5, п' 5, схолпя), Но, согласно предыдущему. г капонк и скп соответствует ковариаптпому тепзору и (х З « ° З хр) = ~ ватаги З ° ° З хана ° р :Зтот нос э "дний отождествнм с линейной формой па Я Е, зпачеггкезг которой для топзора х, З ... З х„, принимая во внимание (4), слугкпт (5) е (.г „и х,')...,.с ыв, х,',). ДГОйственность для Внешней АлГеБРы 439 Так как х, Л ...
Л хр есть канонический образ х, 3 ... З хр р в ЛЕ (з 5, и'5), то выражение (5) и есть искомое значение /(х, Л ... Л хр); согласно формуле (5) $6, зто выражение есть ио что иное, как определитель матрицы ((хс, х,')). Иными словами, справедлива следующая теорема: Теорема 1. Пусть Š— модуль над комлсутативньсм кольцом Л, изсеющий конечный базис.
Липейное отображение модуля Л Ь"" в р зюсСуль, сопряженный к /сс Е, относящее каждому разложилсому р-векоюру х, 'Л ... Л хр над Ев ли>сейную форму/ на Л Е такую, сто /( Л .. Л:р)=йе1((хс, хс)) сося каждого разложимого р-вектора над Е, есть изозсорфизлс модуля Л Ев на .чодуль, сосгряжессный к Л Е (назьсваеьсьш, как и изоморфизм, обратный ему, каноническим). р 11ссоду в д;щьнейшем модуль, сопряженный к Л Е, будет р отолсдествляться с Л Е* посредством установленного нами канонического изоморфизма; каноническая билинейная форма (гл. 11, р р з 4, и' 1) па (ЛЕ) х (/ссЕв) будет определяться тогда фундаментальной формулой (х, Л ...
Л хр, х', Л ... Лх„')=бег((х„х,')). (6) Элементы модуля Ас Ьм' (р-векторы пад Ев), отождествленные гак с линейными формами па Л Е (и канонически соответствующие знакопсромзшпсм полплппейпым формам па Е"), будут называться также р-формами «а Е. Пусть (ес)сс軄— базис модуля Е и (ес)с;,„-- сопряженный станс в Е"; формула (6) показывает, что (е; Л ... Ле;, е,' Л ... Л е,' ) =с1ес((есь, е),)). Ио если сусцествует индекс /А, отличный от всек Ь„то определитель, стоясцяй в правой част, имеет пулевой столбец; другимп 441 двойст!!кп!!Ост! Для Внпшпеп Алгевры р Действительно, пусть и — отображение, сопряженное к Л и. Для каждо!о раз.по;киного р-вектора х, Л ...
Л х над Е и каждой разлогкимой р-формы у, Л ... Л у„' на Р, по определению, имеем (х, Л Лх„-(у',Л .. Л у,'))= =(и(.!)Л ° Ли(х) У Л . Лур) откуда, согласно (6), (х,,Л ... Лх „г(У,Л ... Лу,))=- = Йеь.'((и,(л,), у,",) =де1((.сп 'и(у,'))) = = (х, Л ... Л хр, 'и(У,') Л ...
Л'и (У„')), а зто и показывает, что (1 ) Слкдствггв. Если и — автоморфизл! л!одуля Е, то автоморфизм р модуля Л Е", нонтрагредиентный ь" автоли>рфизму Л и, совпидает с р-й внешней степенью Л и автоморфизма и, гюнтрагргдиентного и и. Это сразу слодует из установленной только что формулы (11) и формулы (8) й 5. р р Таким образом, для всех х й /~ Е и х' 6 Л Е* имеем г (12) (Л и (х), Л и (х')) = (х, х'). :А .ЬГодуль, еогррлзгсеыыый и Л Х В дальнейшем в множествах Л Е и Л Е"', определенных в и'!) 4 5, будут одновременно рассматриваться, с одной стороны, пх структура А-.иодуля, а с другой, их структура кольца — две структуры, которые надо будет тщательно рааличать. Л-модуль ЛЕ есть, по определению, пряная сузи!а и+ 1 модулей Л Е (О -': р -д и), где п — число злементов базиса модуля Е; следовательно (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
