Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Л (еь,сьр -',-... +еь Ь„;„)= = Хп, л е;, Л . Л еь . (7) Понятие минора матрицы позволяет выразить компоненты рагложимого р-вектора х1д...у(хр относительно базиса (ел) мор дуля у~Е, соответствующего базису (е,) модуля Е, через компоненты элементов х относительно базиса (еь). Действительно, пусть Х вЂ” матрица (Бьу) из п строк и р столбцов, у-и столбцом которой для 1<у< рслужптх;; формула (7) показывает, что компонентой р-вектора х,Л ...у(х„с индексом Н служит минор р-го порядка матрицы Х, имеющий Н множеством индексов строк, Рассмотрим теперь линейное отображение и модуля Е=А" в Р=Аы; пусть Х вЂ” его матрица (из т строк и и столбцов) относительно канонических базисов (е;)1ауяр и (У1)1мьа модулей Е иР; пор ставим своей целью найти матрицу р-й внешней степени Д и относи- 419 опгвднлитклн э г тельно базисов (ек) и (/и) модулей /~ Е и /~ Р.
Если (у'ь) — последовательность индексов, образующих К, расположенных в порядке р возрастания, то /г и(ек)=-и(еу)Л ... Л и(е, ); поатому элемент 1 'э ' э матрицы отображения /~ и, стоящий на пересечении строки с индексом Ни столбца с индексом К, есть нечто нное, как Н-я компонента разложимого р-вектора /~и (ек), т. е. минор Хн к матрицы Х. р Иными словами, матрицей отображения /~ и служит матрипа (Хн,к) (из ( у строк и ) столбцов), образованная мино- Г ж '~ у' н Р рами р-го порядка матрицы Х (со знаком, установленным описанным выпге образом); мы будем обозначать ее /~ Х и называть р-й внешней етенеггью матрицы Х. 4. Ранлоэугетеип оырейелтепгеегн Вернемся к формуле (3), задающей определитель матрицы Х=.Я;,.) и-го порядка. Пусть Н вЂ” подмножество множества индексов ]1, и], состоящее из р элементов (1 <р~( и), Н' — его дополнение относительно 11, и] и (г„) (соответствонно (у ))— последовательность индексов, образующих Н (соответственно Н'), расположенных в порядке возрастания; можно написать хгЛ ° Ли 9н,н,(хг Л.
Лз')Л(иг Л ° .Лиг ) (8) где 9,=( — 1), а чозначаетчислотехпар(г,у), в которых гб /у, у б Н' и у ( г (~ 5, и' 9). В обозначениях из и' 3 имеем тг Л - .. Л*. = Х екХк, и, к л,,Л Л иу = ХеьХын, где К пробегает множество всех подмножеств интервала [1, гг], состоящих из р элементов, а Ь вЂ” многггество всех подмножеств этого интервала, состоящих из и — р элементов. Подставляя этн выражения в (8) и принимая во внимание таблицу умножения базиса (ея) внешней алгебры (з 5, п' 9, формула (14)), мы видим, что екЛеь=-О, если только Е не равно дополнению К' множества К 420 полилинвиная ллгввгл гл. ш, 16 относительно 11, п~).
Это приводит к следующей формуле для опре- делителя матрицы Х: ае|Х=чн, н л' ч» »,Х» нХ», н,. К (9) Важный случай лапласовского разложения имеем при р — -1, Н=Я; тогда для каждого множества К=(|), состоящего из одного элемента, Хк, я= — е||, 'Х|с, и есть минор (п — 1)-го порядка, получающийся путем вычеркивания в Х 1-го столбца и |-й строки н обозначаемый далее Х|'.
Так как„очевидно, Он, н — — ( — 1)| |яр», к = =( — 1 ' ', то формула (9) принимает в этом частном случае вид йеС Х= ~~ ( — 1)"ЧпХ"; 1=1 (10) ее называют разложением определителя матричы Х по у-му столбиу. Минор ( — 1)|"Х" называется алгебраическим дополнением элемента $м. Отметим, что при заданном множестве Нс (1,п] нз р элементов миноры Х» и зависят лишь от элементов матрицы Х, находящихся в столбцах с индексами, принадлежащими Н; из этого замечания вытекает, что если Л вЂ” подмножество в 11, п1, состоящее из и — р элементов н яе совпадающее с дополнением Н' к Н, то Х й», к Х», нХк . ь = О.
(11) Действительно, это выражение дает, с точностью до анака, лапласовское разложение (по столбцам с индексами |Р Н) определителя, получающегося путем замены в определителе матрицы Х столбцов, индексы которых принадлежат Н', столбцами, индексы которых принадлежат Х (с соблюдением расположения иядексов). Так как Н и Ь имеют по крайней иере один общий индекс, то этот яовый определитель имеет по крайней мере два одинаковых столбца и, значит (предложение 2), равен нулю.
Эта формула известна под названием лапласоеского рагложения определителя матрицы Х по р столбцам с индексами из Н (или по и — р столбцам с индексами из Н'); миноры Хк, и и Хк, и . называются дополнительными друг к другу. опгиднлитили 421 3 а и е ч а н и е. Лапласовское разложение существенно опирается иа иггочиативносгиь внешнего произведения; было бы выгоднее прямо воспользоваться этим свойством, не прибегая к помощи формулы (9).
Примеры. 1) Определитель Вандерионда. Пусть (гг), „— заданная последовательность и элементов кольца А. Оиредсгизисгегг Вандермоида этой последовательности называется определитель и-го порядка З ! ... 1 гг - ° ги г) *г " ги Г (гз, гг. .., г,) = ги-з ги-з гп-> г ° п Покажем, что ( г . г«)= и (3 гз). (13) г(з' Принимая во внимание очевидность утзерягдения при и=1, проведем доказательство иидукцней по и. Для каждого индекса й )~ 2 вычтем из й-й строки (й — 1)-ю, умноженную иа г,; значение определителя не изменится, и мы получим, что 1 ( О гг — г, О гг(гг — г,) ги — г, ги (ги гг) 1 (гь гг, ..., ги)= О гпг г(гг — г,) ...
г,", г(ги — гг) Разлагая этот определитель по первому столбцу и затем вынося из (й — 1)-го столбца получающегося так минора множитель гь — г, (2 < й си и), будем иметь У(гг, гм ...,г, )=(гг — гз) (гг — гз)... (ги — гз) У (гг, ..., гп), откуда и следует справедливость формулы (13). 2) Рассмотрим квадратную матрицу и-го порядка, имеющую вид «квадратной клеточной матрицы» (гл.
П, 1 6, и' 5): В частности, прн й Ф) имеем Х ( — 1)%ПХг' = О. (12) з=г Рассматривая определитель матрицы, транспонированной к Х, мы, н силу предложения 4, снова получаем «разложенияэ для пе1Х, на этот раз по строкалг этого определителя. 422 полилмпкйнан ллг»ь»л Гл. Нц ", б Покажем, что бег Х= (бег У) (бег 2).
(!4) Пусть Ь вЂ” порядок матрицы У; столбцы хг, х,, ..., ха матрицы Х принадлежат подмодулю, имеющему бааис е„ез, ..., еь, и, а силу формулы (3), х, Л... Лха=-(бегУ) е,Л ... Лещ С другой стороны, длн каждого индекса г ь а можно написать хг =х,.'+х,", где хг — линейная комбинации злеыентоз еы ..., еа, а хг— линейная комбинация элементов еь,м ..., е„. П силу (15), для каждого 1» Ь имеем тогда хгЛ ° ° ЛхаЛ х~ — — О, и аначит, хгЛ... Лх =-(г)егУ) егЛ ° . Лес Л(хг,1Л ° ..
Лхй) Ио так как, по определению бег Я, хг„Л... Лх"„=(бег к) а„,Л .. Лаю то мы и получили формулу (14). Из иее индукцией по р сразу следует, что если Х имеет зяд кле точной матрицы Хп Х,з, Хг» С Х ... Хз о о ... Х»„, где асе матрицы, находящнесн под диагональю, лулевмс, то г(ег Х =-(бег Хн) (гЫ Х„) ... (бег Хр»). о. Выражение для обратггной лгатггртгцы. При.ненение и линейнщ.и ураененагя.м Пусть А=-(а;;) — заданная квадратная ыатрица п-го порндка иад коммутативным кольцом С с единицей; положим ргг= — ( — 1)г"1)ггг (алгебраическое дополнение элемента яп); формулы (10) и (12) допускают следующую запись: У,, Ртгага = б;„бес Л, (16) г=! где 6;„— кронекеровскпй символ; обозначая через В квадратную матрицу (()г)), можно записать соотношение (16) также в виде ВА= (г)е1А) 1„.
(17) 423 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Рассматривая разложения определителя матрицы Л по ее строкам, получим аналогично формулу АВ = (беФ А) ° У„. (18) Принимая во внимание следствие 2 предложения 1, мы видим, таким образом, что справедлива следу!о!лая теорема: '!"еогеыл 2. Для того чтобы квадрагпная матрица над коммутативным кольцом С (с единицей) была обратилгой, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был обратимым в С. Матрица А=(Агг) есть не что иное, как (и — 1)-я внешняя степень матрицы А. Формулы (17) и (18) показывают, что если А обратима, то обратная к ней матрица получается путем взятия матрицы, транспонированной к А, умножения в этой матрице г-й строки на ( — 1)! и у-го столбца на ( — 1)У для всех г и у от 1 до и и, наконец, умножения полученной матрицы на (г)еФА) ' (см.
й 8, предложение 5). Рассмотрим на кольце С систему и линейных уравнений с и неизвестными агг$, = т!! (1 ~ ! -. и). г=! При обычном отождествлении матрицы из одного столбца, образованного элементами $! (соответственно г(!), с элементом х=(Ф!) (соответственно у=(г!!)) из С", система (19) записывается также (гл. 11, т 6, п' 4) в виде (20) Пусть и — эндоморфизм х — >Ах С-модуля С"; утверждение, что уравнение (20) имеет (по крайней мере одно) решение для каждого убС", равносильно утверждению, что и есть отобрагг ч жение модуля Е=С" на себя; тогда н Д и отображает Д Е на себя; Я и но /Ф,Е изоморфно С-модулю С, а /! и есть гомотетпя з — > (беФА) з модуля /Ф Е; поэтому сугцествует уьб С такое, что )ь(г)еФА)=1, иными словами, беФА обратим в С.
Обратно, согласно теореме 2, обратимость г)еФ А в С влечет, что и есть автоморфигм модуля Е. В итоге имеем: гл. пи%6 424 полилинкиняя Алгквкл Пгкдложкник 5. Для того чтобь! система и линейных уравнений с и неизвестными на коммутативном кольце (с единицей) обладала по крайней мере одним решением при любых правых частях, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этой системы был обратимым; и в этом случае решение системы единственно.
Полагая Л=с)е1А, получаем из (17) и (20), что >ьх = Ву, (21) е >Ц! -— ~~' ( — 1)"'т) А>! (1 < 1~ и) 1=! нли, иначе, ст$! = Л! (1< >< и), (22) где й! означает определитель, получающийся из сь путем замены его >-го столбца столбцом у=(т)>). Коли >1 обратим, единственное решение системы (19) задается формулами (22), называемыми ббормулами Крамера. Кроме того, принимая у=0, получаем из (22) Пгкдложкннк 6. Хсли однородная линейная система и уравнений с и неизвестными на коммутативном кольце обладает ненулевым ре>пением, то определитель ее матрицы является делителем нуля. Можно показать, что зто необходимое условие также достаточно (3 7, упран пение 2). 3 а м е ч а н н е. Формулы Крамера могут быть получены также следующим образом.
Обозначим столбцм матрицы А через в! (1 ( ! (п); тогда система (19) равносильна уравнению в>4 е у (23) > ! нз .Е=С". Умножив (внешне) обе части формулы (23) слева на в! Л ... Лв! „а справа — на вг,>Л . ° . Лв„, получим "ь! в! Л ° Л се = а! Л ° ° ° Л а! ! Л у Л а!,! Л ° .. Л в„, что, в силу формулы (3), равносильно формуле (22). ОПРЕДЕЛИТЕПИ у п р а ж и е н и я, 1) Если в определителе о и-го порядка ваменить ; й б „лгз каждого индекса 1 суммой всех столбцов с,индексами ,чввтся определитель, равный ( — 1)и ' (и — Ц о.
Если в Л для каждого индекса 1 вычесть сумму всех столбцов 1', то получится определитель, равный — (и — 2) 2и 1Л. 2) Пусть в~=бее (а;,) — опРеДелитель и-1'о поРнцка; Длл всех и )' от 1 до и — 1 положим =1,, ав,; аз„,, Овв Уз хз й вхп йз й 'х" Х' = (гв ивУ1) (хв )гвУг) ° ° (хп-1 )ги-1Уи-1) хи ны ести иа него счедуговцие тождества: 1 1 1 ... 1 Ь аз а1 а1 Ь1 Ьа ав".аз =(а,— Ьг) (ав — Ьв) ...
(аи — Ьи), Ь Ьа Ьз...а авЬ1 авЬв авьз 1 и ...аЬ а,Ьв авЬв авьз .. з и ... а Ь авЬз авЬз азьз '' з и ... а Ь =авЬи (азЬ1 — агЬв)... (апЬи 1 — аи,Ьп), авЬп азЬп аз и и и ...а Ь ав... апЬ161 ° .. а1Ьгьз ... Ьп-1 ав . аиавьг ... ававЬв ° ° Ь -1 ав ... аиавав... ававаз ... Ьп 1 агав "° аи агав ° . апЬ, ав... ЬпЬ1Ьв ... а,аваз ... а„в агав .. Ьп азав ' ...Ь Ь =(агав... аи — Ь1Ьв ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
