Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 81
Текст из файла (страница 81)
ас, полу нцощггосн путем сунсеннн кольцн операторов модуля Лт до Вр. Позтонт цст сено. наний различать поннгнн унитарного й-модуля и А-модуля, сгязнн. ного с группой Оп~ вдвлвннк 2. Иуспгь М вЂ” А-.нодуль, связанный с си.н.нгтри-, чгской группой бр. Элемент г и М нагываепгся симметрическим, если аг = г длл всех ас бр, и антисимлсгтричгски.н "), если для каждого ас бр илсггн сг ---- гсг, еде гс — сигнатура подспгпновки а (гл. 1, 1 7, и' 1). Множество всех антисимметрическпх (соответстеенно симметрических) элементов из АХ является под.нодулглс в М относительно его структуры В-модуля; действительно, если аг = г,г (соответственно аг = г) для каждого ар бр, то длн всех тр б имеем а (тг) =а(в,г) = е,аз = е,г„г = е,(тг) (соответственно а (тг) =- а(г) = ") В русской математнческок литературе вместо чннтнснмметрнчесннн» оолее п1»иваго Говорить нсссссльняпоичесвиа.— Хгсрсс.
:59'! внвшняя ллгвврл =-г = тг). Если М = ® Е, то зги подмодулп совпадают с тензор нам и нодпространстлвами (у 4, и' 2) тензорного пространства ® Е. П< едложеиие 1. Для того чтобы злвл<ент г был симлжтричвсним (соответственно антисиммвтричеснил<), необходил<о и дванов<очно чтобы тг .=- г (соответственно тг =- — г) для каждой транспозииии (гл. ), $7, и' 1) тб Ьр. Необходит<ость условия очевидна. Его достаточность следует пз того, что каждая подстановка пб б„является произвсоением транспозииий (гл.
1, т 7, п' 1), а а — э ее есть представление группы Бр на ыультпплпкативную группу ( — 1, +1). Опрвдвлвнив 3. Пусть М вЂ” А-модуль, связаннь<й с группой Яр. Элемент <г = л есп групповой алгворы В группы <й„относительно А с<ил ч называется оператором антисиммстрирования *), а аз= ' ееог, с зде гб М, — результатом антисим.иетрирования зле.иента г. г.— раг есть линейное отображение модуля М на его подмодуль р (при М= ®Е явлиющийся тзнзорным подпространством). Првдлоя<внне 2, Антисимметрирование .«юбозо зле.иента гбзМ приводит н антисимметричесному злементу (чем и оправдывается термин «антисимиетрированиез).
Действительно, для каждой подстановки й б бр имеем й(аг) = л~', есйаг = ео ~ еесйпг = ее (аг), е с посколы<у и — р йг взаимно однозначное отображение бр на себя. Следствие. Если = — антисимл<етричесний элемент из М, то аг =- р!г. Действительно, дли каждого об Яр инеем тогда е,пг = г. 3 а м е ч а з и я. <) Как видно вз доказательства предложения 2, подмодуяь з М, образованный результатами аитисзмметрярозання всевозможных зземевтоз вз М, инвариант«и относительно каждое *! В русской математической литературе аитисамметрирозавие пазы.
езжт «зып *рнирес«з«~ и.— Нср««. !СОЛПЛЯНКЙНАЯ АЛГЕВРА гл. нкгб 392 подстановки о б Яр, 'другнмя словами, он является ппдлгэдулем этппешпельнс етруюпурм В-.ивдулл в М. Доказательство этого, данное пря доказательстве предложенн» 2, показывает, что в кольце В множество всех Асс (1бл) нвяяется лепим идеалом. Более обжим обрааом, если 1 -любой левый идеал кольца В, аддятннная подгруппа в М, порожденная элементами сг, где с пробегает 1, а г пробегает М, есть нодмодуль В-модузя М, нлн, иначе, подмодуль А-модупя М, иннаряаптяый относительно всех операторов симметрии.
В яаиболее важных случаях можно показать, что каждмд псдмодупь В-модуля М может быть получен таким способом. 2) Антнснмметрнческнй элемент модуля М пе ееегда леллетел реэульпсатэм аюпиеимиееприрэеапил иакэгэ-либэ элемента иэ М (см. и' 2, замечание, н и' 3, следствие предяоженнн 5).
Однако если уравнение р!к=-.а прн каждом а Б М обладает в М однозначно определенным решением, то всякий антнснмметрическнй элемент г Р М получается путем антнсимметрнровання. Действительно, если г' — элемент яа М, для которого р! г'=г, то р! (аг')=аг=р)г, откуда г. па'. й. Зтсссггоэсерелсентсьсе эсолтллитсеЬньсе фуннтсисс Пусть Š— унитарный А-модуль и ) — антисимметрическое полилинейное отображение ЕР в А-модуль Р, так что для каждого ж=(хс), с „сЕр имеем, "~(тж) = — ) (ж), какова бы ни была транспоэиция т. Существование транспознцин т, для которой тж = ж, равносильно существованию двух различных индексов П ), для которых х, =- х;; если это имеет место, то С(ж) =)(тж) = = — — ) (ж), откуда 2г(ж) = О.
Коли в модуле Р соотношение 2у = О влечет у = — О (а это как раз имеет место, если кольцом операторов А служит поле характеристики чь 2), то тогда каждое антиснмметрическое полнлинейное отображение Е" в Р аннулируется на всяком ж = (хс), имеющем (по крайней мере) две равньсе координаты. Этим подсказывается введение следующего определения, уже без всяких предположений относительно модуля Р. Опрвдвлвнив 4.
Полилиссейнов отображение у модуля Еэ в Р называется знакопврвменным. если с (х, хг,..., хр) = — О для всякого ж = (хс) нЕ", имеющего (по крайней мере) две равные р координиты хс. Линейное отображение у модуля (3 Е в Р называется знакопервмснньсм, если знакопсременно соответствующее иолилипейное отображение (х,, г „..., .гп) — ь д (х Е) .г Я,, 8 х ).
внкшняя АлгевРА 'Таким образом, знакопеременность д означает, что у аннулируется на каждом тензоре г = х,>Е> х,ф... >3х„таком, что р тг = г хотя бы для одной транспозиции т. Подмодуль в ® Е, порожденный такими тпензорами г = х> 6> х ®... >Е> хр, будет вплоть до конца нас>пояш езо параграфа обозначаться через 11, Зыакоперемвнныз>и линейными отображениями модуля ® Е е мор дуль Р будут тогда те линейные отображен>ля >3 Е в Р, которые аннулируются на подмодуле Л>. Допуская вольность речи, мь> р оудем называть Л> подмодулем в ® Е, на котором аннулируются все знакопеременные линейные функции.
Предложение 3. Для каждого тензора гб®Е и кажаой поа- спигновки аР б элемент г — е,аг принадлежит Л'. Поскольку каясдая подстановка а р Я является произведе- нием транспозиций (гл. 1, 1 7, п'1), мы докажем справедливость предложения для произведения и транспозиций индукцией по и. !! ри и= 1 следует показать, что г + тг б ЛУ для каждого г б ®Е я каждой транспозиции тбир.
Достаточно рассмотреть тот слу- чай, когда г — элемент вида х, ~$ х (х~... Я х„. Предположим, что т переставляет различные индексы 1 и 1. Обозначим для ка>кр лого у р Е через ф (у) элемент из ® Е, получающийся путем под- становки в тензоРное пРоизведение хд~ хз>3... бу хр элемента У вместо каждого из элементов хг их;. ДлЯ каждого УбЕ, по опРе- делению, имеем >р (у)рН. Но г + тг = >р (х; + х;) — >р (х>)— >р (х>) Оледовательно, г -~'- ггпу Л", Отсюда вытекает, что если г с Л>, то для каждой транспозиции т таьтке тг р Л", иными словами. т (Лг) = — Лг, Предположим теперь, что предложение справедливо для подстановки о, являющейся произведением п трапспоаиций, и покажем, что оно справедливо для подстаповки о = тй, где т — произвольная транспозиция. По предположению, ог ж зег (н>од Лг), откуда ог =- тог =.
езтг (п>ой Лг), поскольку т (Лг) = У; так как тг ==. езг (гас>1 ЛГ), то заключаем, что аг = — езе,г = =..: ( аЛ), г.ь ыь ч ь5 полилннкннля хлгквгл Из етого предложения вытекает, что Л' инвариантно относительно каждого еббр, ннымн словами, является подмодулем относительно структуры В-модуля в Я Е, Слкдствньч Каждое знакопвременное полилинейное отображение антисиммстрично. Действительно, если д — знакопоремепнос линейное отображеу е нпе ® Е в Е, то д (в — есог) =- О для каскдо~о зр ЯЕ и каждой подстановки нб б„„откуда, в тьпу (4).
пу =- есд. 3 а и е ч а н и е. Гели в Р соотношение ну..о не обязательно влечет у=о, то антесимметрвческое полилинебное отображение К~ е Р не обвзательно знакопереыенно. Например, если К вЂ” поле характеристики 2, то на векторном пространстве К относительно К си.чметричсссие полилннебные формы совпадают с сюниессмзселгричесвисси.
и существуют не чпакопеременные снмчютрнческне полнлннейные формы, например биланейная форыа (е, у) -. и (х) и (у), где и — ненулевая линейная форма на К. 3..4 нпгисннлгепертеровантггме линейные Яеуннитетл р Пгвдлонгкник 4. Пусть д -- линейное отоброзкенив ® Е в А-мои оуль Е. Каков бы ни был твнзор = р ®Е, ид (з) = в (не).
(й) Действительно, умно'кнв обе части соотношения (4) на е„— -- ели просуммировав по о, получим (О). Следствие. Результат антисимметоировония любого линейного опгобралсения ® Е в А-модуль Е аннулируется на ьаждом твнзорс =, для ьоторого нз == О. Будем в дальнейшем обозначать через Л', подмодуль в ® Е, образованный теми тепзорами ., для которых пл = О. Следствие предложения 4 показывает, что результат антисиммвтрировар ния каждого линейного отобра'кения модуля ® Е в А-модуль е" аннулируется на подмодулв Хм Зйб Внншння Алт'ввил Следует, однако, заметить, что зто условие ва задамлсрааугт знтиснмантрнрованны~ зшнйньв отображения; вныын с.ювамн, мо.
жат оказаться, что линг йное отображение Я Ь' в Р аннулируется на Д, и тем нв менее не является результатом знтисиммотрнрования накогопибудь линейного отображения (см. упражнение 5 и теорему 1). ((гхдлои;гнш: б. Для каждого тпензора г, принадлглсаи(его поо.родулю тт', на котором аннулируются все знакопеременные, линейнью функции, имеет месторавенство ог = О (инымп словнзш,)((С )т',). Действительно, тт' порождается тензорами г такими, что тг = — " для некоторой транспознции т.
Покажем, более общим образом, что в модуле лт, связанном с группой Жр, каждый элемент г такой, что тг =- г для некоторой транспоанцпи т, удовлетворяет условию ох=О. Для этого рассмотрим в жр подгруппу Г второго порядка, образованную транспозицией т и тождественной подстановкой. Возьатеаг в каждом из — левых классов по Г чету( 2 пую подстановку оа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
