Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 78
Текст из файла (страница 78)
о Си ...,Г= и " оо'()и " ри' 1о ...с, В настоящем трактате мы ке пользуемся зтпм соглашввком, кото- рое могло бы повлечь досадкую путавпцу. й. Хензортгше тгроекпрансжгеа; тггетгаорнже отггобразгсетгтгзг Пусть и — автоморфизм модуля Е н и — контрагредиентный автоморфизм сопряженного модуля Еа (гл. П, $4, и' 10); тен- Р-Ьв зорное произведение бь) иг, где из=и, когда 1~(в<р, и ив=и, г 1 когда р+1~(г. р+ д, есть автоморфизм модуля Е" (т 1, следствие предложения 10); мы будем обозначать его и,",. В силу формулы (6) 5 1, отображение и-+ ик есть представление группы 6Е(Е) автоморфизмов модуля Е в группу 61 (ЬР) автоморфизмов модуля Е". Тем самым автоморфизмы модуля Е выступают в качестве операторов внешнего закона (и, х) — ь и" (х) на Еч; если это не сможет повлечь путаницу, мы будем обозначать композицию иоа (х) оператора и и тензора х просто и.х (или их); прн этом обозначении имеем (и с о) х = и (о х).
Аналогичный внешний закон определяется на каждом модуле р раз контраварнантных и а раз ковариантных тенаоров, где р и а не равны одновременно нулю. Для каждого автоморфизма и модуля Е условимся обозначать через и„'тождественное отображение кольца А = Ьо на себя; это позволит распространить определение указанного внешнего закона и на случай, когда р = д = О. Опгеделенне 2. Тензорнзгм пространством над А-модулсм Е РЛЧ называется калсдый подмодуль Е модуля тензоров ЗЬв (где в=! гл. Иь, 14 ПОЛИЛИНЕИНАЯ АЛГЕБРА р множителей равны Е, а остальные д равны Е*), устойчивый рьч относительно внешнего закона (и, х) =- и ° х на Я Е! (иначе =.1 говоря, такой, что для каждого тензора хЕ Н и каждого автоморфпзма и модуля Е имеем и.хб Н), наделенный алгебраической стпрултурой, определяемой, с одной стпороны, двумя закопали, определяющими его структуру А-.кодуля, и, с другой стороны, внешним законом, инду!)ироватьньтм на Х законов! (и, х) =- и х. 3 а и е ч а и и я.
1) Тензорное пространство Н, наделенное структурой, овределяемой внешним законом (и, х) -ь и х, есть пример множества, наделгвкого группой оператороьч в смысле гл. 1, У Т, в" 2; при атом указанный внешний закон дистрибутивен относительно заданного на Н сложения и перестаповочек с внешним законом ()ь, х) -. Хх структуры А-модуля в Н. 2) В случае, когда в=О (иными словами, когда речь идет о модуле конглрааариалтнмх тензоров над Е), ир можно определить пе только для автоморфвзмов модуля В, но также для любого его эндоььсрфаг.ььа л, как тензорное произведение р эндоморфнзмов, совпадаю!них с и; если о — второй зядоморфчзм модуля Е и ш=о з и, то юьр =о," и„"; по заметим, что (л-'; о)„" вообще ке равно их+ оа! следовательно, опреАелеквый на рр внешний закок (и, х) -ь и,"(х), имеющий своим множеством операторов копыто с (н), не определяет структуру !легого модуля. Подмножество Е тензорного пространства Н над Е, являющееся подмодулем модуля Н и устойчивое относительно внешнего закона (и, х) — ж а х, будучи наделенным индуцированной нз Н структурой, очевидно являетсн тензорным пространством над Е; мы будем называть Е тензорным подпространством тензорного пространства Н.
Опгеделеннв 3. Пусть Е и 6 — тпензорные пространства над А-.модулем Е. Тензорныль отображениель Е в 6 называется всякое представление 1 р в 6 относительно структур тензорного пространства в этих двух глножестпвах. Согласно обьцеыу определению представлений (гл. 1. $ 4, и' 4), то же можно выразить, сказав, что 1 есть линейное отображение модуля р" в модуль 6 такое, что т (и.х) =- и-Т (х) для- 377 ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА каждого автоморфизма и модуля Е и каждого теизора х г Р.
Если, например, Р = ЕР, 6 = Е"„то это соотношение равноспльно соотноп1ен ню ) (инс (х)) —.— и", (1 (х)). Другой способ выражения этого тождества состоит в утверждении. что ) (к) есть коварна~рп тенэора х относительно представлений и —, кР н и — р и," группы 61. (Е) (гл. 1, 1 7, и' 4). Из определения 3 явствует, что если Н есть тензорное подпрострапство в Р, то 1(Н) есть тензорное подиространство в 6; -к если К вЂ” тензорное подпростраяство в 6, то ) (К) — тензорное подпространство в Р. Пусть теперь Р, 6, Н вЂ” теязорные пространства над Е; отображение 7 произведет|я Г х 6 в Н называется тензорным отображением, если 7' — билинейное отображение такое, что для каждого автоморфизна и модуля Е ил~еет л1есто тождество )(и х, и р)=-.и )'(х, р); прп Г=Е,",, 6 —.Е,",, Н=Е," это последнее соотношение равносильно соотношению 7 (и," ,(х), и", (р)) = а' =и",(7(х, у)).
Аналогнчяо определяются тензорные отображения произведения любого числа тензорных пространств в тензорное пространство. Согласно схолин из я' 2 з 4, для определения тензорного отображения 7 тепзорного пространства Е" в Е" ,достаточно задать значения 7 на раэлохеимых тепзорах х,... хрх,... хч (в функции от элементов х; и х,') н проверить, с одном стороны, что отображение (х„..., х, х„..., х,') —:) (хг... хрх,' . х,) полилинейно и, с другой стороны, что для любого автоморфизма и модуля Е выполняется тождество ) (и(ХА) ... и(х„) и(х,')...
и(хч)) =и,(7(х, ... хрх,' ... хс)). Из этого критерия сразу следует, что определенные в и ! ваноничеение иаоморфизмы различных модулей р раз контраварнантных и д раз ковариаптпых тензоров (с фиксированными р и д) являются нзоморфизмами структур тенэоряых пространетс: и этих модулях. 378 гл. !П,14 ПОЛИЛИНЕННАЯ АЛГЕБРА 4. Узвтсозгсение и свертывание р-ьт Пусть Р= ® Е,' — модуль р раз контравариантных и д раз л=! коварнантных тепзоров над Ь' (Еь=Е для р индексов г, Е; =Ее г!э для д остальных индоксов) и 6= ® Е," — модуль г раз контра!=! вариантных и з раз ковариантных тспзоров (Е';=Ь' для г индексов у и Е",=Ев для остальньгх з индексов).
Каь мы знаем (з 1, и' 7), тензорное произведение Р Я 6 можно отождест вить посредством канонического изоморфизма с модулем р+с'гнз Н = Я Е„ р + г раз контраварпантных и д + з раз ковал=! риантных тензоров, определяемым условиями Ел = Ел, когда 1 ~ Ь< р+ д, и Ьр, „„— — Ел, когда 1 < Ь< г-! з. Когда зто отож,дествление произведено, (х, у) эх(х)у есть билинейное отображение Р х 6 в Н, значением которого для пары разложимых рта у эн тензоровх= (Х) хлбР, у= (Х) у,~6 служпт тензор хзу= л=! г=! р-лс-ьг+е ® зл, где з„=х„, когда 1 ')с(р+д, и г„,,„=у>„когда л=! 1 ( Ь< г + г.
Это отображение, очевидно являющееся гнензорнмм, называется умножением тензоров из Р и 6; в соответствии с общими соглашениями, тензор хзуйН (хйР, уй 6) при отсутствии опасности смешения обозначается также ху. В предыдущем определении неявно предполагается, что р и д ие равны одновременно нулю; на случай р = д = О определение умножения распространяется путем принятия произведения скаляра авА и тензора ус6 равным их проивведению ау относительно внешнего закона структуры А-модуля в 6. Аналогично определение и для случая г = з = О. Понятие произведевия любых двух смешаяяых теазоров позвозяет придать определению теяаоряого отображения проиэведеяяя РХ С тепзоряых пространств !г в С в теязорвое пространство Н такой вид! это — отображекве Ь дяя которого существует теязоряое отображевие у текэоркого пространства Р Я С в Н, удовлетворяющее тождеству ((и у)б у(зу).
ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Пусть р р О и д .р О. Свертыванием, 1-го контравариантного индекса с у-и ковариантным (1 < ( < р, 1 <1 < >)) называется линейное отображение с,' тензорного пространства Е" в Е":1, откосящее каждому разложимому тензору г=-х,... х х,' ... х,', гензор (г) (хь х> ) х х> >хь 1 хрх х> > х> >>" 1 ха Ясно, что этим действительно определяется линейное <>тооражение ($ 1, и'2, схолия); при этом, так как для каждого азтоморфизма и модуля Е имеем (и (х>), и (х,')) = (х„х,'), то ,,(и г) =(хг, х,) и(х,) .., и(х,,) и(х>,) ... и(хр) и(х,') ...
... и(х,' 1) и(х,' 1)... 11(ха) =и.с;'(г), что показывает, что с, 'есть тензорное отображение ЕР в Е",:>. Так же определяются свертывания в любых модулях р раз контравариантных и д раз ковариантных тензоров. л,...л Пусть Э ' ' Р— компоненты 1 относктельяо базиса (а ) мо- »1 .»а дуля Е, так что 1= Л >ь~ ', ал ...
ала ., а ">.ьр», », (Л>>, <»1) Так как (а„, а») =б~л (кронекеровскнй символ), то с>(1)=~~~~ ( ~ с»~...»~, л>».„.. » )а ... ал ал ... а~ а»1.. Л.=> 1 »,,а»... где первая сумма распространяется на все нндсксы, отличные от Х> н»Р Ияымк словака, компоненты свернутого тензора с>(1) отноактельно базиса (а ) задаются формулой йл1 '-л" "лр — у 1л' ) — Рл"1 'р ° »1 ..» 1» „° »»а г- »1» >ор>,1..
»а ' с=> Разумеется, в смешанном тензоре можно свертывать несколько пар индексов, что, очевидно, сводится к последовательному свертыванию каждой пз этих пар (в любом порядке). Часто приходится выполнять операцию, состоящую в образовании произведения двух тепэоров (не являющихся одновре- гл ы. 14 ПОЛИЛИНВЙНАЯ АЛГГБРА менно пи контравариантными, ни ковариантными) и затем свертывании в полученном смешанном тепзоре одной пли нескольких пар индексов; определяемое этим отображение, называемое сверкутыл< произведение.н (для рассматриваемых пар индексов), также является тснзорным отображением. Например, пусть я<я< — контраварнантный тепзор, произведение двух векторов к„ хм н я,'з,' — коварпантный тензор, прокзнедекнс двух линейных форм к,', з,',; если образовать пронаведеннс зтвх двух тспзоров н затем сверну< ь в псм первый контрава рнаптпый кодекс с первым коварпантпым, а второй контранарнантпый индекс — со вторым ковзрпаптпым, то получится скаляр (тензор нулевого порядка) <я„:с,) <аз, т,).
4.:1т«зол<ори<1 «вл«< ел<с!нот«< ь<ге <н<ннвоуров вин оур ого тао1зз<д<с<с Нусть Е п à — Л-модули с т печными, бпзисюпи. Пре;<ложение 2 Я 1, примененное к модулав! Е и 1'", опредсляот канонический изоморфизм модуля бплпнсьй<ых форм на Е к ее па модуль К (Е, Е*в) линейны; отображений Е но второй сопряженный к Е: билинейной форме 1 на 1': Гв отее ает лппсйноо отображение, относящее каждому хб Е:н<пейпую форму у' —. )' (х. у') на Гв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
