Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 76
Текст из файла (страница 76)
3 а м е ч а н я я. 1) Замечание, сделанное в и' 3 1 1, применимо к тензорным пронзведеняяы аягебр, т. е. тепзоряое произведение двух алгебр существенно згвнснт от пх общего кольца ояграюорог, а не только от их структур кольцо (без операторов). 2) Легко определить тензорное пронзведеяне любого конечного числа алгебр Е< нзд одням н тем же кольцом А; предоставляем читателю сформулировать дяя такого произведения свойства, установленные выше для тензорного произведения двух алгебр (см.
Приложение 1 к етой главе). Отметим лишь, что канонические нзоморфнзмы, определенные в п' 7 1 1 (»ассоциативность» тензорного произведения), в случае, когда Е< — алгебры, являются также изоморфнзмамн структур алгебры. 2. Примеры тензорнызс произведений алгебр 1. Пусть Е и Р— унитарные А-модули с конечными базисами; как мы видели (з 1, предложение 9), структуры А-модуля в Ж (Е3г") и Ж(Е)3 Ж (Р) канонически отоз<сдгствимы; формула (6) $1 показывает, что при атом отождествлении структура алгебры в Х (Ефг) отождествляется с тензорным произведением структур алгебры в,х (Е) и Х(Г).
Этот результат можно выразить также следующим образом (гл. 11, з 6, п' 5): Пгкдложкник 3. Тензорное произведение алгебр квадратных матриц порядков р и <7 над коммутативным кольцом А с едини. цей изоморфно алгебре квадратных матриц порядка р<7 над А. 11. Пусть Š— алгебра над А, обладающая единичным элементом, свободным в Е (и, следовательно, отождествимым с единицей кольца А); кольцо М„(Е) квадратных матриц и-го порядка над Е есть также алгебра над А; покажем, что она изомсрфна те>>горному произведению ЕЗМ (А).
Действительно, отнеся гл. нп)з 366 полилннейнля АВГЯБРА каждому тензорному произведению гф) Х Ь Ь 8 М„(А) матрицу гХ= =Хг р М„(Е), мы получим представление алгебры ЕфМ„(А) в М„(Е), поскольку (1Х) (УХ')=(гр) (ХХ'). Чтобы убедиться в том, что это представление есть иэоморфиэлг ЕфМ„(А) на М„(Е), заметим, что матрицы Е,.; канонического базиса А-модуля М„(А) образуют также канонический базис в М„(Е) (рассматриваемом как правый нлп левый Е-модуль); с другой стороны, каждый элемент из Е3М„(А) однозначно предстзвйм в виде ~ ~(с,.;3Е,,) (т 1, следствие 1 предлоягения 7), и ему соответствует при рассматриваемом представлении матрица ~ г,;Е;;бМ„(Е); тем са- иым предложение доказано.
П1. Пусть Я н Т вЂ” любые два моноида, а Е=А~~~ и 7=А'т'— их монондные алгебры относительно кольца А (гл. 11, ~ 7, и' 9); тензорное произведение Ефр этих двух алгебр изоморфно моноидной алгебре 6= — -А~~~~~ моноида ЯХ Т (гл. 1, $ 4, и' 5). Действительно, когда и и о пробегают соответственно Я и Т, элементы иЗ с образуют базис а Е®Р, а элементы (и, с) — базис в 6; тем самым отнесение элементу (и, о) элемента и3о определяет нзоморфизи структуры модуля в Е®Р на структуру модуля в 6, и в силу (1) ясно, что это отображение есть также изоморфизм структуры алгебры в Еоср на структуру алгеоры в 6. 3. Характперизаг1гля пгензорноео ггроггзведения двух а.геебр теад по гелг Пусть Е и Р— алгебры над полем К, имеющие каждая единичный элеме>гт; К можно отождествить тогда (гл.
П, з 7, и' 4) с подалгеброй каждой из алгебр Е и Р, сделав единицу е поля К общим единичным элементом этих алгебр. Тогда е®е будет единичным элементом в Ефр и К можно будет отождествить также с подалгеброй К(еоое) алгебры Е3Р. При этих соглашениях имеем: Пгвдложвнив 4. Отображение к — > к ® е (соответственно у . еЯу) есть иэоморфиэм Е (соответственно Г) на некоторую падалеебру Ь', (соответственно Рг) алгебры Е®Р, и каждый элемент иэ Е, перестаноеочен с каждым элеменгпом иэ Р,. 367 тензОРные пРОизВедения АлгевР Очевидно, х —.
хзе есть представление Е в Е®Р, ибо (хзе) (х'Яе).— --(хх')зе; точно так же у — е®у есть представление Р в ЕЯР, и так как хзу = (хее) (е®у) = (ее у) (хзе), то каждый элемеитиз Е, перестановочен с каждым элементом пз Р,. При этом, если х -'- О в Е, то х®е =д О, поскольку е Ф О, а Е п Р— векторные пространства над К ($1, следствие 2 предложения 7). Тем самым отображения х — ь х®е и у- — еву — изоморфизмы (называемые в дальнейшем каноническими). Этп нзоморфизмы позволяют отолсдествллть Е и Р с их образами Е, и Р,; тензорное произведение хзу отождествляется тогда с произведением ху(= — ух) в алгебре Е|3Р, что позволяет отказаться от обозначения хзу; в частности, при Р=-К тензорное произведение ЕЗК отождествляется с Е.
Если М (соответственно Ю) — подалгебра в Е (соответственно в Р), то алгебра .!ХЗЛ' отождествляется с подалгеброй в Е®Р, порожденной произведениями ху(=-ух), где х пробегает 3Х, а у пробегает Л'. Пусть заданы алгебра 6 над полем К, имеющая единицу е (отождествляемую с единицей поля К), н две ее подалгебры Р н 6, содернзащне К; исследуем, прп каких условиях существует ивоморфивм ~р алгебры ЕЗР на 6, совпадающий на Е и Р (отождествленных указанным выюе образом с подалгебрами алгебры ЕЯР) с тождественным отображением. Первое необходимое условие существования такого изоморфизма дает нам предложение 4: каждый элемент из Е должен быть перестановочпим с каждым элементом из Р; мы говорим тогда, что Е и Р— две коммутируюиГие подалгебры алгебры 6.
Прн выполнении этого условия пзоморфизм ю (если он существует) вполне определен, ибо тогда с~(хзу)=~у(х) ~р(у)=ху в 6. В любом случае, в силу билинейиости отображения (х, у) — > ху произведения Е х Р в 6, существует линейное отображение <р модула ЕЗР в 6 такое, что <р(х®у)=ху (з (, и' 2), и так как каждый элемент пз Е, по предположению, перестановочен с каждым элементом из Р, то ясно, что «р есть представление алгебры ЕЗР в алгебру 6; будем называть его каноническим представлением.
Введем следующее определение: гл. ш, 13 368 ПОЛНЛННКЙНАЯ АЛГЕБРА Опгкдклкник 1. Пусть 6 — алгебра над полем К, имеющая единицу е (отождествляемую с единицей поля К), и Е, Р— подалгебры этой алгебры, содержащие К. Е и Р называются линейно раздельньсми над К, если: 1' подалгебры Е и Р коммутирующие; 2' каноническое представление ЕЗР в 6 есть изолюрфизм ЕЗР в 6. Тогда имеет место следующий критерий: Ткогкма 1. Пусть 6 — алгебра над полем К, имеющая единицу, и Е, Р— ее коммутирующие подалгебры, содержащие К. Для того чтобы Е и Р били линейно раздельными над К, необходимо и достаточно, чтобьс в Е существовал базис относительно Х, являющийся свободным множеством в 6 при наделении 6 структурой правого модуля относительно Р.
При этих условиях каноническое представление ср алгебрвс ЕЗР в 6 есть ивоморфигм ЕЗР на подолгебру П в 6, порожденную множеством Е(дР; далее, ЕДР= К, и каждое свободное множество в Е (соответственно в Р) относительно К есть свободное множество в 6, наделенном структурой правого модуля отпносительно Р (соответственно Е). Сформулированное условие очевидно необходимо, поскольку, в силу следствия 1 предложения 7 з 1, каждый базис в Е есть базис в ЕЗР относительно структуры правого Р-модуля.
Обратно, условие достаточно; действительно, образ Н алгебры ЕЗР при ее каноническом представлении су совпадает с множеством всевозмоясных сумм ~ хьу, в 6, где хам Е и устар; поэтому, если (ах) — базис Е относительно К, Н есть также подмодуль правого Р-модуля 6, порожденный семейством (ах). Таким образом, условие теоремы означает, что в Е существует базис (ах) (относительно К), являющийся также базисом Р-модуля Н; а отсюда вытекает, что су — взаимно однозначное отображение (гл.
11, з 2, и'4). Остается убедиться в том, что Е() Р = К в 6; достаточно показать, что Е(1Р= К в ЕЗР. Возьмем в Е базис, содержащий е, и пусть (Ь„) — семейство остальных элементов этого базиса; если хЗе=еЗу для хРЕ, убР, то, поскольку можно написать х = $ое+ ~~' $,Ь„имеем $геЗе+ ~~', "(аььЬьЗе) = еЗу ь ь откуда, в силу следствия 1 предложения 7 т 1, вытекает, что 5,=0 для всех ь, значит, хЗе=еЗуб К. твнэогные пгоизввдкния ллгввг 369 Следствии 1. Для того чтобы каноническое представление ЕЗР в С было игоморфигмом Е3г на С, необходимо и доспсаточно, чгпоблс в Е существовал базис относительно К, которьсй являлся бы базисом для С, рассматриваемого как правый модуль относительно Е. Слндствлгк 2.
Пусть Е и à — коммутирующие подалгебрлс и С, имеющие каждая конечный ранг над К. Для того чтоблс Е и Р были линейно раздельными над К, необходимо и достаточно, чтобы подалгебра в С, порожденная множеством ЕДЕ, имела ранг над К, равный произведению рангов Е и Р. Зылсоткм, что аоеятке линейно раэделькых подэлгобр существенно зависит от того подпола К центРа алгебРы Ро котоРое РассматРиваетсЯ как поле операторов атой алгебры; действительно, Е и Е, линейно раздельные иад К, пе могут быть линейно раздельными ки вад каким подполем К, поля Л, отличным от Л, поскольку ке выполнена необходимое дзя этого условие Е '1 Р=.
Кл (кстати сказать, откюдь еще не достаточное для того, чтобы подалгебры Е и Е были линейно раздельными кэд КЫ см. га. У, лз 3). 4. Елаемлссулентле кольца оперпзпороо п.чгеатльт Пусть  — коммутативкое кольцо с единицей е и 4 — его подкольцо, содержащее г; В может рассматриваться как алгебра пад А. Пусть Š— алгебра над А; как мы видели (у 2, и'1), е теизорном произведении В <х) Е А-модулей В и Е условием с (хну) =(гх) ® у (1бВ, хбВ, уйЕ) определяется структура унитарного В-модуля.
Эта структура и умножение, введенное на В ® Е в и'1, определяют в мноясестве В ® Е структуру алгебры относительно В; чтобы убедиться в атом, достаточно показать, что, каковы бы ни были л й В, гй В 3 Е, г'ЕВОЕ, имеют место равенства л (гг') = (8г) г' = г (1г'); так как наждое пз этих трех произведений является линейной функцией от з и от г', достаточно проверить их равенство для г=х бб у и г' = х' ® у' (где х, х' — элементы из В и у, у' — элементы из Е); но, в силу предположенной коммутативности кольца В, последнее очевидно. Мы по-прежнему говорим, что определенная так алгебра над В получена путем расширения кольца операторов алгебры Е до В, зл и гтреэкк 370 гл. пи 13 полилинкйняя ллгккгл и обозначаем ее Е<л> во избежание всякого смешения с алгеброй В <3 Е над кольиом А (получаю>цейся при атом путем сужения кольца операторов алгебры Е<в> до А). Тег<ерь, в каждой алгебре относительно В сужение кольца операторов до А определяет структуру алгебры относительно А; говоря о структуре алгебры относительно А в алгебре относительно В, мы всегда имеем в виду структуру, полученную указанным способом; прп атом для обозначения представления алгебры относительно А (соответственно В) в алгебре относительно того же кольца мы, как и в з 2, вводим термины А-представление (соответственно В-представление).
Ясно, что каноническое отображение ($ 2, п'1) х — ь е<3х алгебры Е в Е<в> есть А-представление Е на подалгебру алгебры В® Е, поскольку (е<3 х) (еКх') = с 8 (хх') для всех хйЕ и х'йЕ. Пгкдложкник 5. Для каждого А-представления 7' алгебры Е в произвольную алгебру Лг относительно В существует однозначно определенное В-представление д алгебры Е<в> в й< к<акое, что 7'(х) = у(е >3 х) для всех хй Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
