Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Пусть, иакопеп, И~, длк каждого ковариактиого индекса ) (1 . ! .'. а) — подпро! странство в Е, образованное теми х б Е, для которых с, (х з) =. О, к 1~! — подпростраиство в Е*, ортогопалькое к )Р!. Показать, что з и а припадтежит текзоряому произведеиию (Я 1'!) Я(Я У!); при атом, (=.— ! !'=.! если ((г,) !<!,-.р — селтейство подпрострапств иа Е к (П,)!.,са — семейство подпростраяств иа Е* такие, что з принадлежит тепзориому р пРоизведепию (® (1!)(3(® (г;), то Угг! (г! и 1',. (г„каковы бы 1! ' 1! пп были ! и ~', (См.
4 1, упражпеяис 6,] 2) Пусть и для каждого зкдоморфизма и А-модуля Е с конечным базисом означает соответствующий и смешанный тепзор (принадлежащий Е* Я Е). а) Показать, что, каков оы ии был вектор хЕЕ, вектор и(х) получается путем свертываикя первого коитравариантпого индекса тепзора хи с коваркаитпым иидексом. б) Показать, что если !с=и и — композиция зидоморфиамов а к и, то тензор ю получается путем свертывания второго коктравариаитяого индекса тевзора иа с первым ковариантным индексом. в) Пусть и произвольпый автоморфязм модуля Е; покааать, что произведение !р-и (откосительпо структуры теязориого простракства в Е" ®Е) есть теизор, соответствующий зндоморфизму фиф '. 3) Пусть Š— А-модуль с копечпым базисом (а,). Каждому билииейяому отображскию и проиаведекпя ЕхЕ в Е соответствует (и' 4) двюкды ковариапткый и один раз контравариаитяый те~вор и-.= ь а!а!и (а, а ), ! у! пркиадлежащий модул!о Е* (к) Е* (ф Е.
Для того чтобы и определлло асса!!иатианый аакоп композиции яа Е, необходимо к достаточно, чтобы теязоры а,'(и й) (получеяиый путем свертывапил третьего козе рпаптяого ипдекса прокзведеиия и.и с первым коктравариалткыы ТИНЗОРЫ И ТЦНЗОРНЫИ НРОСТРАНСТВА 387 индексом) и сэ(и и) (полученный путем свертывания второго кова- риантного иядскса того же вронзз/денни со вторым контраварпант- ным индексои) соответствоэалн друг другу прк каноянчегкои нзоиор- фнзме ЕэЯ Е' «СЕ*/~АЕ на Е* „/(~ Е'5' Ее. 4) Если Л л П квадратные ищрппы пад коииутатнвным коль- цом А, 10 ТГ(А ':С 6) =ТГ( 1) Т/ (П). 5) Пусть Л и /ГО«/Э/и/ГЛЕ/Г////Лэе КОЛЬНО Г ЕЛ////Н//ой; ПРЕДПОлО- жим, что в:1 не существует злеы/ пта О .— О, для которого бы (Ет) — Г)$) цы О прн всякой паре элементов («, О) из А.
Показать, что если )' — линейная форв/а па лево«/ А-модуле М„(А) матриц порядкз и л 1 пад А такая, что/ (ХУ) =--) (УХ) для любой нары квадратных мат- риц Х, У и-го порядка над А, то ( --О. Вывестп отсюда, что если А — не- «еллу/латиеиое л/ело, то прп л . 1 матрицы Х) — УХ, где Х и У пробегают левое векторное пространство ЫГ (А ), порождают всг М„(А ). *6) Пусть Б- векторное пространство над нолем К и 7'(Е)— тенэорная алгебра этого пространства.
а) Показать, что Т (Е)- некоим/утатинпое кольцо, если размер- ность Е больше 1, и Гсю ко/и но без делителей яуля. Единственными обратимыми элемеятамп в Т (Е) являются ненулевые скаляры. б) Пусть х в у — тензоры, принадлежащие Т(Е). Показать, что если в Т(Е) существуют элементы а, Ь такие, что ха=уЬ, то один из тензоров х, у является правым кратным другого.
в) Поназать, что единственными элементамв в Т(Е), перестаио- вочными с тепзором х порядка эО, являются линейные комбннацив степеней х. )Иг//ользовзть б).) Вывести отсюда, что если Š— размер- ности л1, то центр Т(Е) говпадаот с К. г) Пака,/ать (используя (б)), что если Г)ж/ Е: /, то кош,ио Т(Е) не допускает тела левых отяоп/енпй (гл. 1, $ 9, упражнение 8). 7) Пусть Е (!) — ««обеднил молоид (гл. 1, 1 1, и' 3), порожден- ный произвольным множеством Е Показать, что монокдная алгебра этого моноида Ц/) относительно ьоммутатввного кольцз А с едиягщей пзоморфна тензорное алгебре т(А /) модуля л /// , /// 8) Пус/ь А — коммутатнвпое кольцо с единицей, Š—. алгебра иад А, обладающан едпни /пым элементом (обозначаемым з), (х,),,— произвольное семейство элементов пз Е и 7 — тенэорная алгебра А- модуля Л .
Если каждому элементу х== )ы+ ь А с ...е ЕТ, . О/ 'Г ' '8/ "/ 'и (//, / отнесенному к базису алгебры Т, соответстэу/ощел/у каноническому оазису (е,) нодуля А' /, поставить л соотвотгтзие элемент =((х,)).=Л«е- ~ А„, .Г„.. х, /«/ ) алгебры Е, то этии определ/тся представленпе алгебры Т в алгебру Е, и образом Т при этом представлении будет иодалгебра в Е порожден- ная единичным элементом и злезнптамп х„. гл. ыь 15 полилиненнля Алгввгь $5. Виепгняя алгебра 1. Операмьоры симметрии Пусть ! в Š— произвольные множества.
В соответствии с общими определениями (гл. 1, 1 7, и" 3), каждой подстановке о множества ! и каждому его отображению ! в Е соответствует отображение ! в Е, обозначаемое о! и определяемое формулой о!(х)=!(о 'х) для всех хб !. ! — о1 есть подстановка множества Ез всех отображений У в Е, называемая распространением о на это множество; Е наделено группой о>гераторов Яу (гл. 1, 1 7, и'2) внешнего закона (о, !) — + о); отображение о — +~у„где ~р, означает подстановку ! — > а!, есть представление группы Яу в группу подстаяозок множества Е, являющееся, если Е содержит более одного 3 элемента, изоморфизмом.
В случае, когда ! есть интервал 11, р1~ Х, множество Е есть не что иное, как произведение Е'; тем самым для кая'дой подстановки и из симметрической группы С и каждого элемента ю =- (хь) ьсьар нз Е" имеем ош = (уь), где у, = хс-пь) (1 < ! < р). Каждая подстановка ю — + осс произведения Е" определяет теперь таким же образом подстановку ! — + о! множества С всевозможных отображений произведения Е" в множество Р; согласно (1), для каленого об Е" имеем о)(ю) = !(о 'ж), т. е. о((хь - ., хр)=!(хс(~) ' ха(х)). В этом параграфе мы ограничимся тем случаем, когда Е и Р являются унитарнььии модуллми над коммутативяым кольцом А с единицей.
Из (2) следует тогда, что если ! — полилинейное отображение Ех в Р, то то же верно для о1, какова бы ни была подстановка и р Я Иначе говоря, отображение ! — + и! есть аапюморфизм модула Хр(Е; Р), оказывающегося тем самым наделенным группой операторов бр. Как мы знаем (1 1, в'и' 2 и 7), имеется каноническое взаимно ~днозначное соответствие между полилинейньыьи отображениями ВНЕШНЯЯ АЛГЕВРА Ег в Р и линейными отображениями ®Е в Р.
Если а — линейное отображение ® Е в Р, соответствующее полилинейному отображению 1, то через оа для каждой подстановки об Бр будет обозначаться линейное отображение ®Е в Р, соответствующее о1; таким образом, это отобра;кение определяется условием ов (х> Э хг К хс) К (тв«> <В хв<г> З . Э х <р>) (3) оу можно определить также, отправляясь от подстановки р р-й тензорной степени ®Е, с помощью способа распространения. который мы напомнили в начале этого и'.
Действительно, так как огобРажение (х„х, ...,.т„) — ъх -,и,<2>х,-1 г,е ... <2>х -< Ег э з ®Е полилинейно, то сущестзуег линейное отображение ®Е з себя, которое иы обозначим г — ь ог, такое, что о(~,Кх,®... ®~„)=*,.и,е~,— „,<ф .. <3~.- <, (т 1, и'и'2 н 7). Без труда проверяется, что определенный тав г р на ®Е внешний закон (о, г) —;. ог наделяет ® Е группой операторов Я„(гл. 1, т 7, и' 2) и, В частности, что г — ь ог есть р ввтол<орфизль структуры А-модуля в ® Е (равно как и структуры р тензорного пространства в ®Е; см. т 4, п'2).
Из этого определения н формулы (3) вытекает теперь, что для всякого тенаорз р б<З Е выполняется равенство ое (г) = д (о 'г), (4) з полном согласии с формулой (1). Опгеделение 1. Унитарный .модуль М над коммутативным кольцом А называется связанным с симметрической группой Ь„, ~ели М наделен группой операторов Яр (гл.
1, а 7, и' 2) относительно внешнего закона (о, г) — + ог такого, что каждое из отображений г — +ос модуля М в себя линейно (и, значит (гл. 1, 'т 7, нредложение 1), является автоморфизмом структуры А-модуля в М). 390 гл. ми 15 полилинвннля Алгквнл р Таким образом, модули Хр (Е; Г), Ж (Я Е, Е) и ® Е связаны г группой б„относительно определенных нами виешних законов. В случае, когда 1Х вЂ” А-модулты связанный с группой б„, в нем можно определить структуру унитарного левого модуля относительно групповой алгебры В группы бр (гл. 11, 1 1 и 9) над кольцом А; достаточно для каждого элемента г = ~ "ьса с этой алгебры (й р А) и каждого элемента гс ЛХ положить г г = = ~ 1»саг; выполнение аксиом модуля без труда проверяется с (на основании линейности каждого отображения г —.-аг).
Тогда операторы с с В называютсн опграпсорал»и симметрии на М; среди этих операторов, разумеется, фигурируют подстановки амбр, линейными комбинациями которых с коэффициентами из А являются все операторы симметрии. Отметим, что структура А-модуля в М получаетгя путем гулсгния кольца операторов структуры В-модуля в М до А. Ойрнтно, если ЛУ вЂ” уннтгрпьй Ь'-модуль, то А-моду.п, получающийся путол~ суженпн сто нольде сн1»рнторон до Л, связан с группой сер стноснтельпо внснпкто знконн (а, с) —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
