Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Если р. п, то модуль ДЕиласгтсвоилзбаэисом селей- ство (ен), где Н пробегает множество (г ) подмножеств интер, о вала [1, п], состоящих иэ р элементов. Если р ) п, то модуль ДЕ сводится к О. Заметим, что, напротив, если Е обладает бесконечным базисом, г го нн один нз модулей у"аЕ не сводится к О. 26 н. Бурсака ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕВРА Гл.1п, ба 402 Следствие (. Если Е обладает базисом, состоящим из п эле- Р а-р ментов, то модули ЛЕ и Л Е, где О <р<~, изоморфны.
и В частности, ЛЕ обладает базисом, образованным единственным элементом г,ЛегЛ ". Ле„. Можно показать, что при р гь и — р пе существует канонического Р о — р агоморфигма гЬЕ ва гь Е, понимая под этим иэоморфиэм, зависящий Р а-Р ливгь от структур знев1вей степени в /~Е и Л Е (упрэжиевие 12). Р а — Р В гл. У|П будут изучены некоторые изоморфиэмь1 гь Е иа ЛЕ, свизаивые с теорией биливейиых форм. Слвдствик 2.
Если унитарный модуль Е над коммутативным нолылом А обладает базисол1, состоящим из и элементов, то и каждый другой базис этого модуля конечен и содержит п элглггнтов. р Действительно, и есть наибольшее из целых р, для которых /~Е не сводится к О, так что Е не могкет обладать конечным баансом с числом элементов ~ и; с другой стороны, если бы Е обладало беср конечным базисом, то пи одна из его внешних степеней ЛЕ не сводилась бы к О.
г. Внешние. сгггеггени линейного отобгэаэгсеггим Пусть и — линейное отображение А-модуля Е в А-модуль Г"; очевидно, (л'1 ° х,) — + и (хь) Л . Л и (хр) Р есть знакоперепенное полилинейное отображение Ер в /1,р; поэтому (схолия нз п' 5) существует однозначно определенное Р лпиейное отображение ЛЕ в ЛР, которое мы будем обозначать р Ли (нли ир, если это не сможет повлечь путаницу) и называть р-й внешней степеньн1 и, такое, что тоягдественно Р Л и (х, Л... Л хр) = и (х,) Л - ° Л и (хр). ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА р 3 а м е ч а и и я.
!) Пусть и" — линейное отображение ®Е в ®Р, являющееся тензорным произведением р линейных отображений, совпадающих с и (З г, и'и' 4 н 7), и /т' (Е) (соответственно /т' (Р))— р подмодуль в (3Е (соответственно в ЯР),'порожаенвыгг всевозможвымп тенаорными произведениями Р элементов, по крайней мере два яз которых равны между собой, Яггго, что ир (/гг (Е)) с: /(г (Р); отображение Р р р 'р модуля/ь Е=(®Е)//г'(Е) в ДР=((г'"ь)Р)/ггг(Р), позучающгеся из вр путем факторизации, и егть нак раз /зги. р 2) Если Е н Р— свободные модули, так что /~Е (соответственно р ДР) канонически отождествимо с модулем (/ (Е) (соответственно (/(Р)) антисимметрнрованных теазоров р-го порядка над Е (соответственно р над Р; см. предложение 6), то пз замечании ! гледует, что /!и отождествляется при этом с сужением иг на подмодуль //(Е). Пусть 6 — третий А-модуль и и — линейное отображение Р в С; из (7) по линейности сразу следует, что р р р л ( ") =(л ) (л ) (8) р р Если и — отображение Е на Р, то /( и есть отображение /),Ь' р на /~Р; если и — изоморфизм Е на Р и р — обратный ему, р р р р то /гг и есть изоморфизм/(гЕ на /)г Р, а Д р — обратный пзоыорфнзм.
Напротив, если и — изоморфизм Ь в Р, /ь и не обязательно р р является изоморфизмом /~Е в /~Р (упражнение гО). Однако справедливо следующее предложение: Пркдложкннк 7. Если Р— ггодлгодуль людулл Ь' такой, что существует конечный базис (ег)!<!<„модуля Е, первые т элементов р которого образуют базис для Р, пю Д гр, где гр — каноническое отображение Р в Е, есть изолюрфизм /А Р в /~ Е. тс* 404 полилинвйнля Алгввпл гл.гы, 1б Это сразу следует нз способа образования базисов модулен х о ДЕ и /а Е, отправляясь от базисов (е,)>-.; е и (е;)>нг - (теорема2).
Поэтов>у внешняя степень /1 Е оп>ождестеима посредством р отображения Д ср со своим оГ>разом прп этом отображении; дру. гимн словами, для любых р элементов хг (1< 1<р) из Е можно отождествлять р-вектор х,Л... Лх„, где хг рассматриваются как принадлежащие Е, с р-нектором ср(х,)Л... Лср(х„) над Е.
В частности, такое отождествленне всегда возможно, когда Š— конеененерное секторное лространстсо, а г" — любое его векторное ведпространство (гл. 11, 1 3, теорема 3). 8. Внешнее произведение р-ветгпзора и д-ветпора Пусть Š— заданный А-модуль. Рассмотрим отображение (х> хо >у> -. ра) — ах>Л ° . ЛхоЛУ>Л .
Луа »'а произведения Е" >.Ео н /1 Е; каждое из частичных отображений (: „", х„) — х,Л, Лх„Л у>Л... Л р,, (р„, у)--.х>Л Лх,ЛЕ,Л .Лр, полилипейно и знакопеременно; поэтому (и' 5) существует билиг а о+о нейное отоГ>ражение (Д Е) (/>1 Е) в />фЕ, значение которого для г о ий /1 Е и ой Л Е будет обозначаться иЛ р и называться енешяиле произведениесв и и р, такое, что тождественно (х>Л" Лх,)Л(у>Л "Лу,)=х,Л Лх„Лр>,Л Луа (О) Это определение распространяется на случай, когда р=О (соответственно д=О), условием, что внешнее произведение аЛ р скаляра сх н д-вектора р (соответственно внешнее произведение и Л сх р-вектора и и скаляра а) равно ар (соответственно сои).
3 а и е ч а я к я. 1) В случае, когда р=а.—.1, внешнее провзведенне векторов х бЕ н у бг совпадает с бввектором хЛу, чем к оправдывается общее обозначение нЛ опля внешпегопровзведеввя р-вектора к а-вектора. 405 Внегпяяя Апгепра п г раз 2) Пусть )Ур, йч н Жюг — подмодулн в ®Е, ® Е и ®Е, яа которых аннулируются все знакопеременные линейные функция. Раси г ~ -.г смотрим отображение (г, =') -и гг' провэведенпя (ЯЕ) х (ф, Ь) в Я Ь' (1 4, и' 3); соотпошсння, ил гг (шапир) н, ж г,' (шобд'г) влекут 'ггг = ггг( (ш~""~~-г) пбо г~г, '— г,гг — зг (г( — г,',)+ (гг — г ) г..
Поэтому отображеппе (г. г') -ь гг' порождает путем д~агтириаияий относительно г и г' (Теор. мн., Рез., 1 5, и' 8) бнлнпейное отобра>кег и-г нне (/Ч Ь) Х(/ЧЕ) в /Ч Е,' это и есть наше внешнее пронзведснпе. 3) Заметим, что в случае, когда Ь' обладает базисом и р-гекторы, гдо О < р.< л, канонически отождествляются (предложепне 6) с аптиснмнетрнровапнымн тензорамн р-го порядка, внешнее произведение р-вектора н е-вектора отпюдь не отождествляется с проязведеннем (в указаяном в и' 3 $4 смысле) тензоров, с которымн соответственно отождествлены эти р-вектор и о-вектор (см. упражнение 3). Билннейность отображения (и, о) —. иЛ о находит свое выражение в формулах (я, + па) Л (о, + ог) = и, Л ", -', п, Л о, - Р о, Л о, + па Л ог, (10) (аи)Ля= пЛ(ао) = — а(нЛо) (аб А), (11) Кроме того, для р-вектора и и о-вектора о имеем о Л и, =- ( — 1) и' и Л о. (12) Доиствительно, пусть о — подстановка множества [1, р+ д1 такая, что о())=-о+г, когда 1< с< р, но())=г — р, когдар — , '1< г < р+о, Имеом ео — — ( — 1)Р', нбо для пар (), )), в которых г </, разность о(/) — о(г) может быть < 0 лишь если 1 < э <р и р+1<) <р+д.
Отсюда н из формул (6) и (9) следует формула (12), когда и н о разложимы, а соотношение (10) позволяет тогда распространить эту формулу на случай произвольных и и о. Наконец, для любых р-вектора и, д-вектора о н и-вектора ш имеем (13) (пЛо) Лш =- вЛ(оЛш) Действительно, в силу (9) эта формула очевидна, когда и, о и ш разложнмы, а по линейности она распространяется на общий случай. Общее значение обеих частей равенства (13) обозначается также иЛ оЛй. 406 гл.ш, 1б полилннеинкя Алгввгл 9. Нмеменлп а.ггебра Обозначим через /~Е, где Š— заданный А-модуль, прямую и сумму ненулевых модулей /~Е для всех п>0 (гл.
11, з 1, и'7). Определение внешнего произведения позволяет ввести в /~ Е структуру алгебры относительно А. В самом деле, каждый зле- СО мент гб Л Е однозначно представйм в виде г= ~ гр, где гав »=о р-вектор (рамшый нулю для всех кроме конечного числа индексовр). Для любых двух элементов -== ~, г и г'=- ~ гр из ЛЕ о=о а=-о положим гЛг'=~', (гаЛго).
В силу (10), определенное так на а,я />, Е умножение двояко днстркбутнвно относительно сложения", в силу соотношения (13), распространяющегося по дистрибутивностп па любые элементы пз />,Е, это умножение ассоциативно; наконец, согласно (11), имеем а(гЛг')= —.(аг)Лг'=гЛ(аг') для любого скаляра а.
Таким образом, Л Е действительно является алгеброй над А; она называется внешней алгеброй модуля Е. Эта алгебра имеет свопм единичным элементом единицу 1 кольца А и, в силу (12), вообще не коммутативпа. В силу ассоциативности умножения, разложямьш р-вектор х,Л... Лх„есть не что иное, как композиция (относительно умножения на /1, Е) серии (х,)>я>яр элементов нз Е, что оправдывает одинаковость обозначений внешнего произведения н разложнмого р-вектора и показывает в то же время, что множество А > ]Е является сисшемой образуюи1их алгебры Л Е.
В случае, когда Е обладает конечным базисом (е,)>я>н„, ДЕ обладает базисом, образованным 2» элементами ен (и' 6), где Н пробегает множество всех подмножеств интервала 11, п1 Г: >(. Таблица умножения этого базиса задается следующими соотношениями: енЛек=-0 при Н()К чь я, (14) енЛек=рн,кен>>к при НПК= О, где рн,к=( — 1), а т — число всех пар (>,/), в которых >рН, /6К и /< >. ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА 407 Каждое линейное отображение и модуля Е в произвольный унитарный А-модуль Р однозначно продолжается до представления внешней алгебры /~Е во вношнюю алгебру /~Р.
Действительно, если и — такое продолжение, то и(1) =1, откуда и(и)=- =и(а 1)=-аи(1)=-а для каждого скаляра со; с другой стороны,для любого разложимого р-вектора з.— — -х,д... дахр мы должны иметь и(з)=и(х,) д . ди(хо)=иР(з), где ио означает р-ю внешнюю сте- ОЭ пень и (и' 7). Наконец, для ъаждого элемента з= У з„пз Е, Р=О разложенного в сумму р-векторов, должно выполняться равея- Ю ю ство и(г)= ~, и(з„)= ~~' и„(гр) (где и, означает тождественное Р=О Р=-О отображение А на себя). Обратно, непосредственная проверка показывает, что определенное так отображение и действительно является представлением /~ Е в /~ Р; мы будем называть его каноническим продолжением и на ДЕ. Если и — линейное отображение модуля Р в А-модуль 6 и о— его продолжение до представления Д Р в /~ 6, то продолжение композиции пои до представления /~ Е в /~ 6 совпадает с пои.
В частности, если и — автоморфизм модуля Е, то и есть автоморфизм алгебры /~ Е. Если Š— подмодуль модуля Р, а и — каноническое отображение Р в Р, то и есть представление /~ Е в Д Р, также называемое каноническим; оно не всегда взаимно однозначно (см. упражнение 9). Однако в случае, когда Р— конечномерное векторное пространство, и есть изоморфизм /~ Е в /~Р (предложеняе 7), н алгебра /~Е часто отождествляется посредством него с подалгеброй в ДР, являющейся ее образом прп атом изоморфизме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
