Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Если такое отоясдествление произведено для каждого подпространства Е пространства Р, то для любых двух надпространств Р„Е, будем иметь /~(Е,ПЕо)=(/~Е,)П(ДЕ). В самом деле, пусть дйшЕг=п„д(ШЕо=п„йш(Е,ПЕ,)=-т; для доказательства утверждаемого соотношения достаточно взять в Р базис, первые т векторов которого образуют базис для Е,ПЕ„дальнейшие н,— т дополняют его до базиса в Е„а следующие эа ними и — т 408 гл. ш, 1 5 полилинвннля Алгнвгл векторов дополннют первые нз до базиса в Е; образование соответствующего базиса алгебры у!( Р н дает требуемое соотношение, Отсюда следует, что если Р— нанечномерное векторное пространство, то для любого элемента г алгебры /),Р существует наименьшее векторное подиространство Е пространства Р такое, что г принадлежит 71Е; размерность атого подпространства Е называется рангом элемента з алгебры 71Р.
У п р аж не ни я. 1) Показать, что определение ог, данное в в'1 для тензора з б®Е и подстановки осби, совпадает с определением, получающимся общим методом распространения групвы подстановок (гл. 1, 1 7, в' 3), отправляясь от определения (3Е (1 1, в' 2) Е!" как фактормножества множества А<, где последнее само является лг частью Ал . «2) Пусть Е и Р— заданные аддитивпые группы и и — целое >1. Будеы обозначать через Х„(Е, Р) адднтнвную группу, образованную гго всеми отображениями Ь'" в Р (т. е. группу Р ). Для каждого ибо„(Е, Р) будем обозначать через ди отображение Е«'! в Р, определяемое формулой ди (х„..., х„, хз,!)= и (хз, ..., х„, хи,!)--,' з + ~~ ( — 1) и(х!, ..., хь з, ха+ха«!,хз,....., х„,!) — ,'- а=! +( — 1)з" и(х„..., х„).
а) Показать, что, каково бы пи было и б У;,(Е, Р), д (ди) = О. б) Для каждого ибо„(Е, Р) (л > 2) будем обозначать через Еи отображение Е" ! в Хг(Е, Р), отвосящее каждому элементу (хт, ..., х„,) Е Ее ' отображение в-! х„-ь ~; ( — 1)а и (хг, ..., хв л „х„, х„!„..., хз !) !=о Е в Р. Доказать, что Ч (ди) =д (Ки). в) Вывести из б), что если иб,т:„(Е, Р) удовлетворяет условию ди=О, то результат его антисимметрнрования аи является лели«ил«ни«ьи отобрансением Ь" в Р; если иб.т=и(Е, Р) таково, что и=ди длн некоторого и б Х„ !(Е, Р), то антксимметрнрование е дает О. Внгшыян ллгквнл 3) Пусть М-- А-молуль, связанныйссимметрическойгруппойюг, и  — произвольное подмножество интервала (1, р). Реэультажом аитисимл<етрироааииз злеменюаа г б М по ю<дезсам < б Н называется элемент а г=~'в ог, о с где и пробегает подгруппу в Яв (изоморфную юя), образованяую теми подстановками, которые оставляют инварнантным каждый индекс, не принадлежащий Н.
а) сс(анг) =г)аг, где г — число элементов множества Н. б) Пусть Š— унитарный А-модуль, г — коктравариантный тензор р-го порядка над Е и г' — контраварианткый тензор д-го порядка. ч к Показать, что если аг'=О в ЯЕ (соответственно аг=.О в ® Е), то с ьч а(ю'):=Он ЗЕ. (Заглотить, что если И=[р+1, р-'-д), то асс(гг')= =г аг'.) Вывести отсюда, что если г=агг п г'=аг', — тензоры, получа<ощиеся в результате антиснмметрнрования тензоров г< и г,' порядков Р и Ч, то тенэоР а(ггг,') поРЯДка Р+ д зависит лишь от г и г', но не от тензоров г„и г'„антнсимметрированнем ноторых г и =' получены. Если г (соответственно г') — канонический образ (и' б) р-вектора и (соответственно д-вектора ы'), то а(г<г,') есть канонический образ (р+Ч)-вектора иЛ ы', 4) Пусть Š— унитарный А-модуль, обладающий системой и образующих.
Показать, что каждое зиакопеременное полилинейное отображение модуля Еи в произвольный А-модуль Р есть результат антисимметрнровання некоторого полилинейного отображения. "'5) Пусть К вЂ” поле характеристики 2 и А — кольцо К(Х, У, Я) полиномов от трех неизвестных Х, У, Я над К; пусть, далее, Š— фактормодуль АММ модуля А' по его подмодулю М, порожденному элементом (Х, У, 7); пусть, наконец, Р— фактормодуль модуля А по идеалу (Хг)+(Уг)+(2г). Показать, что существуег знакопеременное билинейное отображение Ег в Р, не получа<ощееся путем антисимметрироваиия никаного билинейного отображения Е' в Р.
Показать также, что в Е б<) Г подмодуль Я< тензоров, антпсимметрированне которых дает О, совпадает с подмодулем Л, на котором аннулируются все знакопеременные линейные функции. (Рассматривая Е ®Е как фактормодуль модучя Аг <Э А' (З 1, и' 3, предложение б), показать, что теизоры, дающие при антнснмметрировании О, являются каноническими образами симметрических текзоров из А' Я А'.), *'6) В обозначениях упражнения 5, пусть  — факторкольцо кольца А по идеалу а=(Хг) тл(У<)-)-(Ег) в С вЂ” фактормодуль ВМР модуля В' по его подмодулю Р, порожденному элементом, имеющим своими координатами соответственно классы Х, У, 7 (шо<) а). Показать, чть в С Я С нодмодуль <Ч, 'тензорое, дающих при антисвмметри- ПОЛИЛИНКЙНАЯ АЛГКБРА ГЛ.
111, 1 5 роваыии О, отличен от подмодуля Ь[', ыа котором «выулируются все зыакоперемевяые лияейвые фуыкции. [Тем же методом, что и в упраж. веяли 5.), 7) Пусть А-модуль Ь" есть пряман сумма своих подмодулей Е„Е . р е Показать, что модуль Д Е изоморфеы прямой сумме С модулей (/1 Е,) бл р-е ([) ( Д Ее), где е пробегает все целые зыачевия от О до р. (Опираясь р ыа схолию из в' 5, определить линейные отображения /1 Е в С и С р в /1 Е, которые были бы взаимно обратны.) Обобщить на случай модуля Е, задаывого в виде прямой суммы произвольыого коиечыого числа его подмодулей. В) Пусть Š— А-модуль и М вЂ” его подмодуль.
Покааать, что модуль Д (Е/М) изоморфек фактормодулю (/1 Ь)/Г(М) модуля /1 Е .по его подмодулю Г(м), порождепыому р-векторами х1гт ° гт х, в которых по крайией мере одво хг принадлежит М. [Метод упражне- ыия 7.[ 9) Пусть А — кольцо целостности с единицей и К вЂ” его поле отыошеиий (гл. 1, [ 9, и' 4). 9 а) Внешняя степопь /1 Л', где Л' рассматривается как А-модуль, сводится к О. б) Показать, что если Š— А-модуль, содержащийся в К, то макар кая его внешняя степень /1 Е (р ) 1) пе содержит свободных элементов.
в) Показать, что если Š— модуль, определевыый в упражве- 2 ыии442,то/1Е не сводится к О. Привести пример кольца целостности 1 и А-модуля Е, содержащегося в его поле отвошевий К, таких, что р никакая внешняя степень /1 Е ые сводится к О. 10) Привести пример кольца А, обладающего следующим свой- ством: в А-модуле Е = Аа существует подмодуль Е такой, что /1 ф, где ф — каыовыческое отображение Е в Ь', есть тождественный куль, 2 тогда как ии /1 Ь', ии /1г" ые сводятся к О. [См. упражвеыие 4 4 1.) 11) Пусть Е и Š— векторыые пространства вад одним и тем же полем и и — линейное отображение Е в Е, имеющее ковечыый ранг г.
р р Показать, что если ра г, то ранг/1 иравен[г ), аеслир)г то/1 и 1 Р/ есть тождественный нуль. [Ваять в Е базис, г векторов которого обра- ВЦИНП!ЯЯ АЛГПБРА 41! -1 чуют базис подпространства, дополнительного к и(0), а остальные— -т базис надпространства и(0).] е12) Пусть Š— А-модуль, обладающий бааисом (е;), состоящим нз и элементов. Показать, что если л ) 1 и р чь л — р, то не сущест- Р и-Р вует изоморфизма ~р модуля Д Е ка Д Е, который бы зависел лишь от структуры А-модуля в Е. (Такой изоморфизм должен был бы удовле- творять тождеству с( нв= и„э ~( для каждого автоморфизма и модуля Ь] взять за и азтоморфпзм, опредевяемый условиями и(ее)=ее4 ез, и(еа)=ее прн й.—,='- ц и придавать з н 1 всевозможные значения.] 13) Показать, что внешняя алгебра ДЕ модуля Ь' иаоморфна факторалгебре тензорпой алгебры Т (Е) (З 4, и' 6) этого модуля по ее двустороннему идеалу а, порожденному элементами х 8 х, где х пробегает Ь', 14) Пусть Š— вокторное пространство над полем.
05 а) Для того чтооы элемент г = ~ зэ (тв 4 Д Ь) внешней алгебры Р=-Е Д Е был обратимым, необходимо и достаточно, чтобы з„—, О. (Дока- зать это сначала для случая конечномерного Е н перейти далее к об- щему случаю, заметив, что для каждого элемента з 4 Д Е в Е суще- ствует конечномерное подпространство Е такое, что з 4 Д Е.] б) Еслп размерность Е бесконечна либо конечна и четна, то центр внешней алгебры Д Е образован теми ее элементами з, у которых з„.=О для всех нечетных индексов ТА если Е имеет нечетную конечную 'раз- мерность п, то центр алгебры Д Е является суммой надпространства, обрааозанного указанными элементами, н л-й внешней степени Е. 15) Пусть А — коммутативное кольцо с единицей и Ь' — алгебра над А, обладающая единичным злементом, который мы будем обоаиа- чать с.
Пусть, далее, (х;)1; „— конечная последовательность эле- ментов из Е такая, что хех,= — хгхь при з-,е/ и х,'=0 (1.ьА л), и Л вЂ” внешняя алгебра модуля Аэ. Если каждому элементу а=аз-]- ~ а;,, е; Л . Ле; 0) '1. 'э'1 из Ь, отнесенному к каноническому базису (е;) модуля А", поставить и соответствие элемент = (хм . ° °, хе)=аее+ ~ сс,, тз ба> 1''' Р 1 Р из Е, то атим определится представление алгебры Ь в алгебру Е, и образом Л при этом представлении будет служить подалгебра в .Е, порожденная единичным элементов э и элементами х; (1 ~~ 1-. а). 412 гл, мг,1 е ПОЛИЛИНКЙНАЯ АЛГЕБРА в 6. Определители В этом параграфе рассл~атриваются лишь коммутативные кольца с единицей и унитарныв модули над такими кольцами, обладаюшие конечнмл~ базисом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
