Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Согласно определению 3, для каждого гЕ.(! можно нависать аг .= — ~~' па (г — тг), где сумма распространяетсн з на все четные подстановки, а отсюда непосредственно следует паше утверждены. Можно привести примеры модулей Н, для которых д' .-- гт:1 (см. упражнение 6). Слвдствпж Результпат антисимметрироеания всякого полил инейного отображения знакопергменен. Действительно (следствие предложения 4), всякое антисимметрнрованпое линейное отображение модули Я Е н А-модуль г" аннулируется на Л', и тем более на йт. 4.
Знотсотгегземенньсе тголтглтгнейнтле функции на свободном модуле Пусть Š— свободный А-модуль и (ех)„е„— его базис. Отнесем каждой последовательности з = (Хт), т „, образованной р элементами множества т' (различными плн нет), элемент ех К... К ез; 1 ''' р' будем в этом и' обозначать его е,. Множество этих элементов е, (где з пробегает множество ьв всех последовательностей по р 396 гл. пп15 полилинвиная АлгеБРА элементов нз Е) образует базис модуля ® Е (3 1, следствие 2 предложения 7). Имеются два сорта последовательностей гс 1' такие, что тг = з хотя бы для одной транспозиции т 6 Яр (иными словами, последовательности з, имеющие два равных члена); множество всех таких последовательностей обозначим Ф; 2' последовательности з = (Х,.), образованные попарно различными элементами; для такой последовательности з имеем оа Ф г, какова бы нн была нетождественная подстановка оРЯр, и, следовательно, ае, = ео,.
Ф е,. Рассмотрим в множестве последовательностей этой второй категории отношение эквивалентности «з, н з, отличаются лишь расположением членов», которое может быть также выражено в форме «существует об б такое, что аз, = з э. Выберем в каждом классе эквивалентности по этому отношению какую- нибудь (безразлично какую) последовательность, и пусть Я— множество всех выбранных последовательностей.
Мы получим базис модуля ®Е, взяв: 1' элементы е„соответствующие последовательностям ар Я; 2' элементы ес„соответствующие последовательностям гб Я и всевозможным нетоясдественным подстановкам ор Я„; 3' элементы е,, соответствующие последовательностям з б,Ф. р Мы получим также базис модуля ®Е, взяв; а) элементы е„соответствующие последовательностям г 6 Я; р) элементы еее„, — е„, соответствующие последовательностям зб Я н всевозможным нетождественным подстановкам об Я,; у) элементы е„ соответствующие последовательностям зр Ф. Элементы этого базиса, относящиеся к категориям у) н р), принадлежат подмодулю Х, на котором аннулируются все знакопеременные линейные функции; для у) это вытекает из определения подмодуля Л' (и* 2), а для р) — из предложения 3.
Покажем, что подмодуль, порожденный элементами базиса, относящимися к категориям у) н 'р), есть не что иное, как подмодуль Л', тензоров антисимметрирование которых дает нуль. Так как )У С Х, (предложение 5), то отсюда попутно получится, что дг, = Л'. Достаточно показать, что для тензора з = ~а,е„(линейной ком- кая внв3вняя Алгкввл зйу бинации элементов категории а)) соотношение ис -=- О влечет тг = О для всех вбегу. Но это соотношени~ записывается в вице е а,е;=О, *еМ, ве б, откуда и следует справедливость утверждения.
Пусть теперь д — линейное отображение модуля ®Е в А-модуль Р. Для того чтобы д было знакопере*!енным, необходимо и достаточно, чтобы ояо аннулировалось на базисе подлгодуля Л', образованном элементами указанных выше категорий р) и у); и отсюда вытекает система необходимых и досп!аточных условий лникопеременности отображения йч д (е,) =- О для каждой последовательности г, у которой (по крайней мере) два члена равны; з (евг) = гад (е,) для каждой последовательности з с попарно различными членами и каждой подстановки об Я„. Если линейное отображение д модуля ЯЕ в Г удовлетворяет указанным условиям, то обозначим через и линейное отображение, определяемое условиямп Ь (е„) = д(е„) для каждой последовательности гб лт'; й (е,) = О для каждой последовательности в~со'. г!чевидно, и!! =- д: каждое знакопсременное линепяое отображение есть результат антисимл!етрирования некоторого линейного ог ображения.
В итоге (учптывая следствие предложения 5) имеем: Теогвыл 1. Пусть Š— свободный А-модуль. р а) Подмодуль 3 в ЯЕ, на которолс аннулируются все знаконеременные линейные функции (и' 2), совпадает с подлсодулем Л"! тензоров, антисимметрирование которых дает нуль. 1 б) Для того чтобы линейное отображение д модуля ® Е в А-модуль Г было внакопеременньслю, необхооил!о и достаточно, чтобы оно получалось путем антисимметрирования некоторого р линейного отображения ®Е в Р.
398 полнлннвйнля ллгвнгл гл. гы, (зг В з и с ч л и и е. Вторая часть теоремы 1 остается верной и без предположения, что ту обладает базисом, если только уравнение р!у=э для каждого 6 й г" имеет, н притом единственное, репгение е г". Действптельно (замечание 2 э и' 1), тогда каждое аптнсимметрическое лолнлвпейпое отображение Пз в Р янляется результатом автиснмметрировакня некоторого полгшинейного отобрангения, н, в частности, это зерно для каждого энакопеременного полплинейного отображения згг з г (следствие 2 предложения 3). Тенигг обрезом, е этом случае понятия ентисимметрнрованного, знакопеременного и ангнсимметричесного полилнне)нных отображений Ре е Г солнсдамъг (что, например, имеет место для каждого целого р, когда Г и р — вевторныв простгглнстза над возем характеристики О).
5. лззгегиние епгеггетзи .ггодузгзг Пусть Š— произвольный унитарный .-1-тгодуггь. Так как каждое зпакопеременное линейное отображение д модуля (ЗЕ р в А-модуль Г аннулируется на подмодуле Л модуля ®Е, то оно может быть записано в виде Ьсф, где ф — каноническое отобра- Р р жение модуля ®Е в фактормодуль (®Е)гйг, а Ь вЂ” однозначно определенное линейное отображение этого фактормодуля в Г (гл. 11, $2, предложение $).
Поэтому каждое знапопеременное полилинсйное отображение Е" в Р ыоясет быть однозначно представлено в виде (х„..., хр) — ь Ь (ф (хт®... (3хр)). Всюду в дальнейшем через хгЛхзИ... Дх„для каждого эле- мента (хг)рйз будет обозначаться образ х,()ух ® ... Зх„прп р каноническом отобрапсении г(г модуля ®Е на его фактормодуль гя Опгндвлвнпв 5. Пусть Š— унитарный А-модуль.
Фактор.иодуль модуля ®Е по езо подмодулю йг (порожденному разложимьгми тензоралги х, 3 х, 8 ... (э) х„, в которых по крайней мере два элгснента х . х. равны) называется р-й внешней степенью модуля Е БНЕ)ЛНЯЯ АЛГЕБРА Р р и обозначается /~Е. Элементы из /~Е называются р-векторами над Е; каждый р-вектор вида х, Л хвЛ ... Л тр (где все х(с Е) называется разложил(ыл(. Приведонноо о~ределеш)е имеет смысл лишь при р»ь 2; в допол! пение к нему будем. по условию, попинать под /~Е сам модуль Е, о а под ДŠ— кольцо операторов А; таким образом, 1-вектор— зто алемент нз Е, а О-вектор — скаляр. Поскольку каждый тензор есть сухгма разложимых тензороп, каждый р-вектор над Е есть сумма разложимых р-векторов.
Так как (х„хз.. х„) — » х, Л х„Л .. Лхр есть знаъопоременпое отображение, то каждый разложений) р-вектор, в котором по крайней мере два элемента х(, х; равны, есть нуль, и для каждой подстановки о С х (согласно следствию предложения 3) имеем хв(()Лхо(г) Л ° ° ° Лхв(р) = за'х)ЛхвЛ Лз'р. (6) Из схолии, приведенной в и' 2 З 1, н введенного выше определения 5 непосредственно вытекает следующая аналогичная р Схолия, Линейные отображения Д Е в Р связаны со знакопеременными полилинейными отображениями ЕР в Р следующим взао.пно однозначным, соответствием". линейное отображение л)одуля ~Е в Р определено, если известно его значение ) (х1 Л ... Л х ) для каждой последовательности (х()1<(яр иг р элементов модуля Е и (х,, ..., хр) — ») (х) Л " Лхо) есть знакопеременное полилинейное отобрансение.
Обратно, для определения лилейного отображения р /~Е в Е достаточно зада)пь отображение (х„..., хр),' — »'д (х„'..., хр) модуля ЕР в Р, проверив его полилипейность и знакопеременность; тогда существует, и притом единственное, линейное отображение ~ модуля /~Е вр такое, что фх) Л ... Л хр)=д(х„'..., х„) для всех (х()Р Е". В частности, незачем проверять, что соотаошеазе хьЛ .. Лев-.---. =У, Л ... Л Ур влечет У(сд...„хр)=-е(У,,..., Ур).
полилинейнля Алгвввл гл,ыс; з Далее, для определения билинейного отобргакепин пронзве- Р дениябХНвнешних степеней л=-/~Е н Н.=/~Г в модуль Л'достаточно задать отображение д произведения Ел х Р' в гу', для которого бы каждое частичное отображение (х~ ° ° ° хн) + ь~ (х~ . хл У~ Уч) (у,. 'у,)=у(х~,",х.,уп ",у,) было знакопеременным полилине!иным отображением; тогда существует, и притом единственное, билинейное отобра кение /проиаведения СХН в гу такое, что тождественно /(х1Л...
Л хр У1 Л Луа)=ав(х1 ' ' хл У1 ' ' ' Уд) (см, $ 1, и'2). 3 а и в ч а н и в. Если Е обладает конечной системой обраау1ощих, число которых равно л, то /тЬ' нри р ) л сводится н О. б. Вневиввтве степени свободного модтглм Предложение 5 показывает, что лппейное отображение г — ь аг н модуля (ЗЕ н себн знакоперел1еиио и потому может быть записано Р Р в виде 0 ~р, где ар — каноническое отображение ®Е на /~Е= =(ЗЕ)/Л', а 0 — однозначно определенное линейное отображение /~Е на подмодуль Н в (3Е, образованный антисимметрическими те горами р-го порядка; мы будем называть 0 каноническим отображением ЛЕ на (/. Таким образом, 0(х, Л Л х,)= (,З... Зх„) для каждой последовательности (хз)~<;кл изр элементов модуля Г. Отношение 0(и)=-0 для элемента ибо равносильно отношению исЛ',/М; в случае, когда Š— свободный модуль, имеем Лг,=гв' (теорема $, а)), и значит, 0 — игоморфигм.
Иными словамн: Пнвдложеник 6. Если А-модуль Е обладает базисом, то взаимно однозначное отображение, ассоциированное (гл. 1, з 6, п' 4) ВНКШНЯЯ АЛГКВРА 401 Л Р с эндоморфизмом г — аг модуля ®Е, есть иэо.норфивм /з,Е на подмодуль антисимметрических тенээров р-го порядка. р-вектор часто отождествляют тогда посредством изоморфизма о (обратньпг к которому также именуется капоническилз) с соответствующим аптпсимметрированным тензором.
В обозпачоннях и' 4, каноническое отображение модуля фЕ на фактормодуль ()ЗЕ)/Лг преобразуот семейство (е,)а е до, являюр щееся базисом дополнения кЛ', в базис лгодуля ~1 Е. Рассмотрим, в частности, тот случай, когда модуль Е имеет конечный базис (е,)ояз „. Пркмем во всей остающейся части этой главы следуюгдее соглавзепно: если (х,)з -; „— заданная серия (гл. 1, 2 1, и" 2) элементов унитарного А-модуля Е, то для каждого множества Н, состоящего пз рцелыхчиселинтерваэза[1,за1с М, через хя будет обозначаться р-вектор хз Л ... Лх;, где ()л)онамр— строго возраапающая последовательность, образованная р эленентами множества Н. Это определение имеет смысл лишь при р Р 2; условимся для мне>костел Н ='Д, сводящегося к одному элементу, полагать хп=х;, а для пустого подмножества ЗЭ' интервала (з, л) считать х =з (единичному элементу колька Л). При этих соглашениях, предшествующее замечанпе показывает, что справедлива Теогкма 2. Пуста Š— модуль, обладаюи)ий конечным базисом (еа)~ыз<„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
