Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Но Еаа отождествпмо с Е (гл. Н, 5 4, в*4); с другой стороны, ранее был определен канонический пзоморфпзм тензорного произведения Е* 3 Е на модуль билинейных форм па Е >: Ге (з 1, и" 5), относящий тензорпому произведению х' Я у били)пйную форму (х, у') — в (х, х') (у, у') на Е Х Га. Отсюда: ПРкдложгник 1. Если Е и Š— Л-модули с конечными базисами, то линейное отображение Ее<3Г в Х (Е, Е), отнесли(ев каждому тензорному произвсдени<о х' 8 у линейное отображение х-.. (х, х') у, есть изоморфизм Ев<3Г на Х (Е, е). Этот изоморфизм и изоморфизм, обратный ему, будут называться каноническилш. Из предложения 1, в частности, вытекает, что каждое линейное отображение и модуля Е в Е есть су)н|а конечного числа Х ткнэоаы н тннэогнь<н простипнствп 381 липойпых отобрал<енпй вида х —:. (т,, х') у. !1прочеь<, это легко установить н непосредственно: если (а<) — базис модуяя Е, то .тя как<дога х=- ~ $<а,б Е инеем и (х) =-~~' с>и (а<) = г (х, а') и(а<), >до (а') — сопряженный баапс модуля Е".
Мы видим при этом, что если и — элемент пз Е* <, Е, отвечающий и прп каноппче- < ком нзоморфпзме, то,<ля каждого базиса (а<) модуля Е п .—.. ~~ а<зи (а,). (>) !1 том случае, когда Е= — Е, канонический пзоморфпзм и- ° и. относит каждому эндоморфпзму и модуля Е сметанно>й п>ензир и па Е (принадлежащий Е»®Е), один раз коптрааариаптный и один раз коварнаптный. Если х,:> — комнононты атого тензора относительно базиса (а<) модуля Е, так что и= ~~~ а,зава„ <,> то, как показывает сравнение с (4), и(а<) = ~~' и, а; ннь>ьп> 1<>' словами, компонента а тентора и есть элемент матрицы энде- .вор!бийма и (относительно того же базиса), >шходлщийсл на пере- се>енин 1-го столбца с у-й сгярокой.
3 а м е ч а н и я. 1) Каждому эндоморфнзму и' модуля Е', сопряженного к Е, так же соответствует смешанный тензор и'. принадлежащий на этот рзз модул>о Е ® Е* (при отождествлении Е*» с Е); так же, кан выше, устанавливается, что для каждого базиса (о<) ыодуля Е и' = Х~~ и<и' (а'), так что компонентой р'. тензора и' относительно (а;) служит элемент '> матрицы эндоморфизма и' (относительно базиса (а )), стоящий на пересечении >-го столбца и 1ьй строки. В частности, если и'= >и, то тензоры и н и' соответствуют друг другу прн канонических изоморфязмах между Е* Я Е и Е ® Е* (и' 1). 2) Как мы знаем (1 »1, в' 2), каждому билинвйномч отображепню ЕХЕ в Е можно ою>ести линейное отображение Е ® Е в Е, и следовательно.
согласно предыдущему,— элемент из (Е Я Е)* ® Е, иными словами, дважды по»ариан>нный и адин рав понтравариантный твнвор, принадлежащий модулю Е» ® Е* ® Е. В частности, каждой структуре алгебры в Е (гл. 11, 1 <7), поскольку она определяется билинейным гл. и>, 14 полилннкяная АлГГВРА отобран<знаем (т, у) — >. ху, соответствует такой тензор; коэффициенты у „,, нходящне в таблицу умножения этой алгебры относительно базиса (а ) (гл. П, 1 7, и' 2),— это не что впое, как компоненты соответствующего тензора относительно указанного базиса.
3) Более общим образом, каждый модуль р раз контраварнантных и е раз ковариантных тензоров над Е изоморфен модулю линенных отобра>кенв» Е,", в Е', при всякой системе целых положительных. г, а, г', >' такой, что г'- э= р в г-'- э' —. д. о. Г,'.аед оттдомору>иилси. С.сед хгсттсртлцы Опгкдвлкппк 4. Пусть Š— А-.нодуль с конечным базисом . Следом Тг (и) его эндоморфизма и называется скаляр с', (и), полученный путем свертывания смеши>>ного тензора и, соответствующего и. То же самое мон но выразить, сказав, что для любых пар конечных се>нейств (х,') элементов из Е* и (у,) злеагонтов из Е таких, что. ч тождественно и (х) = >э (х, х;) ут, имеет место равенство Тг(и)= ~ (у, г;).
(бр 'Как мы впоследствии узнаем, зто последнее определение дает е некоторых случаях отправной пункт для обобщения понятия следа на (непрерывные) эндоморфизмы топологических векторных пространств., Если Сг = (сс,'.) — матрица зндоморфпзма и относительно базиса (а,) модуля Е, след Тг (и) принимается, по определению, также. за след матрицы С> и обозначается тогда Тг (ьг); согласно формуле. (4), имеем Тг (и) = ~ (и (аз), а') .= ~' а',; ннымп словами, след' > квадрагпной матргицы — это сумма вв диагональных элементов.
Определение следа матрицы показывает, что следы подобных матриц Х п РХР ' (гл. 11, з 6, и'11) равны. Это предложение. может быть также выведено из следу>ощего более общего: Пгкдложкник 2. Каковы бы ни были матрица Х из т строк и п столбцов и матрица У из и строк и т столбцов над коммутативным кольцом А, Тг (ХУ)=Тг (УХ). (6) 383. ТВНЗОРЫ И ТВНЗОРНЫВ ПРОСТРАНСТВА Доказательство этого утверждения сводится к доказательству того, что Тг (ио О) =.
Тг (цо и) для линейного отображения и модуля Е = А" в Р = Аго и линейного отображения О модуля Р в Е; при этом можно ограничиться тем случаем, когда'и имеет вид х —. (х, а')Ь (Ьбр, а'ЕЕ«), а Π— виду (у, Ь')а (абЕ, Ь'брв), поскольку каждое линейное отображение есть сумма отображений этого вида, а Тг (ш) — линейная функция от ш; по в этом частном случае имеем Тг (и о о) = — Тг (и о и) = (а, а') (Ь, Ь') согласно определению 4. Следствие. Пусть (Х,)гя,я — конечная последовательность р матриц над коммутативным кольцом А таких, что, обозначая через т; число си«рок и через и, число столбцов матрицы Х,, имеем пг=-тг,, при $ =.г'<р — 1 и п„=т,. При этих условиях Тг(Х,Х, ... Х ) = Тг(ХгХ«„...
ХРХ,... Х,,) (7) («инварпантность относительно круговых подстановокэ). Достаточно применить (6) к пронзведенпк> (Х,... Хр) (Х, ... ... Х;,). Заметем, что, напротив, для проязвоаьямх матриц Х, У, х вообще говоря, Тг (ХУУ) ОВТг (Хйи), Пусть Х = $„), л' = (цм) — квадратные матрицы и-го порядка; тогда Тг(ХУ) = ~ ~От)я (что дает второе доказательство предложения 2); кроме того, эта формула показывает, что каждая линейная форма на А-модуле М„(А) квадратных матриц и-го порядка над А может быть представлена, и притом единственным способом, в виде Х вЂ” > Тг (РХ), где Р— фиксированная квадратная матрица; это отображение может быть тождественно нулевым, лишь если Р = О.
Мы выведем из этого замечания, что предложение 2 характеризует (с точностью до постоянного множителя) след матрицы среди линейных форм на М„(А); а именно: Пввдложвнив 3. Ясли 7' — линейная форма на модуле М„(А), для которой тождественно )' (Хл") = 7' (лгХ), то существует сквляр ОР А такой, что л'(Х) —... цТг(Х) для каждой л«атрицы Х.. посгилинкпнля Алгввгл гл ш,54 Действительно, существует фиксированная матрица Р такая, что у (Х) = Тг (РХ) для всех Х Р й!с (А); поэтому условие ! (Х1') = у (1 Х) записывается в виде Тг (РХ1') = Тг (РУХ), пли, на основании (7), Тг РХ1 ) =Тг(ХРУ), итк, наконец, Тг((РХ вЂ” ХР) У) = О; так как это соотношение имеет место для каждом матрицы У, заключаем, что РХ= ХР для каждой матрицы Х, откуда, в силу следствия 1 предложения 5 $2 главы П, Р= рУ (где 1 — единичная матрица), и предложение доказано, В случае квадратвмх матриц лад полем К предло'кение 3 допускает следующее истолкование: векторное цодцростравство векторного пространства М„(К), порожденное матрицами ХУ вЂ”.
УХ, есть оилолллослость. б'. л'еннориал алгебра, Пусть Š— унитарный А-модуль и Т (Е) — прямая сумма всех его тензорных степеней ®Е, где р пробегает множество г( целых чисел ~~0. Понятие произведения двух тензоров позволяет определить в Т (Е) структуру алгебры относительно А. Действительно, каждый элемент гр Т(Е) однозначно представйм О в виде з= г зл, где хр — контравариантный тензор р-го с=с ~ порядка (равный нулю для всех и розге конечного числа апачеяпй р), Пусть также -'= ггб Т(Е).
Положим зг'= ~' з з,',. Очер=с о. ч видно, определенное так на Т(Е) умно.кение двояко дистрибутпвно относительно сложения; оно ассоциативно в силу соотношения (грз,) з„= зр(з з,) между тремя тензорами порядков р, д, г, очевидного для разлояспмых тензоров и распространяющегося на произвольные тензоры по дистрибутпвности. Наконец, ясно, что а(хг') =(аз) з' = л(из') для каясдого скаляра ар А. Тем самым Т(Е) действительно есть алгебра над А; она называется гиензорной алгеброй модуля Е.
Эта алгебра имеет своим единичным элементом единицу е кольца А и вообще не коммутативна; для элементов из Е (контравариантных векторов) умножение в Т (Е) дает не что иное, как тензорное произведение, определенное- ТВНЗОРЫ И ТБНЗОРНЫВ ПРОСТРАНСТВА 385 з В' 2 З 1; тем самым множество А Ц Е составляет систелгу поравуюирих алгебры Т(Е). Если Е обладает базисом (ал), то Т(Е) обладает (бесконечным) базисом, образованным единичным элементом и всеми тензорами ал,иле, .. ал, где (Х) пробегает р' л множество всевозможных конечных последовательностей (с лю- бым числом членов) элементов множества индексов; таблица умножения этого базиса задается соотношениями (ал, ... ал ) (ар ...
а„) = ал ... ал а„... ар, Каждое линейное отпображение и в~одуля Е в произвольный А-модуль Е однозначно ггродоля<ается до >гредетаеления алгебры Т (Е) в алгебру Т(Е). Действительно, если и — такое продолже- ние, то и(е)=е, откуда и(а)=-и(ае)=аи(е)=и длв любого гкаляра и; с другой стороны, для всякого разложимого тензора =,, = х,х,... хр порядка р ) 0 мы должны иметь и(г ) = и(х,) и(х,) ... и(хр) = ир(г„), где ир означает р-ю тензорную степень и, и это соотношение должно вьшолняться также для любого контравариантного тензора р-го порядка, поскольку такой тепзор есть сумма разлоявимых тензо- ОЭ ров. Следовательно, для каждого элемента г = ~~' гр из Т (Е), р-с разложенного в сумму тензоров различных порядков, должно выполняться равенство и (г) = ~„и (гр) = ~„ир (гр) (где и' р=е р=о означает тождественное отображение А на себя).
Обратно, ясно, что так определенное отображение и действительно является представлением Т (Е) в Т (Р). и будет называться каноничеекил~ продолжением и на Т(Е). Если Р— линейное отображение Е в А-модуль 6 и Р— его каноническое продолжение на Т (Е), го каноническое продолжение композиции р пи на Т (Е) совпадает Е Очи. В ЧаСтНОСтИ, ЕСЛИ и — азтОМОрфИЗМ МОдуЛя Е, тО и — аВтО- чорфиэм алгебры Т(Е).
Если Š— иодмодуль модуля Р и и — каноническое отображение Е в зг, то и есть представление Т (Е) в Т (Е), также называемое каноническим; оно не всегда взаимно однозначно (см. $ 2, упражнение 4). Однако, если Š— векторное пространство, то гб и. Вгреаюю гл, гн,14 28(! ПОЛИЛННЕЙНАЯ АЛГББРА и есть изолюрфизм 'Г(Е) в Т (Е) ($1, следствие 3 предложения 7), и Т (Е) часто отела))ествллетсл посредством него с подалгеброй з Т(Е), являющейся его образом. У п р а ж и е и и я. 1) Пусть Š— кояечпомеряое векторкое простраиство и з — тепзор, принадлежащий ЕР. Пусть, далее, )г'! для каждого коптравариавтпого индекса 1 (1.: 1:, а) есть подпростраиство в Ее, образованное темп х'БЕ", для которых с,',,(з х').=О, и Р! подпрогтраиство в Е, ортогональное к И';.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
