Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Если Š— векторное пространство над К, то оно совпадает с ассоциированным с ннм (как с А-модулем) векторным пространством; при этом имеет место следующее свойство: Пгкдложкнив 5. Пусть А — кольцо целостности, К вЂ” гго поле отноигений и Š— векторное пространство над К. Всякое семейство (хх) элементов из Е, свободное относительно А, является свободным относительно К.
Действительно, если ~~' ахах=О, где аг принадлежат К и все л кроме коночного их числа равны нулю, то, как показывает рассузкдепие, проведенное при доказательство теоремы 2, в А существует элемент у чь О такой, что уих = ~х принадлежит А для каждого Х; поэтому ~~()ххх= у(2 аххх) =О, откуда, в силу предлог ложеппя, рх=О для каждого )., а тогда и ах=О для каждого Х, поскольку у Ф- О. глсжпскнпг. кольца опкглтогов модуля 361 3 а и е ч а и и е. Тензорное произведеиие Е, Я Ез увктаркых А-модулей Е, и Е, может содержать ненулевые аависимые элементы, лаже если каждый иекулевок элемент модулей Е, и Е, свободный (см. упражнение 4).
У п р а ж и е н и я. 1) Пусть  — коммутативное кольцо с единицей е и А — его подкольцо, содсряжщее е. Показать, что если Е и Р- укитаркые А-модули, то В-модуль (Е ЯР)< ) изозюрфен В-модулю Е~п ЯР(п . з2) Пусть Š— векторное пространство иад полем К. Показать, что для множества Р С Е следующие предложения равносильны: а) Р есть векторное пространство относителыю подпола Е поля К; каноническое отображение Р в Е продолжается (следствие теоремы 1) до К-изоморфизма Р иа Е; группа звтоморфкзмов поля К, оставляющих инвариапткым каждый элемент яз Ь, ке оставляет иявариактным никакого другого элемента из К. б) Группа Г биавтоморфизмов (Приложеиие 1к главе П)пространства Е, оставляющих инвариаптяым каждый элемент яз Р, не оставляет ипвариактпым никакого другого элемента из Е я ке содержит никакого нетождественного автоморфизма пространства Е.
[Показать, что поле Ь есть множество тех элементов ),йК, для которых з бР влечет хз й Р. [ *3) Пусть А — кольцо целостности с едпкицей и Е, Р— проиаволькые А-модули. Показать, что если х — свободный алемевт из Е и у — свободкыйэлементизР, то х([[) у естьсссбсдкмц элемент в ЕЯР. [)[остаточно доказать, что х Я) у + О; начать с рассмотрения случая, когда все иекулевые элементы из Е и Р свободные; использовать предложеиие 8 [ 1 дли сведеиия к случаю, когда Е и Р имеют коиечиое число образующих, и, далее, следствие 1 теоремы 2 для установления существования такого А-биликейпого отображения ( прояаведения ЕХР в поле отиошений К кольца А, что ((з, у) —.'- О. Перейти к общему случаю с помощью предлоясекия 6 $1.[ *'4) Пусть А — кольцо К, [Х, У[ коликомов от двух иеиавестных Х, У кад полем К, и Š— идеал (Х) +(У) атого кольца (множество всех полиномов, ие содержащих члеяа нулевой степени).
Показать, что в тензориом произведеиии Е ®Е А-модуля Е иа себя алемеит ХЯ У вЂ” УЯЕ отличен от пуля, но ХУ(ХЯ У вЂ” У3Х)=О. [Рассмотреть биликейяые отображекия ЕЕЕ в фактормодуль А/Е.), 5) Пусть А — произвольное коьааутативное кольцо с единицей и К вЂ” его кольцо отношений (гл. 1, 1 9, и' 4). Пусть, далее, Š— произвольный унитарный А-модуль и Я вЂ” множество тех элементов х б Р, акнулятор которых (гл.
П, 1 1, и* 9] содержит по крайней мере один элемент из А, не являющийся делителем нуля. Показать. что Ю есть подмодуль модуля Е и что какоиическое отображение х . 1Ях ПОГ<ИЛ<ИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. Пг, $2 модуля Е в Е .! есть А-линейное отображение Е на А-модуль Е„ изоморфный Е)д, такое, что Е<А! — — КЕ,. 6) В обоаначениях упражнения 5, дать прямое доказательство существования К-модуля Р и А-линейного отображения <р модуля Е в Р таких, что Е,=<у(Е) изоморфно Е/д, Р=КЕ, и для каждого А-линейного отображения 1 модуля Е в произвольный К-модуль )т' существует К-линейное отображение 1 модуля Р в Л' таков, что 1= !' ° <г.
]Для построенияР воспользоваться способом, примененным для симметризацян коммутативного ассоциативного закона (гл. 1, т 2, и' 4),] е7) Пусть  — кольцо (коммутативпое или яет), обладающее единицей е, А — его произвольное подкольцо, содержащее е, и Е— произвольный унитарный А-модуль. а) Обобщить на Е предложение 1. б) Определим в текзорном произведении В <к< Е, где В и Е рассматриваются как Е-.ходули (адцитивиые группы без операторов), структуру левого В-модуля, положив <(х®у)=(<х)(к)у для всех гбВ, хбВ и урЕ. Пусть Н вЂ” подмодуль втого В-модуля, порожденный множеством элементов вида (а<к>х) — (е<х>(ах)), где а пробегает А и х пробегает Е, далее, Р' — В-модуль (ВЗЕ)<Н и ~р(х) для каждого хрŠ— класс е<5<х (жобН), Показать, что: 1а <р(Е) порол<дает Р; 2' для каждого А-линейного отображения ! модуля Е в произвольный унитарный В-модуль Л' существует однозначно определенное В-линейное отображение д модули Р в Н такое, что !=у а ~р.
в) Вывестя нз а) н б), что если А содержится в центре кольца В, то существует такой нзоморфизм ф В-модуля Е<в<, определенного в и' 1, на В-модуль Р = (В 8 Е) /Н, определенный в б), что <р (х) = =ф(е(]]) х) для каждого хбЕ. Следовательно, ногда А содержится в центре кольца В, Е<„агааждесгавллегаса посредством этого изоморфизма с Р; в случае произвольного А модуль Р также будет обозначаться Е, и мы будем говорить, что оп получен путем расжирекил кольца операторов модуля Е до В, а отображение <р, определенное в б), будем называть каноническим отображением Е в Е<вр г) Показать, что если В =А, то А-модуль Е< изоморфен А-ыодулю Е.
д) Обобщить на Р. предложение 3. е) Воли Š— прямая сумма семейства (Е ) своих подмодулей, то Е<я! пзоморфно прямой сумме В-модулей (Е ) в . В частности, если (аь) — базис модуля Е, то каноническое отображение !р этого модуля в Е<к есть изоморфизм; по отождествлении Е с <р (Е) посредством изоморфизма !р (а ) будет также базисом модуля Е<,, каждое А-лкнейное отображеяие модуля Е в произвольный унитарный В-модуль .У однозначно продолжается до В-линейного отображения Е<, в <т'. ткыэогнык пгопзведкнин ллгкБР ж) Предположим, что А есть кольцо, допускающее тело вввмх отношений К (гл.
1, $ 9, увражаеаве 8). Пусть К вЂ” унитарный А- модуль, К1в,— левое векторное пространство кад К, полученное путем расширения кольца ояераторог мачула Г до К, и т — кавоквческое отображение К а К<хт Показать, что утверждевая теоремы 2 н ее саедствай полностью сохраняют силу. )Заметать, что дгя любого кояечаого числа элементов Ц, (1=- 1г а) вз К в А существует а - 0 такое, что все а$г принадлежат А.) в 3. Тензориые произведения алгебр У. Тетгзортгое произведение илгебр Пусть Е и Р— алгебры над коммутативным кольцом А с единицей. Ояи наделены структурой А-модуля, лежащей в основе пх структуры алгебры.
Пусть 6 = Е Я Р вЂ” тензорное произведение А-модулей Е и Р; мы определим на 6 умножение, которое вместе со структурой А-модуля определит в 6 структуру алгебры относительно А. Для этого заметим, что, поскольку умножение на 6 есть билинейное отображение 6Х6 в 6, достаточно (9 з, и'2) определить его для всевозмо.кных пар (г, г') тензорных произведений г=-хЯу, г'=-х'Яу, проверив, что каждое пз частичных отображений (х, у) †~ (х Я у) (х' Я у'), (х', у') †~ (х Я у)(х' Я у ) бнлинейно на Е ХР. Но этп условия будут очевидно удовлетво- рены, если принять (х Я у) (х' Я у') = (хх') Я (уу ).
()) Остается проверить, что определенное так на 6 умножение ассоциативно; ввиду его двоякой дистрибутнвпостп относительно сложения все сводится к установлению того, что ((х Я у) (х' Я у')) (х Я у ) = (х Я у) ((х' Я р') (х" Я р")); но это свойство вытекает из ассоциативности умножения на Е и Р, поскольку обе части формулы равны (хх'х")Я(ур'ув). Множество Р'Я Р, наделенное определенной так структурой алгебры, называется тенгорным произведением алгебр Е и Р. гл. ш, 13 ПОЛИЛИПЕйНАЯ АЛГЕБРА В случае, когда Е и Р— кольце бег операторов, под теизориым произведением ЕЯР, по определению, покиыеется тензорное произведение Е и Р, реесыетризаеиых кек алгебры над кольцом 2 рзциоизльиых целых чисел.
Тензорное произведонпе Е'с~ Е' алгебр Е' и Ео, противополоэесньсх Е и Е, изоморфно алгебре, противоположной Е с3с г", и отождествляется с нею; в частности, если Е и Š— коммутативныг алгебры, то зто же верно и для Е сЬ) Е. Предложения 4 и 5 $1 распространяются на случай, когда Е и Š— алгебры над А, поскольку определенные там канонические изоморфпзыы являются одновременно кзоморфизыаыи структурр ал ге бр ы. Предложению 6 $1 соответствует следующее предложение: Пгедложекие 1. Пусть Е и Š— алгебры над А, а — двусторонний идеал алгебры Е и Ь вЂ” двусторонний идеал алгебры Е.
Подлсодуль Г (а, Ь) в Еф,у, порожденный всевозможными элементами вида х®у, гдв хна и уб Ь, является двусторонним идеалом алгсбрьс ЕЯГ", и факторалггбра (Ефу)7Г (а, Ь) игоморфна твнзорному произведению (Е/а)с3,(с'сЬ) факторалгсбр Пса и ГГЬ. Доказательство предложения 6 $1 без всяких изменений применимо н здесь, поскольку, как легко видеть, линейные отображения, определенные в этом доказательстве, являются представлениями соответствующих структур алгебры.
Пусть М и Ф вЂ” подалгебры алгебр Е и Е; каноническое отображение модуля МсЗсч' в модуль Есор ($1, и' 3) есть также представление алгебры МЯЛ' на подалгебру алгебры Ефг"; в случае, когда А — поле„зто представление есть изоморфигм (т 1, следствие 3 предложения 7), и алгебра Мф;Дс отождествляется с ее образом при атом каноническом изоыорфизме.
Точно так же (предполагая А снова произвольным коммутативпым кольцом), если Е и Š— прямые суммы семейств своих ссодалгебр (ЕА) и (Ек), то каноническое отображение каждой из алгебР Еьс3~рк в Е<х)Е есть изомоРфизм, и пРи отождествлении каждой алгебры ЕА®гк с ее образом при атом каноническом изоморфизме Ес3Е является прямой суммой подалгебр Ехс3рю При етом: 365 тензогнын пгоизведения Алгввг П> вдло>кгник 2.
Если алгебра Е есть прял<ая компв>иция (гл. 1, у 8) подалгебр Ег (1< > (т), а алгебра Р— прямая ко.кпозиция подалгебр г"> (1. )< и), то алгебра Е~Р есть прямая композиция подалгебр Е<Кг"';. Достаточно доказать, что подалгебры ЕЯг"> взаимно аннулируются (гл. 1, з 8, предложение 7); но если хбЕ„х'6Е>о учР>, у'бра и (>,7)Ф(!г,>г), то (хну)(х'<г<>у')=-(хх)ф(уу')="О, поскольку одно из произведений хх', уу' равно нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
