Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Из предыдущего следует, что если (ал)ась и (Ьв)вем— базисы модулей Е и Р, то А-модуль Ж (Е, Р; 6) изоморфен произведению 6~~'~. Пгкдложкпик 1. й>одуль Х (Е, Р; 6) билинейных отображений, Е Х Р в 6 изоморфен модулю Х (Е, Х(Р, 6)) линейныхотображений модуля Е в лсодуль линейных отаоброжений Р в 6 (а также аналогичнол>у модулю Ж (Р, Х (Е, 6))). Денствительно, у — з и(х, у) для каждого иб.ь (Е, Р; 6) и каждого хбЕ есть линейное отображение Р в 6; если обозначить его и„, то х — ьи, будет линейным отображением Е в Х(Р,6).
Обратно, каково бы нп было линейное с>тобргжениех — >~„модуля Е в к (Р,6), (х, У) — ъЬл (У) есть билинейное отобРажение Е Х Р в 6, и, обозначая его и, имеем и„= — /„для каждого хкЕ. Ясно, что этим определены изоморфпзм Х(Е, Р; 6) на ь(Е, Х (Р, 6)) и изоморфиам, ему обратный; эти нзоморфпзмы будут называться каноническими.
Опгкдклкиик 2. Каждое билинейное огаображение произведения Е х Р унитарных А-модулей Е, Р в кольцо А (рассматриваемое как А-модуль) называется билинейной формой на Е ХР, гл. кп $ > ЗЗб полилинкйнья алгкзгл Согласно предыдущел>у, билинейные формы на Е х Р образуют А-модуль Ж (Е, Р; Л); причем, если Е обладает базисом (аь)кк, н Р— базисом (Ь„)ась>, то этот модуль изоморфен А . Кроме ькм того, из предложения 1 вытекает: Пгкдложкнкк 2. Модуль билинейнь>х форл»га Е Х Р изоморфен модулям,к (Е, Р*) и о (Р, Е*) (где Ег н Р* означают модули, соаряженнь>е соответственно к Е и Р).
Слкдствик. ХХусть и — билинейная форма на Е х Р; если Е и Р облада>от конечнь>ми базисами (а>)><> „и (Ь>)><><„, состоящими из одинакового числа элементов и такими, что и(аь, Ь;) =Ь,; (где Ь>, — кропекеровский символ) для каждой пвры индексов (ь, у), то и канонически соответствует некоторому изоморфизму Е на Р* и неногаорому изсморфизму Р на Еч. Действитольи>о, тогда линейное отображение х — г и„модуля Е в Рг, канонически соответствУющее и, таково, что ич = Ь,.' (1< >~( и), где (Ь,') — сопРЯженный к (Ьь) базис модУлн Рг (гл, 11, $ 4.
и' 4). 2, Хенеортьое пуроизеедение дете>к лодулеьь Мы увидим, что понятие билинейного отображения можно с полющью понятия тензорного произведения свестн к понятию линейного отображения. Покажем, что для заданных унитарных Л-модулей Е п Р суп>ествуют А-модуль ЛХ к билинейное отображение >у произведения Е х Р в ЛХ такие, что, каково бы пп было билинейное отображение 1 произведения Е х Р в произвольный Л-модуль л>>, существует линейное отображение д модуля М в Л', удовчетворяющее соотно>пению 1.— — у о >р.
Заметим преждс всего, что если ЛХ обладает этим свойством, то пм обладает также иодмодуль ЛХ, в М, порозкденный миол>еством >р(Е х Р) (для чего нужно только рассмотре>ь сужение д иа ЛХ,); поэтому достато >по ограничиться тем случаем, когда дополнитель~о требуется, чтобы ЛХ порождалось множеством >р(Е хР), т, е. совпадала с множеством всевозможнь>х линейных ко.пбинаиий 337 тензорнын произвндвния ИОдулей (гл.
11, т 1, и' 5) элементов из ~р(Ех Р); в атом случае линейное отображение д, для которого (=лолу, однозначно определяется билинейным отображением Х. Покажем, что осли такой модуль М существует, то он определен с точностью до изоморфизма однозначно; говоря точно, имеет место Пгкдложвнив 3. ХХусть Мд (л=1, 2) — два А-ллодуля и ~рд для каждого д — билинейное отображение Е Х Р в ЛХд, обладающее следующими свойствами: 1'ЛХл порождается множеством лрл (Е Х Р); 2' для каждого билинейного отображения Х произведения Е эсР в проиэвольный А-.кодуль Лг существует линейное отображение уд модуля М; в дг такое, что 1 = дд л ры ХХри этих условиях существует ивоморфигм и модуля Мд на М, такой, что ~рд = и Действительно, беря в качестве Лг модуль ЛХ„видим, что суще ствует линейное отображение Ь, модуля М, в М, такое, что — Ь, ь лрд; и точно так же существует линейное отображение Ьз модуля Мд в Мд такое, что грд = Ь, ь ~рд; отсюда ~рд = (Ь, о Ь,) о ~рд, где Ь ьЬд — линейное отображение М, в себя; но так как грд(Е ХР) порождает ЛХ„то из последнего соотношения вытекает, что з=Ьд(Ьд(г))длякаждогог~ЛХд; иными словами, ЬдьЬ есть тождественное отображение ЛХд на себя; совершенно так же Ь оЬ есть тождественное отображение ЛХ, на себя; следовательно (Теор.
ин., Рез., т 2, п' 12), Ь, есть взаимно однозначное отображение М, на ЛХ„а Ь,— обратное ему отображение. Покажем теперь, что модуль М, удовлетворяющий требуемым условиям, действительно существует. Рассмотрим А-модуль 6=А фсрмальньлх линейных комбинаций (с коэффициентами пз ЛЕХЕ> .4) элементов множества Е х Р (гл. П, т1, и" 8); как мы знаем, канонический базис этого модуля можно отождествить с мнонлеством Е Х Р так, что каждый элемент нз С будет однозначно представляться в виде а„г (х, у) (где а р принадлежат А н равны ар Оь ЮЕЕХЕ нулю для всех кроме конечного числа пар (х, у)). Пусть теперь Хдг — произвольный А-модуль; как мы знаем (гл. П, $ 2, и' 4), каждое отображение Х множества Ех Р в Л может быть, и притом единственным образом, продолжено до линейного отображения Х модуля 6 в Лг, а именно определяемого 22 н.
втрвлзз гл. ш,$1 полилинвйнля Алгквгк формулой 1 ( ~ ~п„„(х, у)) = ~~' а„„((х, у), х. о Отображение 1 — >1 есть нзоморфизм модула Лг всех кхг отооражений Е х Р в гт' на модуль Х (6, гт') линейных отображений 6 в Л'. Охарактеризуем линейные отображения ~, соответствующие билинейньгм отображениям1 произведения Е Х Р в Л', условия (1) и (2) означают, что линейная функция 1 обращается в нуль на всех элементах пз 6 видов (х, у+у') — (х, у) — (х, у'), (х+х', у) — (х, у) — (х', у), (пх, у) — а (х, у), (х, аф — (х, у).
В силу своей линейности,1 равна нулю также для всех элементов подмодуля Н в 6, порожденноео элементами указанных видов, причем этот подмодуль не зависит от Л; допуская вольность речи, мы будем называть Н подмодулем в 6, на котором аннулируются все би гинейньге функции. Итак, образом модуляХ (Е, Р; гт') билинейных отображений Е х Р в Лг при изоморфизме 1 —.1 служит подмодуль в Х (6, Л), образованный теми линешгьыпи отображениями 6 в Л, которые аннулируготся на Н. Но тогда (гл.
11, з 2, предложение 1) д — э у о О, где 0 — каноническое отображение 6 на 6гН, есть ивоморфизм Х(6гН, Л) на подмедуль в Х(6, Л), образованный линейными отображениями, аннулирующимися на Н. Таким образом, обозначая череа гр сулгение 0 на Ь' Х Р. видим, что каждое билинейное отображение Е К Р в Л' однозначно представляется в виде догр, где д — линейноеотобрагьение 6гН в Ж, причем д — ь до гр есть изоморфизм Х(6,гН, Л') на Х(Е, Р; гр) (который, как и обратный ему изопорфизм, мы будем называть каноническим).
Так как ф — билинейное. отображениеЕ хР в 6,гН, а гр(Е х Р) ггорозсдаегп 6,гН, то модуль ЮХ= 6 Н и отобраягенпе гр удовлетворяют всем условиям предложения 3. Для каждой нары (х, у) Р Е х Р пы положим отныне гр (х, у) = хну (вместо чего будем иногда допускать также запись ху, если это пе сможет вызвать путаницу). Опгздклвнив 3. Пусть Ь' и Р— А-модули. А-модуль 6/Н (фактормодуль модуля 6 формальных линейных комбинаций элементов произведения Е х Р по подмодулго Н. на котором М ткнзоеньгк пуонзнкдкння модь пни ззй аннулируются нсе билинейные функции) называется тензорным произведением мооулей Е и Р и обозначается ЕЯР, Допускал нолькость речи, мы будем каждый элемент из ЕЯР вада хЯу иазыаать тензорнам произведением х и у. Имеем тождественно (а+х')Яу=хЯу+.г'Яу,,(Я(гу-, у')=.-хЯу ь хЯу' (й) (ах)Яу=хЯ(ау) =а(хЯу) (4) и, и частности, хЯО =ОЯу=-О, каковы бы нп были х б Е н у бр.
Любой элемент пз ЕЯР может быть (з силу (4)) предстанлен н виде ~' (х(Яу,) и, значит, янляется суммой конечпого числа г тензорных произведений злементоп из Е н Р; но, как показывают тождества (3) и (4), элемент из ЕЯР предстазнм з таколг виде вообще различны*(и способа.ни. 3 а и е ч а н и я. 1) Пусть Е и Р— коммутатлзные группы без операторов; кх всегда можно рассматрнлать как модули над кольцом Х рациональных целых чисел (гл. 11, 1 1, и' 1); под тепзорным произведением Е Яг Р двух таких групп всегда понимается пронззеденне кх структур Х-модулей. 2) Тензорггое пронззеденае двух модулей, не слодлщнхся к О, могкет сводиться к О.
Палрныер, для Х-модулей Е=Х((2) и Р=Х/(3) амеем 2х= 0 и Зу = О, законы бы нп были х 6 Е и у 6 Р; следовательно, хЯу = — 3 (хЯу) — 2 (хЯгг) =. (хЯ(зч)) -- ((2х)Яу) = 0 для зсвх х ч Е и у с Р. В связи с этим прнморолг ск. неже следствие предложения 6. 3) Заметим, что огображенне (х, у) †.- х Я у произведения ЕХР з Е я) Р вообще не ваоимно однозначно, поекольъу для х 4 0 имеем х Я 0=0 Я 0=-(); позтому ЕХР нельзя рассматрлзагь как часть ЕЯР. Резюмпруеч оснозные сзойстза тензорпого пропзнедения ЕЯР: С х о л и я.
Линейные отображения ЕЯР в произвольный А- модуль Л' связаны с билинейными (гтображенг(лми Е Х Р в Л(' следуюи(им взаимно однозначным. соопгветсгпвием: линейное отображение 1 мооуля ЕЯ Р в Л' определено, если известно его значение 1(хЯу) для каждой пара (х, у) бЕхР и отображение (х, у) — ь1(хЯу) бгг.гиггвйно.
Обратно, для определения линейного отобралсения 22' 24О гл.пк $1 полилннвннля АлгкВРА Ефр в ЛГ досгааточно задать отображение (х, у) — ьу(х, у) произведения Е Х Р в Л(, проверив его билинейность; тогда существует, и притом единственное, линейное отображение у модуля Е®Р в Лг такое, что ~(хну) = у (х, у) для всех (х, у) б Е Х Р. В частвости, неаачаа проверять, что ~~ (хаЗу;)=~~' (хьЗук) влечет 2 х(хм на) = 2а е(ха, уь); это есть следствие опредглеиия тев- Ъ л горного произведения и яредположеиаой билииейиости в.
Для дальнейших приложений (з 3) будет полезно вывести из предыдущего следующее правило определения билинейного отображения произведения 6, Х С, тензорных произведений 6 =Е фР иС,=ЕаЯРг в модуль Л'. достаточно задаться отображением у произведении Г„ХР, Х Е, х Р, в ЛГ такнзг, что каждое из часгичяых отображений(х„у ) — эу(хм у» х„у ) н (х, у )-+ — ь у(хм ум хг, у,) билинейно; тогда существует однозначно определенное билинейное отображение~ произведения С, х 6 в ЛГ такое, что тождественно~(х,фум хтКуа) = у(х„у„х„уа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
