Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 69
Текст из файла (страница 69)
[зТеорема о полноы четырехстороннике»; (Ад) свести к случаю, когда Л з — бесконечно удаленная прямая аффинной плоскости.) Каков соответствующий результат в случае тела К характеристики 2'. 8) Пусть Р к Р' — две различные прямые проентивиой плосяоств Р(у) над телом К, содержащим не менее трех элементов. Для того чтобы для л1обых трех различыых точек а, Ь, с прямой Л и любых ПРиложннин пг н глАВВ 1В ИРОВктинньги пРОстрлнстВА 331 трех различяых точен а', Ь', с' прямой 77' точки пересечения г, о, л ВРЯмых2таь, и.оьа 27ас, и Юс„., Рьс.
н)9сь. лежали иа оциой пРЯмой, необходимо и достаточно, чтобы К было коммутативно. («Теорема Панна»; свести к случаю, когда с) и г находятся иа бесконечно удаленной прямой аффиыиай плоскости.) Применить зту теорему к проектввному пространству прялсых пространства Р(Г) (упражнение бь 9) Пусть а, а, Ь, с, а', Ь', с' — семь различных точек проектнвной алоскоств над телом К, содержащим не менее трех элементов, причем а, л, Ь, с и г, а', Ь', с' — вроектпвные реперы, а нрямые 77,а, .(Г,ь, 17зс проходят соответственно через а', Ь', с'.
Показать, что точки пересечения г, р, д прямых Н„ь и 1т~ч „Вас и 77ыс н Рса и 77счк лежат нл одной прямой. (аТеорема Дезарга»; метод, аналогичный методу упражнения 8.) *10) Пусть Е=Р(!') н Е'.- Р(Г') — вроектнвные вростравства одянаковой конечной размерности л - 2 соответственно над телами й н К' и и — биектнвное отображение Е ыа Е', преобразующее любыс три точки, лежащие ыа одной прямой, в трн точки, лежащие на одной прямой. Показать, что существучот изоморфмзм о тела К ыа К' и биективыое полулиыейыое (относнтельыо о) отображенке о пространства ~ яа У' такие, что и есть отображение, порождаемое отобразкевием ~ прн факторизации. (Пспользовать упражнение 7 Приложения П.) Если г" = Г и К коммутативыо, то для того, чтобы и было проективпым отображением, необходимо и цостаточно, чтобы для каждой четверки (а, Ь, с, с() различных точек пространства 1'(Г), лежащих Г и (а) и (Ь] ~ Г а Ь 1 ыь одной врямой, выполнялось равенство [ 11) Пусть г' — векторное пространство конечной размерности л над телом К, (с,),, -,,— базис этого пространства, К' — подтело тела К и Р' — л-мерное векторное нространство над К, порожденыое элементами с,.
Дать пример иыъективного отображения Р' в У, преобразующего любые три точки, лежащие ыа одной прямой, в три точки, лежащие на одной прямой, но не обязательно преобразующего две параллельные прямые в лсножества, содержащиеся в двух параллельных прямых. )Погрузить У в канонически ассоциированное сннм проективное пространство Е н рассмотреть вроектввыое отображение и последнего на себя такое, что прообраз относительно и бесконечно удаленной гнперплоскости отличен от ыее и ые содеря<ит пи одной точки из Р', можно было бы, например, взять бесконечное К и конечное К'.) а12) Пусть Е =-. Р(1с) — проеаживная плоскость над телом К и и — биективпое отображениеЕпа себя, получающееся путем факторизации из некоторого биективного отображения л пространства 1 ыа себя, нолулинейного отыосительыо автоморфиама о тела К.
а) Показать равносильность следующих четырех свойств: а) каково бы ни было х б Е, х, и (х) и ицх) лежат на одной прямой; р) кеждал прямая ыа Е содержит точку, инварнаытную относительно и; у) через (2 ПРИЛОЖЕНИЕ П1 К ГЛАВЕ 11. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА каждую точку яз Е проходит прямая, инвариантная относительно ис Ь) какова бы ни была прямая В ла Е, 11рямые В, и(В) и ие(В) имеют общую точну.
[Доказать сначала равносильность о) и Т); выьеств отсюда по двойственности (упражнение 5) равносильность ]1) п Ь): наконец, показать, что у) влечет р), и вывести отсюда по двойственности, что 3) влечет Т).] б) Пусть и обладает свойствами, сформулированными в а). Показать, что если на Е имеется прямая В, содержащая лишь одну точку а. инварпантну1о относительно и, то и получается путем факторизецнн нз невоторого сдвига и пространства Р' (1 б, упражнение 7).
[Показать, что каждая прямая, инварнантная относительно и, проходят через а; рассматривая прям[ю, пе проходящую через а, показать, что сущоствует прямал Ве, проходящая через а и содержащая по крайней мере две точкн, ппварнанткые относительно и; заключить, что все точки лряыой В„необходимо нвварвантны относительно и.] в) Пусть и обладает свойствеми, сформулированными в а), и на Ь.
не сузцествует прямой, которая содержала бы только одну точку, инвариантную относительно и. Покааать, что если на Е имеется прямая В, содержащая лишь две точки, инварнантные относительно и, то и получается путем факторизации лз и~которого растяжения г пространства г' (1 6, упражнение 7).
[Показатто что если а н Ь вЂ” те две точка прямой В, которые инвариантны относительно и, то каждая прямая, инварнантная относительно и, проходит через а илн Ь; заметить далее, что существуют по крайней мере две другие точил г, а', отличные от а и Ь, ннвариантные отвосвтельно и, и, следовательно, что прямая В,е проходит через а или Ь; в заключение докааать, что все точки прямой й) „,, инварна1пны относительно и.] г) Пусть и обладает свойствами, сформулированными в а), и каж дая прямая на Е содержат по крайней мере три различные точки.
ннвариаптные относительно и; тогда в Е существует проективный репер о" (упражнение 3), каждая точка которого инвариантна относительно и; закл1очнть отсюда, что в У существует базис (е;)~,. такой, что и получается путев1 факторизацип из полулииейного отображения а пространства у на себя, для которого и(ез)=е; (1 ь 1 л 3). Множе ствол точек иа Е, инеариантньтх относительно и, является тогда проек. тнввая плоскость 1' (У,), где Ре — векторное пространство над телом К,.
инвариантов относительно о, порожденное злементамн е,, ее, ез. д) Пусть теперь и удовлетворяет условиям пунктов а) и г) и нв и. ни и' не есть тождественное отобрал<ение. Доказать существование у б К такого, что уаь= у и длл каждого с бК. [Воспользоваться условием а) пункта а) н суще ствованнем 3 б к, длн которого ь~ се ь.] и 1казать, что у=— приложение 111 к ГлАВВ н.
пгоектнВные пРОстРАнстВА 333 поскольку (1+у) с"у.=. у; (1-г у) (2) длн каждого $Р К с $о~$. (Применить (1), заменив $ па $е.] Заметив, что З=-т) — Ь, где 1)о чь 1) н (.е чь С, распространить (2) на все З б К, Заключить отсюДа, что У чь 1, и Далее вывести нз (1) и (2), что Ро=(1 . у) Г (1 .. у)- (3) для всех с б К и что у-') у ' принадлежит центру тела К. Обращенве. Привести пример, где у не принадлежит центру тела К, а у+у 1 принадлежит. ГЛЛВЛ 111 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Там, где не оговорено противное, все кольца оператпоров, рассматриваемые в этой главе (за исключением Приложений), предполагаются коммутативными и имеющими единицу, а все модули над этими кольцами — унитарными. Всякие дополнительные предположения явно отмечаются в своем .песте, а если они относятся ко всему параграфу — в его начало. $ 1.
Тензорные нроиоведения модулей л. Бтллмнемньее 4т/текцмм Опгвдклкпик 1. Пусть А — коммутативное кольцо с единицей и Е, Р, С вЂ” унитарные А-модули. Отображение/произведения Е Х Р в 6 называют билинейным, если для каждого уй с частичное опюбражение х — е/(х, у) естьлинейное отображение Е вС и для каждого хйЕ частичное отображение у — /(х, у) — линейное отображение Р в 6. Иными словами, / должно удовлетворять следующим тождествам: /(7', у, у )=/(х, у)+/(х, у), /(хтт', тг)=/(х, у)+/(з'. у), )' /(ат, у) =/(х, ау) =-а/(х, у) (2) для всех ачА, хиЕ, х'сЕ.
учУ'. 1)'ср. П р и м е р ы. Отображение (*, у) ху произведения А гсл в А билинейпо; то же верно в случае, когда Л вЂ” алгебра (гл. И, 1 7) яад А, для отображения (х, у) ° ху произведепия лхГ в л. каков бы ткнзогнык пгоизвсдкния модвлкн Зйб ви был унитарный А-модуль Р, (а, х) "- ах есть бвлввейвое отобра- жение Акр в Г. Из определения 1. в частности, вытекает, что>(О,у)=-~(х,О)=-0 для всех х б Е и у б Р. Если х= г $ьа>, у =- ~ цвЬ„, то (как устанавливается индукцией по числу ненулевых коэффициентов 1ю Чв) У (х, у) ==- ~ йЛвУ(ал, 6в).
> в В частности, если (а>) — базис модуля Е, (Ьв) — базис модуля Р, то для любого заданного семейства (с>„) элементов из 6 существует, и притом единственное. билинейное отображение ~ произведения ЕХР в 6 такое, что ~(аы Ь„)=сь„для каждой пары вндексов (Х, р). Ясно, что если ~ и д — билинейные отображения ЕхР в 6, то )+д п а) (ссбА) — тоже билинейные отображения Е >с Р в 6; иными словами, билинейные отображения Е хР в 6 образуют А-модуль; мы будем обозначать его Х(Е, Р; 6) или Х (Е; 6), если Р=Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
