Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 67
Текст из файла (страница 67)
11аждому предложению, относящемуся к векторпьы! Водпрострапстваи векторного пространства, отвечает пекотороо предложение, относящееся и проективпым линейным многообразиям. Например, если Р(Г) есть п-мерное проективное пространство и (с1)е.с1~„— базис пространства ), то каждое !.-мерное линейное многообразие Е С Р (Г) может быть определено системой и — г однородных линейных уравнений (1<-. !':- и — г), с е,а,! 1=0 связывающих однородные координаты с! (0<1< п) точки нз Р(У) относительно базиса (с,), где в левых частях уравнений стоят независимые линейные формы на У ($ 4, и* 6).
В частности, проективпаа гиперплоскость опредоляется одним однородным линейным уравнением, но все коэффициенты которого равны нулю. Обратно, точки пространства Р(Г), удовлетворяющие произвольной системе однородных линейных уравнений относительно координат $1, образу!от в нем некоторое линейное многообразие 1; если расс»атрнеаемая система состоит пз й = и-';1 уравнений, то Л будет размерности )п-й. Пересечение любого семейства л!шейных многообразий пространства Р(Г) есть его линейное многообоазие; для каждого множества А ь Р (У) существует паимепыпее содержащее его линейное многообразие Е,; оно называется линейным многообразием, поролсденньы1 мноэгсстсом А, а это множество — системой образу!Оиуих линейного многообразия с,; если И' — векторное — ! надпространство в Г, порожденное множеством и (А), то е=Р (И'). д! и.
Ет!Ваке 322 пРилО>кение и1 к ГлАВе и пРОнктнВные пРОстРАнстВА Если Ь и 37 — два произвольных линейных многообразия в Р(У) и >ч' — линейное многообразие, пора кденное их объедипением У.()Я, то (Ч 3, предло>кение 7) й ш А", + й ш М = йш (О П !1) + йш 1>' (2) в предполо>кении, что обе части этого соотношения определены. Из (2), в частности, следует, что если йшй+б!ш31>йшР(у), то 1,пй! не пусто.
Пусть (х,), (у,) — сев>ейства точек векторного пространства У, имеюшие одно и то жо множество индексов и такие, что у,=3чх„, >де )ч ~ О для каждого ы Если (х,) — свободное семейство, то это же верно для (у,), и обратно; в этом случае семейство точек я(х„) пространс~ва Р(У) пазь>вают проентивпо свободнь>м (или просто свободным). То же самое»ожпо выразить, сказав, что никакая точка и (х„) не принадлежит линейному многообразшо, порожденному точками я (х,) с индексами >Фи. семейство точек пространства Р(У), не являющееся проективно свооодным, называется просп>пивно зависимым (пли просто зависимым). Для того чтобы семейству (х,) точек Вз !г соответствовало проективпо свободное семейство (и (х,)), порождающее Р ( У), необходимо и достаточно, чтобы (х,) было базисом пространства $'.Значит, если Р(У) п-»ерно, то число элементов такого семейства равно и+ !.За»стим, что задание такого семейства (и (х )) в Р ( ! ) еще не Определяет (даже с точностью до левого множителя) однородных координат заданной точки пространства Р (У) относительно базиса (у,) в Р, для которого п(у„)=п(х,) при каждо» 1 (см.
и'' 2). 4. Пров>гпсъсвнг>е пополтеенме ГАЯу>инного проем>ргенепгво Пусть ! — (Левое) векторное пространство над тело>> К: рассмотрим векторное пространство К, Х >г над К; проектпвяоо пространство Р(К, х У) будет называться проективныы пространством, канонически асса>!иированнггм с векторным пространством !г. Если !' имеет конечную размерность и, то'Р(К, х !') имеет ту жо размерность и. Рассмотрим и К, Х 'г' афг)>инпую гиперплоскость у>=-(!) Х у. имеющую своей направляющей (Приложение 11, и' 3) (однородную) гиперплоскость Ув=(0) Х У; если (однородная) прямая из К, Х !' Ве содержится в Рю то ока ЛРиложение 111 к ГлАВе !1 ПРОектиВные пРОстРАнстВА 323 содержит точку (с<, х) с и ~ 0 и х б Г, а значит, точку а 1(а, х)= =(1, <т 'х) из Г,; обратное очевидно. Таким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками гиперпло<кости Г1 и (Однороднымп) прямыми произведения К, Х Г, нс содержащимися в Г„поскольку каждая пз этих прямых пересекает Г1 в одной и только одной точке.
Отсюда следует, что отображение х — ь <р (х) = и (1, х) есть (называемая канонической) ипъеь.- ция векторного пространства Г в просктивное пространств< Р (Х, х Г); Г часто отоя<дествляют с его образом при этой инъекцив Дополнением к <р(Г) в Р (К„Х Г) служит проектпвная гиперплоскость Р (Г ); ее называют бесконечно удаленной гиперплосеосп<ь« пространства Р (К, Х Г) (илп, допуская вольность речи, пр<- гтрзнства Г), а точки этой пшерплоскостн — «бесконечно удалепиымп точками> пространства Р (К«х Г) (нли Г).
Если (а„) — базис пространства Г и в К,Х Г выбран базис, образованный всеми элементами е,=(0, а,) и элементом е,,=(1,0), то бесконечно удаленные точки пространства Р(К, х Г) — это точки, однородны< координаты которых с индексом э< равны О. Пусть М вЂ” аффпнное линейное многообразие в Г (Приложение 11, и' 3) и П вЂ” его направляющая; канонический образ <р (Л1) многообразия Л7 в Р (К< х 1) содержится в каноническом Образе М=я(Л1«) векторного подпространства Л1«, порожденного з К, х Р его аффннным линейным многообразием М,=(1) хМ.
Полее точно, если (а<) — аффпнпо свободная система точек из М, порождающая ЛХ, то элементы (<. а,) Образуют базис подпростран<.тва М„и следовательно, Ы есть не что иное, как прогктивное линейное .чногооброэие, порожденное лзпожестгом <у (М); если М конечномерно, то М имеет ту же размерность, что и М. Дополнение к <р(М) в М есть пересечение многообразия М с бесконечно удаленной гиперплоскостью н равно каноническому образу и (М,) подпростракства М =(О) х В. Обратно, пусть Л' — проектпвное линейное многообразие, не одержащееся в бесконечно удаленной гнперплоскостп, и К=- — < = п(Л<); Л/) Г< есть аффинное линейное многообразие в К, Х Г Вида (1) Х ЛХ, где М вЂ” аффпнпое линейное многообразие в Г; .<егко вкдеть, что Х совпадает с аффннным линейным многообра:<нем М, пор<оклевнма< ппожествоч <р(М).
21' 384 пгиложвння «ы к гл«ве н, пгоективнык пгостглнстьз Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между аффинными линейными многообразиями из )г и проективными линейными многообразиязш из Р (К, х *г'), не содержащимися в бесконечно удаленной гиперплоскостп; для того чтобы два аффиных линейных многообразия из Г были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы порождаемые ими проектнвные линейные многообразия имели одно и то же пересечение с бесконечно удаленной гнперплоскостью (что иногда выражают, говоря, что рассматриваемые два аффипных линейных многообразии имеют один и те же бесконечно удаленные точки). 5.
Продолжение рациональных функ«1ий Применение результатов и' 4 и одномерному векторному пространству !г=-К, показывает, что существует его каноническое вложение «р в проективную прямую Р,(К)= — Р(К, Х К,); «р($) для каждого $Е К есть точка с однородными коордпнатамн (1, ~) относительно канонического базиса ($ 1, и' 8) произведения К, Х К„. Дополнение к ~р(К) в Р, (К) сводится к точке с однородными координатами (О, 1) относительно указанного базиса, называемой «бесконечно удаленной точкой». Р,(К) называется также провктивныл«телом, ассоциированным с К, и обозначается К, а его бесконечно удаленная точка обозначается со. 'Рассмотрим, в частности, случай поля К, п пусть Я К(Х)— рациональная дробь от одной неизвестной над К (гл.
!'»', з 4); / однозначным образом представляется в виде /=(ир)/а, где аЕК*. а р и а — взаимно простые унитарные полнномы (гл. Ъ'!1, 4 1); пусть т и и — их степени н, скажем, т- и. Положим р, (Т, Х)= =Т"р(Х/Т), а,(Т, Х)=Т"г/(Х/Т); р, и а,— однородные полпномы степени и над К такие, что р (Х) = р, (Х, 1), д (Х) = »/, (Х, 1). Для каждого элемента $б К, не являющегося нулем полинома д(Х).
/6)=с»р(«)/Ч(ь) определено, н мо кно написать /($) = — ар»(1, 5)/д, (1, $)=пр, (), )з)/а, (), Ц), каково бы ни было )»ФО из К. Рассмотрим тогда отображение (»!, ~) — » (д, (»!, ~), ар,(»), ~)) произведения К«в себя; это отображенпо согласуется с отношением эквивалентности Л(К') и, следовательно, порождает при пвиложвник лгг к главк и. пвокктнвнын пгостганства 325 факторизации отображение / проективного поля К в себя, совпадающее с с — «/(з) в тех точках, где эта рациональная функция определена; допуская вольность речи, / наэывалот каноническим продололсением / па К, Например, если /= — 1/Х, то /(О)=-со и /(ет)= О; если =.
(аХ-'~ Ь)/(«Х+В), где аг! — Ьечле, то /(- В/е) =: сс, /(со) =а/е, если е- О, и /(оэ) = со, если а=О. Дэп полинома /= а«Х" + ... +а„ степспк и «О имеем /(со)=со,е 6, Проетгтивнтяо отггопулолсетгиаг Пусть лг и Р' — левые векторнгзе пространства над телом Л. / — линейное отображение Р в Г н Л/=- / (О) — его ядро. Очевидно, прн этом отображении (однородная) прямая пространства ), не содержащаяся в Л', переходит в (однородную) прямую пространства Р'; поэтому при факторизации / порождает отображение я множества Р ()') — Р (Л') в Р (Г).
Это отображение Ф называется п)гоективгглгэл отображвниеэг (нлн проскгпивнмм линейным отображением); хотя оно определено на Р(Г) — Р(Лг). а не (при Л'~(0)) на всем Р(Р), допуская вольность речи, говорят, что я есть нроектнвное отображение Р ()/) в Р (Г). Проективпое линейное многообразие Р(Л/), на ьоторолг д не определено, называется центром отображения д. Залгетюн что в случае, когда е определено иа всем Р(Р) (т.
е. когда /т'=-(О)), Х есть иниеацпа Р(У) и Р(е"]. Если в )т п Г заданы соответственно базисы (ал)лес и (Ьп)пем, проектнвное отображение д пространства Р(Р) в Р(Г) относит точке из Р ($') с однородными координатами эл () б/ ) точку в Р(Г ). обладающую системой однородных координат Чп ((г б т)Х) вида слазя (ал„б К).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
