Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Показать, что Е есть прямая композиция четырех палей, изоморфны х Л . (Рассмотреть баанс алгебры Е, образованный элементами (1-(- е!) (1+в'!), где е в з' равны -,.1 илв — 1.) Л' есть групповая алгебра (относительно Л) произведения двух циклических групп второго порядка.
Обобщить на групповую алгебру произведения а циклических групп второго порядка. е8) Кватернионнаа зруила ь!(гл. 1, 16, упражнение 20) изоморфаа группе из восьми кватернионов +1, ~1, ~!', ~Л в алгебре кватернио. вов (относительно пары ( — 1, — 1)) над полем характеристики чь2. Покааать, что групповая алгебра Е группы ь! относительно поля Л' характеристики ее 2 есть прямая компоаиция четырех полей, иаоморфяых К, н алгебры кватернионов (относительно пары ( — 1 — !)) над Л' адгкнгы (Элементы группы ь.
можно записать в виде е, ц у, й, с, см с), сй, где с — элемент, соответствующий кватерниону — 1; рассмотреть 1 1 базис алгебры Е, образованный элементами —,(с+с), — (е — с), 2 ' 2 1 1 1, . 1 . 1, 1 — (е-(-с) П вЂ” (с — с) 0 — (с+с)1, — (е — с) ), — (с+с)'Й, —, (е — с) Й.) 2 ' '2 '2 '2 '2 '2 *9) Показать, что групповая алгебра Е диэдральзой гауссы Т, восьмого порядка (гл. 1, 4 6, упражнение 20) относительно поля К характеристики че2 есть прямая композиция четырех полей, изоморфных К, и алгебры всех матриц второго порядка над К.
(Элементы группы 'Ьз имеют вид а'Ь1 (О ~<1 ( 3, 0 с 1 ч 1), где а и Ь вЂ” образугощие этой группы, рассмотренные в упражнеяии 20 $ 6 главы 1: 1 рассмотреть базис алгебры Е, образованный элементами — (е,' аз), 2 1, 1, 1 — (е — а'), — (а+а*), —,(а — аз) и четырьмя элементами, полученными 2 ' 2 ' 2 из них умножением справа ва Ь; использовать упражнение 4.) Вывести отсюда, что если — 1 являетси в К квадратом, то групповые алгебры групп Й и 10е относительно К иаемерфнм. Покааать также, что групповая алгебра Е диэдральной группы ь, шестого порядка относительно поля К характеристики х:2 и ~ 3 есть прямая композиция двух полей, изоморфных К, и алгебры всех матриц второго порядка над К, (Рассмотреть здесь базис алгебры Г, образованный элементами е+а+лз, а Раз — 2е, а — аз и тремя элементами, полученными путем умножения их справа на Ь.) 10) Пусть С вЂ” группа, Н вЂ” ее нормальная подгруппа и а— двусторонний идеал групповой алгебры А101, порожденный элементами гз — з, где 1 прооегает Н и з пробегает С.
Показать, что групповая алгебра А10 Ы1 изоморфна факторалгебре А101(а. 11) Пусть Š— левый модуль над некоммутативным кольцом А; предположим, что на Ь' определено умножение, которое, вместе с законом адднтивной группы и внешним законом заданной в Е структуры модуля, определяет в Ь' структуру кольца с операторами, имеющую своей областью операторов А. Показать при этих условиях, что (аб) (ху) ==(ба) (ху), каковы бы ии были а б А, 6 б А, х б Е, у б Е. Вывести отсюда, чзо если каждый элемент модуля Е есть пропзведение двух элементов из Е (что всегда выполняется, если Е обладает единицей), то факторкольцо А!с, где а — аняулятор Е, ксмзсулгаглиело. '12) Пусть А — коммутативное кольцо с единицей 1 и 8 — мультипликативный моноид с единичным элементом е.
Предположим, что на А задан внешний закон (з, х) — х', имеющий Ю своей областью операторов и такой, что отображение х х' при каждом г б Я есть авжоморфвав кольца А и (х')'=х", каковы бы ки были з и г из Ь' (откуда следует, что с есть нейтральный оператор рассматриваемого .!Нмкйнлн \л!'!!ьрл Г;!. !1, ! у знеп)него закона). Прп этих условиях определим на А-модуле е!'~'. канонический базис которого мы обоаначим ((,), мультипликатна ный внутренний закон композиции соотношением (~ г'(:)(~ я.У)=~ ( ас, ~!у~)у.
° У о=. где а„! —. коэффициенты, принаддежащне Л. Г!оказатго что этот закон н сложение определяют з .4"! структур! кельна, если только коэффициенты и , удовлетворнют условиям ":, !а.С, н =а!, изз, » каковы бы нп были г, с, и нз .>'. Кслн при этом ио . = и, „.= ! для ка>к. лого а б Ь', то !'„есть единичный злеьн нт этой структуры; в этом слу чае А отождествнмо с подкольцом кольна Л'ь!, а Л' ' есть алгебра бе! над подкольцом С кольца Л, образованным элементами, пнварнантными относятелько всех автоморфизмов з †.
з--, эта алгебра называетгя крещенным ароизаедениеы кольца Л и мопояда 5' относительно систнемм (гекторов (а,,). Коли зту систему заменять системой факторов с,.с," — ам,), где с,, для как!доге гсо есть обратимый элемент нз.! с,! и с,=-1, то полученное так новое скрещенное проиэаеденне будет оэоморфно скреп!енному проиаведению, определяемому системой фаз торов (а,. !). Приняв, в частности, за Л квадратичное расширение кольца В, а;щ б — циклическую группу второго порядка (е, з), так, чтооы э'=г для каждого хЕА, показать, что каждое скрещенное произведение:! н Б есть алгебра кзатеркыоков над В (или алгебра с той же таблнпеи умножения, но в которой по крайней мере один из элементов а, р о() равен нулю). *13) Пусть Ь' — мультиплнкативнмй мопоид с единицей удовлетворяющий условию (0) и' 1О и такой, что в нем соотношение а!==с влечет г= !=с.
а) Показать, что для льобого элемента з Ео существует чпсзо ч (з), зависящее только от г, такое, что число л членов всякой конеч нойпоследовательностн(П)!, „элементов, отличнык от е, для которой !,1, ... 1„=-г, меньше ч (з). б) Вывести отсюда, что для того, чтобы элемент х= Ъ, а,з рзг. !пиренной моноидной а.чгебры моноида Б над кольцом А был обратнмым, необходимо и достаточно, чтобы аг был обратимым в Л. (Свестп к томУ слУчаю, когДа аз=1, и ноепольаоватьсн тожДесгном е — гн"'= =(е — х) (е+гтее - ., —, го) в расширенной л!онондной алгебре моноида 5 пад Л.) ПРИ:1П<КЕП11Е ! К ГЛАВК П НО<(УЛИНЕЙН(>)Е ОТОБРАЖЕНИ1! 1.
О>11>нде.тенин тео.>у;!мнит!не>л он>обре>з>гитгтгп Пусть А и  — игоморфные кольца (коммутативные или нет) и о — иго.есрфием А на В; образ элемента Х й А при отображении сбудем обозначать Х~. Отображение и А-модуля К в В-модуль р назмвается нолулинейным относительно изоморфизма и, если оно удовлетворяет тождествам и (х -<- у) = — и (х) + и (у), и (Хх)=3> и (х).
Чаще всего встреча>отея ва практике полулинейные отображения, относящиеся либо к случаю, когда В =- А (и, значит, о — ле>номорфигм кольца А), либо н случа<о, когда В есть кольцо А', нрстиеслелсмнсе А. Наиболее важны те случаи, где А — квадратичное расширение (! 7, п' 7) поля 7( (кооте<тственно алгебра еее>перниснсг (! 7, п' 8) вад К), а о — автоморфнзм (соответственно антнавтоморфизм) й —. $, В этих двух кчучаях подулинейное отображение нааывают также л >ииилинеиным. П р ц ы е р ы. 1) Если о — автоморфизм кольца А, то отображение, относящее каждому элементу (е;) модуля А,". элемент ($<), есть полулинейное относительно и отображение А" ,иа себя.
2) Коли кольцо А кекоммутатнвно, то, как мы видели, при а йА, не принадлежащем центру кольца А, гомотетия х — ах, вообще говоря. не является линейным отображением А-модуля К в себя Я 1, и' ! я ! 2, п' 5); но если а обратимо, то эта гомотетня есть лолулинеиксе стобразкение относительно внутреннего аетоморфизма т —. аса ' кольца А, нб>о а(7>х)=(аХа ')(ах).
Пусть Е, Р. à — модули относительно нзоморфных колец А, В, С и и— нолулинейное отображение В в Р относительно изоморфизма о кольца А 3()4 пгиложкник 1 и ГлАВБ 11. Лолулннкиные ОтОБРАжения ва В, а и — полулинейиое отображение Р в С относительно изоморфиама т кольца В на С; тогда композиция и и является полулинейным отображением Е в С относительно изоморфизма т о кольца А иа С. В.
линейное отображение, ассоциированное г помулинейным Пусть и — полулинейяое отображение А-модуля Е в В-модуль Р относительно изоморфизма о кольца А на В. Если и есть взаимно пдяопипчноп отображение Р не Р, то оно образует, вместе с изоморфизмом о, йппземоуфвал Е ва Р (гл. 1, $ 4, в' 1); допуская вольность речи, говорят, что и само есть биизоморфизм Е на Р относительно о. В Р' можно определить структуру А-мпдгля.
оставив прежний закон аддитивной группы и положив Ау = А~у для каждого Х б А и каждого у б Р (выполнение аксиом модуля очевидно); обозначим полученный так А-модуль череа Р„, Тождественное отображение к множества Р па себя есть биивоыерфпвм (относительно о) А-модуля Р на В-модуль Р; ясно, что образ каждого подмодуля М модуля Р при отобрав<евин ф есть подмодуль в Р, и обратно; кроме того, при факториаации ю порождает биизоморфизм фактормодуля Ро/М на фактормодуль Р~М.
Пусть теперь и — произвольное полулинейпое отображение Е в Р; оно однозначным образом представляется в виде и=1р и п, где п — апнпйнее отображение А-модуля Е в А-модуль Р . п называется линейным отображением, ассоциированным с полулинейвым отображением и. Благодаря этому разложению каждому свойству линейных отображений отвечает свойство полулинейвых отображений (отяоснтельно одного и того же изоморфизма о), полученное путем применения рассматриваемого свойства к ассоциированным с ними линейным отображениям; мы предоставляем читателю сформулировать ббльшую часть получающихся так предложений. 3. Ранг полуминейнозо отображения Пусть К и К' — изоморфиые тела и о — изоыорфиам К ва К', Рпнг полулинейного относительно о отображения и векторного пространства Е пад К в векторное пространство Р над К' есть, по определению, размерность подпространстза п(Е) пространства Р (если ага размерность конечна; в протвзвоы случае говорят,что и — бесконечного ранга).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
