Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 59
Текст из файла (страница 59)
[Использовать предложение 9.) 12) Пусть Х, Х', У, У' — квадратные матрицы и-го порядка над кольцом А с единицей, причем Х обратима. Для того чтобы существовали обратимые квадратные матрицы и-го порядка Р н >',> такие, что Х'=РХ»' и У' .—.РУС., необходимо и достаточно, чтобы Х' была обратима, а матрицы УХ ' и У'Х' г подобны.
5 7. Алгебры Все рассматриваемые в этом параграфе кольца операторов предполага>о>пся коммутативными и содержащими единицу. .7. Определение сслеебрьс Опгвдвлвпнв 1. Пусть А — коммутатнвяое кольцо с единицей е. Алгеброй (или гиперко.и>глексной системой) над А (плн относительно А) или также А-алгеброй называется всякое кольцо с оператора >и Е, внешний закон которого имеет множеством 283 Алгкпгы своих операторов кольцо А и вместе с заданным в Е слолсением определяет в Е структуру унитарного А-,кодуля *). Отсюда вытекает общая формула дистрибутивкостк (2' а,х,) ( ~);у,) = ~, (аЯ,)(х«»у,) (6) (а«6 А, Р ЕА, х«бЕ, у, ЕЕ). П р и м е р ы.
1) Каждое кольцо К с единицей мон«ет быть наделено структурой алгебры относительно любого подкольца А своего центра (с тем же единичным элементом, по и у Е), если за композицию оператора» б А и элемента х б Е принять произведение»х(=хз) этих элементов в кольце Е. 2) Струнтура кольца с операторами, определяемая з любом кольце Е внешним законом (и, х) - лх, где л В Х (гл. 1, т8, и'2), есть структура алгебры относительно кольца 22 '3) Пусть 1 — открытый интервал числовой прямой В.
Кольцо всех непрерывных числовых функций на 1 будет наделено структурой алгебры над полем В, если для каждой непрерывной числовой функции 1 на 1 и каждого вещественного числа Л понимать под Л1' функцию с — Л) («).. Структура кольца с операторами, противоположная заданной н алгебре Е над А, также есть структура алгебры кад А; ») В обычно употреблявшейся до сих пор терминологии «алгебрами» назывались исключительно алгебры над полем; зто действительно наиболее часто встречающиеся алгебры. Волн иа протяжении какой-нибудь главы нам прцдется рассматривать лишь алгебры этого рода, мы будем считать себя вправе придавать в этой главе слову «алгебра» всюду смысл «алгебра над полем», причем будем явно оговаривать зту вольность речи.
Другими словами, алгебра кад А есть кольцо Е, наделенное внешним законом (записываемым в виде левого умножении), имеющим А своей областью операторов и удовлетворяющим следующим тождествам: а (х -'- у) = ах+ ау, (() (ач ()) х= ах ( /Зх, (2) а (()х) =(ар) з., (3) ех = х. (й) а (ху) = (ах) у =- х ( ау) (б) (ар А, И А, хб Е, уб Е). 284 ГЛ. 1К $7 линкиная алгевгл наделенное этой структурой алгебры, Е называется алгеброй, противопо.ложпой заданной. Если внешний закон алгебры Е над А сузить на ггодкольпо В кольца А (пмеющее тот же единичный элемент, что н А), то этот закон (вместс с задапньпгн в Е сложением п умножением) определит в ынонсостве Е новую структуру алгебры, которую следует ° й~~отличать от структуры алгебры, имеющей своим кольцомоператоров А.
3 а и е ч а н и я. 1) Позже (в теории «алгебр Ди») нам придется рассматривать ачгебраическне структуры, определяемые в некотором множестве Е заданием двух виутрепвих законов и внешнего закона, ю«еющего множеством своих операторов коммутативное кольцо, прячем будут выполнены все аксиомы алгебр, за исключением ассвааативпвса»и умножения и Е; по аиалогии мвожество, каделекиое такой структурой, будет называться «кеассоциатизиой алгеброй». 2) Можно было бы попытаться обобщить определение 1, отбросив ограничение ввммуя»а»пи«настыв, наложенное иа кольцо операторов Л; но иэ условия (5) видно, что в наиболее важных случаях это обобщение было бы лвтиь кажущимся: действительио, аянуяяжвр а Л-модуля Е Я 1, и' 9) есть двусторонний идеал, факторкольцо по которому Л!а ввммутаживнв, а перейдя к точной структуре, ассоциированной со структурой Л-модуля в Е (1 1, и' 9), мы увидели бы, что получили в Е структуру алгебрм отиосительио Л са (см.
упражнение 11). Часто приходитси рассматривать в алгебре Е структуру левого (кли правого) мвд»увя отиосителъио ее ясввммутая«ивнагв водкольца В; ие следует думать, что Е есть алгебра над В (для элементов а б В соотношение (5), вообще говоря, ие будет выполняться). 2. Базтлеы алгебра« Таблтщы уулвножеввчввх Наиболее интересны те алгебры, которые, рассматрпваегаые как модули относительно их кольца операторов А, допускают базис относительно А (9 х,п' 6); это всегда имеет место для алгебр над полем (т 3, теорема «). Как вытекает нз формулы (6), в алгебре Е, имеющей базис относительно своего кольца операторов А, умножение вполне определено, если известны, с одной стороны, умножение в кольце А, а с другой — всевозможные попарные произведения элементов базиса.
Если (ах)хеь — базис в Е относительно А, то каждый элемент нз Е однозначно представляется в виде ~~ $хах, ъ 285 ллгвны поэтому, в частности, охав = Х ухвча„ ч (7) Это название происходит оттого, что в случае, когда множеством индексов базиса служит интервал [1, з) натурального ряда, соотношения (7) обычно записывают, располагая правые части этих соот- НОШЕНИЙ В ВИДЕ квадратной таблицы сз зз где подразумевается, что на пересечении строки элемента вц и столбца элемента а; стоит значение произведения а;а . Элементы ух„ч кольца А, фигурирующие в соотношениях (7), нс произвольны, ибо, каковы бы ни были индексы Х, [г, ч, должны выполннться соотношения ассоциативности (ага„) а = ах (а„аг); (8) н внание элементов ухач, фигурирующих в этих соотношениях, полностью определяет умножение в Е; говорят, что соотношения (7) образуют таблицу умножения рассматриваемого базиса (ах).
286 гл. ы, "эт ЛИНВННАЯ АЛРКБРА согласно (7), зтн соотношения равносильны соотношениям Х Ухвоуэ»о = 2э Ухо«у э э э (9) которые должны выполняться для любых индексов )», )с, т, а. Обратно, пусть заданы унитарный А-модуль Е, его базис (аь)хек и семейство (уь„«) элементов кольца А, удовлетворяющее соотношениям (9); тогда в Е можно определить умножение, дЛя ЛЮбЫХ Х=--~ ~$хаж у=~',т)заь ПОЛОЖИВ Ху= ~С $Ь)СВТЬВ«ат; ь ь л,ж» двоякая дистрнбутивность этого закона относительно заданного на Е сложения непосредственно очевидна, а условия (9) влекут его ассоциативность; следовательно, вместе со сложением он определяет в Е структуру кольца; наконец, ясно, что заданный на Е внешний закон в соединении с этой структурой кольца определяет в Е структуру алгебры относительно А.
Это— часто применяемый способ определения алгебры. Замэтвм, что элементы тгв зависят от выбранного базиса; прв взмэяэякп базиса таблица умножения, вообще говоря, меняет свой ввд. В главе 1И мы уточним способ преобразования коэффициентов тх пря переходе к новому базису, а именно покажем, что в случае, когда Е имеет конечный базис, ови являются компонентами один раз коятраварпаптного в дважды коварпаятяого т«нзор«(глава 1П, 1 3). Если Š— алгебра, определенная указанным образом, то взяв, при том же базисе (аь), таблицу умножения с коэффициентами Уь„, = — у„ь„ьсы опРеделим в Е пРолсивоноложнУсо стРУктУРУ.
В частности, для комэсулсалсивноети алгебры Е необходимо и достаточно, чтобы уь„,= у„ьт, каковы бы ни были )с, р, т. Другими словами, табжща умвожеякя алгебры, протпвоположяой Е (отвоснтэльяо того же баэяса), получается путом «отражэяпя» таблицы умяожэяяя алгебры Е в эе «дяагокаля»; коммутатяввая алгебра характеризуется тем, что ее таблица умяожепяя «скммэтрвчпв относительно своей дяагокалк».
Точно так же для того, чтобы элемент а„рассматриваемого базиса был единицей алгебрьс Е, необходимо и достаточно, чтобы а,аз= аьа„=ах, каково бы нн было Х, т. е. чтобы узхв=уэкв НРи Р ~ ), н У ~ь = Уьзь = е, каково бы ни было ).. 287 ллгввгы Алгебра Ь" относительно поля К является векторным пространством относительно К; его размерность относительно К ($ 3, определение 1) чаще всего называют рангом алгебры Е относительно К (или степенью Е относительно К, если Š— иоле); яапомиим, что этот ранг в случае его конечности обозначается (Е: К) (з 3, п' 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
