Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 54
Текст из файла (страница 54)
ы. з б 258 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА й 6. Матрицы х. Определентле мипзртлт») Опгкдвчение 1. Матрицей пад непустым,нножеством Е называется всякое семейство (ахи)<х,и)г»км элементов из Е, множеством индексов которого яв яется произведение двух конечных л»ножесп»в Е, М. Сел«ейстео (ахи)игм для каждого ) й Е называется строкой с индексол«). (нли )-й строкой) лсатрицы; семейство (ахи)ась для каждого )ьйМ называется столбцом с индексом р (или )«-м столбцом) матрицы. Наи»геновавкя «строка» и «столбец» происходят от того, что в случае, когда 1 и М вЂ” интервалы [(, т] и [(, и[ натурального ряда, элементы матрицы представляют размещенными по ячейкам прнмоуголькой таблицы, состонщей из т строк (расположенных горизонтально) и и столбцов (расположенных вертикально): аи аг " аг а«1 а»» ° . а«е Но условию, если т и л — лвио заданные целые числа, такая таблица действительно считается символам рассматриваемой матрицы; зта аапись освобождает от укааания индексов, поскольку подразумевается, что индексы злемента определяются его местом в таблице: напрючер, говоря о матрице (' ".
)) имеют з виду матрицу (а«;) ! з, в которой ам=а, а1»--. С, а,«=с, а»,=й, а,»=с, а»» — д Говоря о матрице нз т строк и а столбцов без указания множеств индексов строк и столбцов, подразумевают, что этими множествами служат соответственно интервалы [(, т[ и [1, л) натурального ряда. Каждая матрица, одно из множеств В, М индексов которой пустое, есть не что нное, как пустое семейство злементов множества Е; она называется также лустоа мвтрицсй. В случае, когда»'=(й») н М =()«») — множества, сводящиеся к одному элементу, матрицу, имеющую У. и М своими множествами индексов, часто отождествляют с единственным образующим ее злемевтом. Мы будем обычно обозначать матрицы прописными латинскими буквами. Подсемейство (ахк)<ц и>гн„к матрицы (агв)<х >гьклг, множеством индексов которого служит произведение ыножествгх«.
л,нХ~ М, МАТРИЦЫ называется подлотрицею рассматриваемой матрицы, полученною путем вычерлива>сия строк с ивдексамн Хб СН и столбцов с индексами ибСК; а про матрицу (аьл)он„>еьхм, обратно, говорят, что она получена путем олий.чления подматрицы (азн)а,л>енхи строкал>и с индексами Ай СН и столбцамп с индексами рбСК- Множество всех матриц над множеством Е, соответствующих заданным >щожествам индексов Е, М, совпадает с произведением ьхм Е . Если ю (соответственно >(>) — взаимно однозначное отображение множества Р (соответственно М) па множество Ь' (соответственно др), то отображение, относящее каждой матрице (азн )а, н >еыхм над Е матрицу (Дгн)а н>гьхм, где р>„=ара>,ж„>, есть взаимно однозначное отображение множества Е " всех ыхм.
матриц над Е, соответствующих множествам индексов Ь', М', на множество Е ' всех матриц пад Е, соответствующих множествам , ьхм индексов Л, М. 2. Матуицьс ыад >сольцом Наибольшую важность для математики имеют матрицы над кольцами с единицей. Множество Аьхм всех матриц над кольцом А с единицей, соответствующих заданным множествам индексов Ь, М, можно наделить структурой аддитивной грущгьц являющейся произведением структур аддитивной группы сомно- жителей А произведении А; ержзной матриц Х=-($А„)а „>гьхм и У =- (цзл)р„, н>еьхм бУдет тогда ыатРнца х+У = (5>н+>)га)рь н>еьхм.
Такам образам, сумма матриц Х, У определена, лишь если множества индексов строк н индексов столбцов у обеих матриц одни и ше же. Точно так же А ' можно наделить структурой левого (соответьхм ственно ириного) А-модуля, являющейся произведением соответствующих структур сомножителей; произведением оХ (соответственно Хр) оператора рбА и матрицы Х=($ьн) будет матрица (РЦА„) (соответственно (з>нй)). Если ц> (соответственное >(>) — взаимно однозначное отображение Е (соответственно М) на Ь' (соответственно М'), то взаимно однозначное отображение множества матриц А~ хм на множество 1?' гл. и, 1 6 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА матриц А "~м, определяемое отображениями гр и ф (и' 1), есть изоморфизм каждой из структур А-модуля первого из этих множеств на структуру того же рода второго.
Поэтому можно при желании ограничиться тем случаем, когда Х и М вЂ” интервалы [1,т'1 и [1, п1 натурального ряда. Предположим, что имеет место этот случай, и пусть е — единица кольца А. Пусть Ег, для каждой пары (л,у)бХ ХЛХ вЂ” матрица (алл), в которой ил„= О при (й, й) ~(г, )) и ам = е; при наделении множества Аахм одной из двух указанных структур модуля, тп матриц Ем образуют канонический базис этого модуля (з 1, и' 8).
3. Магпрыг1ьг гз лгснвйньсе опгобриэгсегсгел Пусть А — кольцо с единицей и Е, М вЂ” конечные множества индексов. Пусть, далее, К и Р— унитарные правые А-модули, допускающие соответственно базисы (ал)Ась н (Ьз)„ем, которые имеют своими множествами нндексоз Х и ЛХ. Как известно (з 2, следствие 2 предложения 3), линейное отображение и модуля Е в Р определяется заданием элементов ух=и(ил) бр, причем каждое семейство (ул)лес элементов из Р определяет линейное отображение и модУлЯ К в Р УсловиЯми и (ал) = Ух. ПУсть и(ал) = 2 Ьзазл, зеле коэффициенты азл вполне определяются заданием и и, обратно, определяют элементы и (ал), а вместе с нпыи и.
Обозначим матрицу (а„л)пе лмм„ь, отнесенную отображению и, через М(и; (ал), (Ь„)) (или, если можно не опасаться путаницы, просто через М(и)); мы будемказывать ее матриггей отображения и относительно базисов (ал) и (Ь„); таким образом, Х-й столбец атой матрицы образован компонентами а„ь элелгента и(ал) относительно базиса (Ьи) модуля Р. Очевидно, каковы бы ни были линейные отображения и и о модуля Е в Р, М(и+ о) = М(и)+ М(о). (1) Иными словами, отображение и — л М (и; (ал), (ЬР)) есть ивомор1бизм адднтивной группы Ж (Е, Р) линейных отображений Е в Р на аддитивную группу матриц (над А), имеющих ЛХ множеством индексов строк и Š— множеством индексов столбцов.
Если задана матрица М(и) =(сгзл) отображения и относительно базисов (ал) и (Ь„), то каждая компонента цз элемента и(а) 4 матрицы 261 относительно базиса (Ь„) выражается через компоненты $л влемента к относительно базиса (ал) формулой т)„= ~ арльл. (2) ле<- 3 а м е ч а н и е. В случае кольца А без единицы формула (2) все еще относит каждому элементу Дл) правого модуля А<' элемент (г)„) правого модуля Ал<, и определенное так отображение очевидно линейно; но в этом случае различные матрицы могут определять адно р жо рве ливевное отображение, и, с другой стороны, могут существовать линейные отображения А~~ в Ал<, которые нельзя получить таким способом; примером может служить при М=й тождественное отображение А" нэ себя.
4. Произведение двуувс зла трио, Пусть А — кольцо с единицей, Е, М, Ф вЂ” конечные множества индексов, Е, Р, 6 — унитарные правые А-модули, обладающие соответственно базисами (ал)лег (Ьр)рем (ст)ткн Пусть и — линейное отображение Е в Р, о — линейное отображение Е в 6.
Е1айдем матрицу отображения <в= сон модули Е в 6 относительно базисов (ал) и (с ), если известны матрицы М (и; (ал), (Ь„)) = (арл)<р, юемхь и М(о; (Ьр), (со))=(Ьтр)<жринхм. Имеем к< (ал) =- о (а (ал)) = а ( Х Ь„арл) = Х, а(Ьр) арл = рем вел< И 2 с,(),р) а„л) = ~~' с, ( ~ р,рарл). Позтол<у, если положить М(т; (ал) „(с,)) = (учл)<, лмнхл, для каждой пары индексов (т, Х) будем иметь утл= ~ ~,рарл. рем Опркдклкник 2.
Пусть Е, М, Ф вЂ” конечные в<ножвства индексов, А — кольцо и Х = (арл)«р л)емхь г = (рор) <г ринхм гл. и, )б 262 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА — матрицы над А. Произведением УХ матриц У и Х называвтсл матрица Я=(у~а)»ю Юеккь, элементы которой задаютсл сбормулой (3). Таким образом, при этом определении можно написать, что Лге(оаи; (аь), (ст))=М(п; (1»„), (ст))»1«г(и; (аь), (дп)) (4) или, проще, М(оси) =М(о) »т (и), (б) если можно не опасаться недоразумения. 3 а м е ч а я я е, Таким образом, произведение УХ определено, лишь если множества индекса« етаябцее матрацы У гаек«дает е мнажеетеем индекса« строк матрицы Х; в чвстяостк, прп Ь чв А» пронзведвяяе ХУ не имеет никакага еаыеяа. В формуле (3) фигурируют элементы одной и той же «треки матрицы У, умноженные справа па элементы одного я того же столбца матрицы Х: говорят, что произведеяпе У па Х получается путем «умножения строк па столбцыг. Кап»дое свойство, относящееся к сумме пли композиции чинейпых отображений, посредством формул (1) и (5) переводится в соответствующее свойство, относящееся и сумме или произведению матриц.
В частности, имеют место правила дистрибутив- ности и ассоциативности Х(У+2).=Х~ ВХ2, (6) (У+2) Х= УХ+УХ, (7) Х(Уг) =(ХУ) 2, (8) справедливые всякий раз, когда фигурирующие в них операции имеют смысл. Апалогпчвый перевод формулы (1) 1 «2, дающей композпцкю двух ляпвйяых отображений модулей, разложепвых в прямые суммы, приводит к пвтврвской формуле для вычисления проязведеппя двух матриц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
