Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В постоянном предположении, что (аь) — базис модуля Е, соотношение и (х) = уе равносильно, в прежних обозначениях, соотношению Х ььЬ =к (3) ьеь где Ьь=и(аь). Обратно, отыскание семейства (ьь)ьйь (в котором за= О для всех кроме конечного числа индексов )с), удовлетворяющего соотношению вида (9), равносильно разрешению линейного уравнения и(х)=ус, где неиавестная х= ~~ $ьаь принимает значения из Е = — А~ ), (аь) — канонический базис прямой суммы Е и и— линейное отображение Е в Е, определяемое соотношениями и(аь) = Ьь для всех Хб Е (з 2, следствие 2 предложения 3). 2) Решением системы линейных дифференциальных уравнений у;(х) — Ч~~ ~аг. (х) у.
(х)=за (х) (1п.1~(п) (10) на открытом интервале 1=)а, р[ вещественной прямой В, где а, и Ьв — определенные на 1 вещественные функции, нааывается конечная последовательность (ус)1, .„днфференцнруемых вещественных функцвй на 1, удовлетворяющих п соотношениям (10) длн каждого х б 1, Отыскание таках решений равносильно разрешевню одного линейного уравнения. Действительно, пусть Р— ыножсстзо всех отображений х — е- (в;(х)) интервала 1 в Кп и Š— подмножество этого множества, образованное теми отображениями, в которых функции ев (х) (1 ~< е ~~ и) 235 двонствкнность днфференцируемы на 1; Р есть векторное пространство над й, а Ь'— его псдпространстзо; функция Ь(х)=(Ьс(х)) есть злемент пространстзайй наконец, если для кансдой функции у=(ус) б Е положить и(и)=(у,' — 2 ас у,) ю с), то Н-ь и (у) будет линейным отображением К з Р.
А тогда разрешение дифференциальной системы (10) равносильно разрешению линейного уравнения и (у)=Ь. 3 ам е ч а н и е. Допуская вольность речи, задачу, разносильную разрешению линейного уравнения, часто назызают линейной задачей. Если и(х) = уз — заданное линейное уравнение, то уравнение и (х) ='О нааывают однородным линейным уравнением, ассоциированным с и(х) =-у, (и говорят также, что оно получается путем отбрасывания в уравнении и (х) = у, свободного члена). Аналогично систему (х,х',)=0 (сй1) называют однородной системой, ассоциированной с системой (7).
Пгкдложкник ьь. Если хз — решение линейного уравнения и (х) = уз, то множество всех решений стого уравнения совпадает с множеством глементов хз+х, где х, пробегает множество всех решений однородного уравнения, ассоциированного с и(х) =у . Действительно, соотношение и (х) =- у, записывается в виде и(х)=и(хз), т. е. и(х — хз)=0. Иными словами, если уравнение и (х) = у, имеет хотя бы одно решение х„то множеством всех решений этого уравнения слу-г -1 жит х,+и(0). Заметим, что и(0) является подмодулем модуля Е и, значит, не пусто, ибо во всяком случае содержит 0 (называемый нулевым или тривиальным решением однородного уравнения и(х)=0).
В силу предложения И, для того чтобы линейное уравнение и (х) = у имело не более одного ршаения, необходимо и достаточно, 1 чтобы и(0)=(0) (иными словами, чтобы ассоциированное однородное уравнение не имело нетривиальных решений); в атом случае линейное уравнение и(х)=у имеет не более одного решения при каждом у Р Р (или, что то же, и есть игоморфигм Е в Р), 1Л,Н 34 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 8. Линвйньев уравнения иа векторном пространетпве Мы ограничимся в дальнейшем изучением скалярных линейных систелл (7), где Š— векторное пространс пво над телом К (коммутативным или нет). Опгеделение 4. Система скалярных линейных уравнений (х, х')=л)с (лбу), (7) где неизвестная х принимает значения в векторном пространстве Е, называется системой конечного ранга, если подпространство сопряженного пространства Е*, порожденное семейством (х,'), конечномерно; его размерность называется рангом системы (7).
Система (7), не являющаяся системой конечного ранга, называется системой бесконечного ранга. Пгедложение 12. для того чтобы система скалярных линейных уравнений (7), где неизвестная х принимает значения из векторного пространства Е над телом К, имела конечный ранг г, необходимо и достаточно, чтобы линейное отображение х — л ((х, х,')) просгпранства Е в К, было отображением ранга г.
Обозначим линейное отображение х — + ((х, х;)) через и и надпространство сопряженного пространства Ез, порожденное семейством (х„), — через г". Подпространство г' пространства Е, ортого- -1 нальное к г", есть не что иное, как и (0); если у' г-мерно, то г' имеет в Е факторразмерность г, и обратно (теорема $,б)), а отсюда, в силу предложения 10 $3, и следует справедливость утверждения. 'леогеллл 2.
Пусть (х, х„) =л), (лб7) (7) — система скалярных линейных уравнений на векторном пространстве Е отпносительно тела К, имеющая конечный ранг г. Для того чтобы зта система имела по крайней мере одно решение, необходимо и достаточно, чтобы равенство ~х',о,=О (где (д,) — сеыейство скаляров, отличных от нуля лишь для конечного числа индексов) всегда влекло равенство ~ зьо, = О. Если х— 237 двоиствкнность каное-нибудь решение этой системы, то мнохсесп>во всех решений ил<ест вид хв+ Г, где У вЂ” подпространство у>анторраэмерности г пространства Е. Необходимость сформулированного условия существования решения системы (7) очевидна. Докажем, что оно достапючно. Среди форм х'„существует г форм х„'„(1< й<г), образующих базис подпростраиства У' в Ев, порожденного всеми х'„(з 3, теорема 2).
Таким образом, для каждого индекса <, отличного от всех индексов ью имеем х„'= ~~~~, х'„~д,, в силу условия, верно ь.= ! >ь т также >Ъ= 2 >1„„()ь „, следовательно, множество всех решений системы (7) совпадает с множеством всех решений частичной системы (х, х„'„) = т!, (1 < й < г).
(11) Но, согласно предло>кению 12, линейное отображение х ь ((х, х„' )) пространства Е в К" (обозначенное нами через и) есть отображение ранга г, иначе говоря, отображение на К"; зто показывает, что система (11) обладает по крайней мере одним решением х; согласно предложению 11, множеством всех решений слуя<ит -1 хв+ у, где К= и (0), причем у имеет факторразмериость г. Всякая система (7), состоящая иг конечного числа т уравнений, имеет конечный ранг г, причем г < т; точно так же, если Š— пространство конечной рагмернослш и (что соответствует случаю системы (8), содержащей лишь и неизвестных), то его сопряженное Е* п-мерно, а значит, с< и.
В частности: Слкдствик 1. Система скалярных линейных уравнений на век торном пространстве, образованная конечна>м числам уравнений, в левых частях нотаорых стоят линейно независимые у>ормы, всегда обладает решением. Слкдствик 2. для того чтобы однородная система линейных уравнений (8) относительно и неигвест>ывх (с коэффициентами из тела К) обладала нетривиальными решениями, необходимо и достаточно, чтобы ее ранг был < и. гл. ы, 14 лннкннья АлГВБРА В частности, так всегда будет, если всех уравнений системы— конечное число ( п.
Слвдствик 3. Для того чтобы линейная система (8) (с коэффициентами и свободными членами нз тела Е), состоящая ив и уравнений с и неизвестными, обладала одним и только одним реигенивм, необходимо и достаточно, чтобы ассоциированная с ней однородная сиспгвлга не имела нетривиальных рволсний (мли, что то же, чтобы левые части уравнений системы были линейно независимыми формами).
3 а м е ч а н к е. Критерий существовання решения системы (7), сфорыулпрованный в теореме 2, уже не является достаточным, когда это система бесконечною ранга; например, если х,' — координатные формы в бесконечномерномпространстве Л =Хи~ (в' 4), то крнторнй теоремы 2 выполвяетсн прн любых свободных членах, поскольку х,' линейно незавлснмы; но система (7) допускает решение только тогда„ когда все Чы за исключением конечного нх числа, равны нулю. Ц. Соггряженное .гииеииое отображение Пусть Е н Р— А-модули, Ек и Рк — сопряженные модули и и — линейное отображение Е в Р.
Для каждой линейной формы у'Р Рк композиция х' =у'о и есть линейная форма на Е. Опгвдвлкннв 5. Отображением 'и, сопряженнылг к линейному опюбражению и модуля Е в модуль Р, называют отображение у' — ~у' ь и сопрялсенного к Р модуля Рк в сопряженный к Е' модуль Е*. '().и) =) 'и для каждого Х, принадлежащего центру кольца А. (14) Таким образом, сопряженное отображение 'и определяется тождеством относительно х и у' (и(х), у')=(х, 'и(у')). (12) Отображение 'и линейно, нбо для всех у'сре, г'чР" и) ~А имеем (у'+г')ои= у'ьи+г'ои и (у'))ьи=(у'ьи) Л. Боли и и о — линейные отображения Е в Р, то !( + ) ! +! (13) 239 ДВОЙСТВЕННОСТЬ Пусть С вЂ” третий А-модуль, и — линейное отображение Е в Р и о — линейное отображение Р в 6; согласно (12), имеем, тождественно относительно хЕ Е и г'Е 6*, (о(и(х)), г') =(и(х), о(г')) =-(х, 'и( о(г ))), откуда '(О о и) = >и в 'О.
(15) В случае, когда Е и Р— унитарные А-модули, обладающие конечными базисами и, значит, ото>кдествимые каждый со своим вторым сопряженным (и' 4), тождество (12) показывает, что оп>ображение '('и), сопряженное к отображению 'и, совпадает с и и что каждое линейное отображение Р* в Е* является сопряженным к некоторому линейному отображению Е в Р. Пгедложение 13. Пусть и — линейное о>йображение модуля Е в модуль Р. Для того чтобы элемент у' Е Р* был ортогонален к подмодулю и (Е) модуля Р, необходимо и достаточно, чтобы 'и (у')=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
