Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Отсюда снова следует, что каждый ненулевой элемент векторного пространства свободный (т 1, п' 6). Пгвдложвнив 2. Если (а„) — свободное семейство элементов векторного пространства Е и Ь й Е не принадлежит надпространству, порожденному этим семейством, то лгнолсество, образован ное всеми а, и Ь, свободное. Действительно, рассуждение, проведенное при доказательстве предложения 1, показывает, что не может существовать соотношения вида )гЬ+ 2, Х„а,=О с )г~О; с другой стороны.
из сде- х СТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 213 ланного предположения следует, что если имеется такое соот. ношение с )<=О, то также все ) „= О. Пгкдложкник 3. Пусть Š— векторное пространство. Следующие три свойства множества ВС Е равносильны: а)  — базис пространства Е; б)  — максимальное свободное множество в Е; в)  — минимальная система образующих для Ь'. Покажем прежде всего, что а) влечет б) и в) в любом унитарном модуле Е, Действительно, если  — базис модуля Е, то каж.
дый элемент атого лщдуля есть линейная комбинация элементов нз В, так что никакое множество в Е, содержащее В и отличное от В, не является свободным. С другой стороны, если Я вЂ” часть В. отличная от В, и аЬ В не принадлежит Я, то а не принадлежит надпространству, порожденному множеством Я ($1, предложение 2), и, апачит, Я не служит снстемой образующих для Ь'. Покаясем далее, что в векторном пространстве Ь' в) влечет а): достаточно доказать, что минимальная система В образующих пространства Е является свободным множеством.
Но в противном случае, в силу предложения 1, существовало бы хр В, принадлежащее подиростравству, порожденному мпоясеством Я = = ВПС (х); тем самым Я служило бы системой образующих для Е, что противоречит предположению. Наконец, в векторном пространстве Е б) влечет а) в силт следующего более общего предложения: Пгкдложкпик 4. Если Ю вЂ” систел<а образующих ввкторнозо пространства Е, то каждое вв максимальное свободное подл<ножество есть базис этого пространства.
Действительно, пусть  — максимальное свободное иодмножм ство множества Я; если бы В не было системой образующих пространства Е, то Я пе содержалось бы в порожденном В подиространстве, так что существовало бы х б Я, не принадлежащее этому надпространству; но тогда, в силу предложения 2, ВЦ(х) было бы свободным подмножеством множества Я. что противоречит предположению.
Ткоркмл 1. Каждое векторное пространен<во обладает базисом. 2)4 гл. гг,1 3 ггггнкггггяя Алгывга Эта теорема содержится в следующей более точкоп: Творвыа 2. Для каждой системы Б образующих секторного пространства Е и каждого гго сеободггого подмножества Ь, содержащегося в Я, сущгстеугт базис В пространства Е такой, что ВС ВС Л. Действительно, множество П всех свободных подмножеств ынон<ества Я, упорядоченноо по включению, в силу предложения 3 т 1 есть множество конечного характера (Теор. мн., Рез., 1 6, и' И) н потому индуктиено (Теор. мп., Рез., з 6, и' 9); следовательно, то же верно н для множества И всех свободных подвгпожеств множества 8, содержащих Ь.
В силу теоремы Цорпа 4 обладает максилгальным элементом В, н В есть базис пространства Е в силу предложения 4. 3 а и е ч а и в е. В случае, когда Ю конечно, доказательство теоремы 2 опирается ляжь на то, что каждое множество подмножеств конечного множества обладает максимальным элементом, а этот разула тат не зависит от аксиомы выбора (Теор. мв., гл. П1). П р и м е р.
Каждое кольцо, содержащее тело К н имеющее едввицу тела К своей единицей, есть векторвое пространство над К и, значит, обладает базвсом относительно К (см. $ 7); в частности, асвкое кадаьваа тела К обладает бааисом относительно К. 'Поэтому 'я поле П вгщгглгвгнныв киева обладает (бесковечвым) базисом относительно лаая () разиаггапьяыс чисел; всякий базис 11 относительно г) называется завивая Хамваа., Слвдствпв 1. Каждое левое векторное пространстсо над телом К изоморфно векторному пространству вида К, ~.
Слвдствнв 2 («теорема о замепеь). Для каждой систгмьг 5 ° бразующих векторного пространспгва Е и каждого его свободного лодмножсства Л сущгсгпаует множество Я'С 8 такое, что ЛС)'Я' есть базис пространства Е и ЬПЯ'= И. Достаточно применить теорему 2 к свободному множеству В н системе образующих ЬС)'Я. Заметим, что зго следствие равносильно теореме 2, або примеае аие теоремы о занесен свободной системе Ь, содержащейся в Я, в свою очередь приводит к утнерждеяею теоремы 2. 215 СТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ А Конечномерные вентнорнтле нростпранешва Ткоркма 3.
Если векторное пространство Е над телом К обладает конечным базисом, состоящим из и элементов, то и калодый другой базис пространства Е состоит из и элс.кентов. Достаточно доказать, что если  — базис пространства Е, состоящий из и элементов, то всякий другой базис В' этого пространства содержит не более и элементов. Применим индукцию по и; при и=-О справедливость утверждения очевидна. Пусть абВ', существует множество СС 'В такое, что (аг!ЦС есть базис пространства Е н аб С (теорема о замене); так как  — базис пространства Е, то СФВ, так что С содержит не более и — 1 элементов. Пусть г' — порожденное им надпространство и !'— надпространство, порожденное множествоы' В () С (а); будучи оба дополнительными к подпространству Ка, г' и г" изоморфны (з 1, следствие предчоження 1).
Так как )г обладает базисом с числом элементов, не превосходящим и — 1, то В'(!С(а) содержит не более и — 1 элементов и, значит, В' — не более и элементов. Втой теореме можно дать другое доказательство, основывающееся на том, что каждое мокогокиоо векторное пространство над телом К есть лроскюа к-модуль (гл. 1, 1 6, определение 14), поскольку оно порождаетсн любым своим элементом сь О.
Векторное пространство Е пад К, обладаю!нее конечным базисом, нвляетсв тем самым аолупрооо!ым К-модулемо); поэтому то, что два конева!к базиса пространства К имеют одинаковое число элементов, непосредственно вытекает иэ теоремы Жордана — Гальдера (гл. 1, 1 6, теорема 8), а ее следствие покааывает, что К не может иметь бесконечного базиса. Можно было бы танисе установить связь теорем 1 и 2 этого параграфа с более общими предложениями, относящимися к произвольным группам с операторами (коммутатнввым или пет; см. гл. 1, 1 6, упражнение 18). Опгкдклкник 1. Говорят, что векторное пространсгпво Е над тазом К понечномерно, или имеет конечный ранг (или также имеет конечную размерность) относительно К, если оно обладает конечным базисом.
Число элементов любого его базиса назь!вается !когда размерностью или рангом пространства Е (плн также числом измерений Е) относительно К и обозначается (Е: К) или г)гю!, Е. *) Вм, сноску ва стр. К01. 216 Спс П,$3 ЛИННЙНАН АЛГВБРА В силу теоремы 3, векторное пространство над К, обладакь щее бесконечным базисом, не может быть нзоморфно конечномерному векторному пространству; такое пространство называют бесконечномерным (нли имеющим бесконечный ранг, или бесконечную размерность) относительно К.
Векторное надпространство т' векторного пространства Е над К, порождаемое конечным множеством М его элементов. конечномерно, нбо Р обладает базисом, содержащимся в М (теорема 2). Если М вЂ” любое (конечное пли бесконечное) множество элементов пространства Е и порожденное нм векторное пространство у конечномерно, то размерность т' называется рангом М относительно К; если же г' бесконечномерно, то говорят, что М— бесконечного ранга относительно К. Допуская вольность, всюду, где зто не может повлечь путаннпы, дополнение <относительно К» в приведенных выше выражениях мы опускаем н вместо Йшк Е пишем »ВшЕ. Э з м в ч з и и я.
1) Говоря, что векторное пространство нвд телом К имеет размерность г» и, желают сказать, что око имеет относительно К либо ковечную размерность >- п, лиоо бесконечную размерность. Это равносильно утверждеввю, что в Г существует свободная система, состоящая кз и элементов. 2) В сяучае, когда Е есть надтело тела К, термина <размеркосты н обозначения с))юн Ь' следует избегать„ябо это может повести к смешеяию с другим смыслом слова <размеркость» (см. главу У); чтобы взбежать всякой двусммслеяноств, лучюе говорить о ранге К относительно К.
!!рпводом некоторые следствия теоремы 3 к определения ! Слвдствив 1. Для того чтобы левое векторное простпранство над К было п-мерно, необходимо и достаточно, чтобы оно было изоморфно К,". Пространства К„"' и К", при т чь и нг изоморфны. Слвдствив 2. Каждая систелса образующих п-мерного векторного пространства Е содержит не менее и элементов; система образующих просспранства Е, состоящая иэ и элементов, является базисом этого пространсп»ва. Это — непосредственное следствие теорем 2 н 3.
217 СТРОКНИК ВККТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ Слкдствик 3. Каждое свободное множество в и-мерном векторном пространстве Е содержит не более п элементов; свободное множество, состоящее из и элементов, является базисом пространства Е. Действительно, согласно теореме 2, каждое свободное подмножество пространства Е содержится в некотором базисе этого пространства. 3 а м е ч а н и л.
1) Метод, на котором основано данное выщз первое доказательство теоремы 3, может, при надлежащем развитии, служить длн явного определения компонент элементов базиса В относительно базиса В', если явно заданы компоненты элементов базиса В' относительно В. Мы проведем ато вычнсленне з эквивалентной форме при рассмотрении теории матриц (см. 1 6, и' 10). 2) Теорема 3 справедлива не только для векторных пространств, во и длл некоторых видов модулей (см. 1 1, упражнения 16 н 17. и Приложение П к главе П1, и' 11). Однако можно указать примеры модулей, обладающих двуми конечными базисами, состоящими нз разного числа элементов (см.
упражнение 8). 3) Теорема 3 выражает, что два базиса одного н того же векторного пространства, один нз которых конечен, Равно.иоизнк; но в действительности зто свойство справедливо без всяких ограничений (см. 1 1, упражнение 24). В. Подгаросггзрогеспеоа «еымаоргсоео провггорагеапз«а Пгкдложкник 5. Каэкдое подпространство Р векторного пространства Е обладает в Е дополнением. Действительно, в силу теоремы 1, факторпространстпо Е7Р обладает базисом; а тогда утверждаемое свойство есть следствие предложения 4 3 1. 3 а и е ч а и и е. В случае, когда В/р обладает конечной систе мой образующих, этот результат не зависит от аксиомы вмбора (см. замечание после теоремы 2). Пекдложкник 6. Каждое подпространство е' векторного пространства Е конечной размерности п и.чеет размерность ( и; если его равме1ность=п, то оно совпадает с Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
