Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 42
Текст из файла (страница 42)
[Индукцией по «.] 11) Пусть А — кольцо с единицей, допускающее кольцо левых отношений. Показать, что в А-модуле Аг подмодуль, отличный от А, и [О), яе обладает дополнеянем. [См. гл. 1, 1 9, упражнение 9.) 12) Пусть А — — кольцо беа делителей нуля, содержащее единвцу. Показать, что есле каждый его левый идеал нвляется моногенным .4-модулем, то А допускает тело левых отношений. [Использовать приведенное выше упражнение 7 и упражненне 9 ! 9 главы 1.) *13) Пусть Š— А-ыодуль, являющейся прямой суммой оггконечного семейства (М,)Ш! своих подмодулей (не сводящихся к О). Показать, что каждая системами образующих модуля Е имеет мо>цвесть, не меньшую мощности множества 7.
[Пусть Б — система образующих модуля Е, Рк для каждого лба — конечное множество тех индексов > б 7, для которых >-я компонента х отлична от О, и Š— объединение множеств Рк, где к пробегает Б. Показать, что Р имеет мощность, не превосходя>цую мощности произведения о ХХ, а тем самым — мощности Ю, и что мощность 7> не может быть строго меньше мощности Е.) Вывести отсюда, что если Е есть прямая сумма каждого иа семейств (М„)цы (Д> ) своих мояогенных подмодулей, то 1 и К равно- мощны.
В частности, если Е обладает бесконечным базисом В, то каждый другой базис модуля Е равномоп>ен В. 14) Показать, что каждый уяитарный А-модуль, обладающий базисом с мяо>кеством индексов 1, равпомощея множеству АХ!, осли хотя бы одно пз множеств А, 1 бесконечно. [Воспользоваться тем, что мяожество всех кояечнь>х подмножеств бесконечного множества Р раввомощно Е.) *15) а) Говорят, что А-модуль удовлетворяет условию максимальности (соответственно мияимальностя), если множество всех его подмодулей удовлетворяет условию максимальности (соответственно минимальности; см, гл.
1, 1 6, упражнение 15). Показать, что ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА гл и, 5 1 произведение КХК А-модулей Е, Г, удовлетворяющих условию максимальности (миннмальности), также удовлетворяет этому условшо. [Пусть (Мь) — возраста>ощая (соответственно убыва>ощая) последовательность подмодулей модуля КХК; рассматривая их проекции на Е, Установить сУществование инДекса Р такого, что ДлЯ всех А иь Р имеет место равенство МА = Мг + (МА Д Г) (соответственно Ма=МА+(МР [) К), откуда следует, что МР/Мв изачорфно (МР [) Р))(МА, ) К)).) б) Вывести отсюда, что для того, чтобы А-модуль >1.
удовлетворил условию максимальности (соответственно минимальности), необходимо н достаточно, чтобы этому условию удовлетворяло А,. *16) а) Пусть А — кольцо с единицей такое, что А-модуль А. удовлетворяет условию максимальности (упражнение 15). Показать, что иаждая система образующих модули А," содержит по меньшек мере и элементов.
[В противном случае при некотором р(п существовали бы представление АР иа А, и, следовательно, эндоморфизм и п п п и модуля А, такой, что и (А,) =А, и и (О) ~(0); покааать, что это несовместимо с условием максимальности в А,.) п б) Пусть  — подкольцо кольца Л, имеющее тот же единнчяып элемент, что и А. Показать, что также каждая система образующих В-модуля В[ содержит по меныпей мере п элементов. [Показатьь что каяздая система образующих модуля В." С Л", есть также система образующих модуля Л>.) Вывести отсюда, что если унптарныи В-модуль К обладает конечным базисом, то всякий другой базис модуля К состоит нз такого >ке числа э.темептов.
17) Пусть А — кольцо с единицеи такое, что Л-модуль Ле удое. летворяет условию минимальности (упражнение 15). Покааать, что каждое свободное подмножество модуля А," содержит не более и эле ыентов, [В противном случае для некоторого р ) и существовал бы подмодуль модуля АР, изоморфный А"„но отличный от пего, что несовместимо с условием минимальности в ЛР (см. гл. 1, 5 6, упражнение 15). [ Вывести отсюда, что если унитарный А-модуль Е обладает конечным базисом, то всякий другой базис этого модуля состоит нз такого же числа влемеитов. "18) Пусть А — кольцо без делителей нуля, содержащее евя ницу. а) Показать, что если А допускает тело левых отношений А [гл.
1, [ 9, упражнение 8), Š— векторное пространство над К и МА-модуль, содеря>ащнйся в Е, то каждое множество в М, свободао> оп>посительие А, будет также свободным оп>иосип>е >ьпо К. б) Для того чтобы в А-модуле А", не содержалось свободного множества, име>ощего более и элементов, необходимо и достаточно, МОДУЛИ чтобы А допускало тело левых отношений.
[При доказательстве необходимости условия воспользоваться упражнением 9 4 9 гл. 1; при доказательстве достаточности использовать а), заметив, что Аз" С К,, и применить упражнение 1Т к К,.) 19) Унитарный А-модуль Е, обладающий рядом Жордана — Гельдера длины и (гл. 1, $ 6, и' 14), имеет систему образующих, состоящув из и элементов. [Заметить, что если М и /д — подмрдули модуля Е такие, что М 29 /д и М//Ч вЂ” простой модуль, то существует а б М такое, что М= Л/+Аа.] *20) Пусть М вЂ” простой модуль (гл.
1, $ 6, определение 14) относительно кольца А. Покачать. что либо аМ =(0) для каждого а й А и М состоит из конечного числа р элементов, где р — простое, либо М=А а для каждого а ч'= О, принадлежащего ЛХ. [Заметить, что Ах С М для каждого хйМ, и рассмотреть подмодуль модуля М, образованный теми х Х ЛХ, для которых Ах= (0).[ Во втором случае аннулятор а элемента а есть максимальный левый идеал кольца А и М ивоморфно А,/а. Обратно, если а — максимальный левый идеал кольца А, то А-модучь Ае/а — простой. 21) Пусть М и /д — два полупростых подмодуля е) модуля Е, имеющие соответственно длины т и и. Если пересечение М [1 /д имеет длину д, то сумма М+ Й есть полупростой модуль длины / такой, что р+ д-.=т+и. 22) Пусть Е -- вполне приводикый модуль (гл.
1, 4 6, упражнение 18). а ЛХ и Л/ — его подмодули с полупростылзи фактормодулями Е/М и Е//д, имезоп!ими соответственно длины т и и. Показать, что ЕЦМ е) /д) и Е/(М-'; Хд) — полупростые, а их длины д и р связаны с т и и соотношением р-;-д=т-[-и. 23) Вполне приводимый модуль (гл. !, 4 6, упражнение 18) называется адиерадиььи, если он янляется прямой суммой своих простых подмодулей, изоморфных одному и тому же ыодулю. Пусть Š— вполне приводимый модуль, являющияся прямой суммой семейства (М„)ИП своих простых подыодулей; тогда каждый его простой подмодуль иаоморфен одному кз М, /гл.
1, 4 6, упражнение 18б); сумма С, есех простых подмодулей модули Ь, иаоморфных М„называется для каждого е й / мй однародзюй келеиаиеитай! модуля Е. Показать, что Е есть прямая сумма семейства всех своих различных однородных компонент, а ф— сумма всех М, изоморфныч М,. *24) а) Пусть Н вЂ” едиеродиый вполне приводимый А-модуль (упражнение 23). являющийся прямой суммой семейства (М„), г *) Модуль М называется простым, если он не сводится к (0) и не обладает подмодулями, отличными от М и[0). Модуль М называется здесь полу- простым модулем длины и, если он является прямой суммой некоторого конечного семейства (М;)з < ч < и своих простых подмодулей (общее определение полупростого модуля см.
в гл. УП1, 1 3).— Перев. г!, з!,;,'2 ЕО2 лнннйнлн А!Ганга своих попарно изоморфных простых подмодулей. Если Е есть также прямая сумма зторого семейства (зу ) я своих простых подмодулей, то зсе они изоморфны подчодулям ЛХ„а К ранномощно 1. (Ограничиться случаем бесконечного 1; согласно упражнению 20, рассмотреть дза случая соотеетстненно тому, будет ли АЕ=(0) нли нет; в первом случае рассматривать Г, как зполне приводимый Х-модул!6 затем применить и обоих случаях упражнение 13.) б) Пусть Š— произвольный вполне принодимый А-модуль. Если Š— прямая сумма каждого из двух семейств (31„)огг и (Д! ) слоях простых подмодулей, то существует такое нзаимно однозначное отображение зо множества 1 на К, что зУ и нзоморфно М, для каждого !.
(С помощью упражнения 23 свести к а).) 25) Пусть Е и à — изоморфные полупростые модули, в' — подмодуль модуля Е и И' — подмодуль модуля Г; если Р и И' изоморфны, то также Е!И и Г)И' изоморфны. Показать на примере, что соответстаующий результат для вполне приводимых модулей бесконечной длины неверен. *26) Пусть Е -- А-иодуль, каждый подмодуль которого обладает дополнением. а) Показать, что и все подмодули Г модуля Е обладают этим снойстзом, т.
е. каждый подчодуль в Г обладает дополнением отяосительно Г. б) Показать, что каждый подмодуль модуля Е обладает простим подмодулем. (Используя упражнение 1, свести к случаю унитарного А-модуля Е; затем, используя а), упражнение 20 и теорему Круля (гл. 1, 1 8, теорема 2), доказать, что каждый моногенный подмодуль модуля Е содержит простой подмодуль.) в) Показать, что Е есть сумма сноих простых подмодулей и, следовательно (гл. 1, 1 6, упражнение 18), вполне приво«имо. (Рассмотреть подмодуль модуля Е', янляющнйся суммой всех простых подмодулей этого модуля.) й 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
