Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 39
Текст из файла (страница 39)
3) Пусть С вЂ” аддитнвно обозначаемая коммутативная группа и й — ее колько ондоморфиэмоо (гл 1, $ 8, н' 1; напомним, что произведением ф энде>>орфизл>ов 1 н у служит, по определени>о зндоморфиэи (ъд); ВНЕжпий ЗаКОИ КОМПОЗИЦИИ (й Х) - ((Х) ОПЕратОрОВ 1б Е и элементов х В С определлет в С структуру левого модуля относительно кольца 4) Пуст>, С, кзк всегда, — аддитнвная группа н А -- любое кольцо.
Положив ах = О длн каждого п В А н каждого х В С, мы определим в С структуру левого А-модули. 'э. Унтвтарна>е эчодуми. 'Ве>гт>вернь>е проем>ране>пва Опеедьленик 2. А-модуль Е называется унитарным, если кольцо А обладает едина>(вй е, являюп(вйся одновременно нвйтральныл> оператором внешнего закона (пнымп слонами. если ех = х для каждого хб Е).
В унитарном модуле Е для каждого целого п р Х и каждого хрЕ имеем пх=(пе)х. Если а — обратимый элемент кольца А, то гомотетия х —. ах есть автоморфизм структуры коммутативной группы Е (оез операторов), пбо у=ах влечет х=а '(ах)=а 'у. Встречаю>пиеса в алгебре модули в большинстве своем унитарны. Если кольцо А обладает единицей, то А-модули А> н А > унитарны; модули, определенные в примерах 2 н 3 и' 1, унитарны.
гл. и, $1 184 ЛИЦЕИНАЯ АЛГЕБРА Наиболее важны унитарные модули, кольцом операторов которых служит тело: Опгеделенне 3. Левым (соответственно привым) векторным пространством, над телом К называют унитарный левый (соответственно правый) К-модуль. Элементы векторного пространства часто называют векторами; элементы тела операторов именуются тогда скалярами. Допуская вольность речи, эту терминологию переносят иногда на произвольные модули. П р и и е р ы.
1) Тело есть одновременно левов и правое векторное пространство откосательио л|обого своего водтела. '2) Трехмерноо числовое пространство К' классической аяалвтаческой геометрии есть векторное пространство относительно поля В вещественных чисел, если за произведение ис числа 1 и точки х с коордакатани х„х„х, принята точка с координатами гх„гхз, ьхз, Точно так же множество всех числовых функций, определенных ва произвольном фиксированном множестве Р, есть векторное пространство относительно К, если за произведение 1/ вещественного числа с и такой функции ) принята числовая фуикция х -- сЯх)., Согласно предыдущему, в векторном пространстве Е над телом К каждая гомотетня х — ьах, соответствующая элементу и Ф 0 из К, есть автоморфизм структуры коммутативной группы (без операторов) Е.
З. Подмодули и уэамзпормодули Пусти Š— модуль; если М вЂ” его устойчивая подгруппа (гл. ), $ 6, и' 10), то, очевидно, структура, индуцированная в М гл. ), т 4, и'2) структурой модуля Е, является структурой модуля; множество М, наделенное этой структурой, называется подмодулем модуля Е. Тем самым подмодули обладают всеми свойствамн устойчивых подгрупп. В частности, сумма М+ Х н пересечение М()Л'любых двух подмодулей М и Х модуля Е снова являются его подмодулями. Кслн Š— унитарный модуль, то и все его подмодулн унитарны. В частности, каждый подмодуль векторного пространства Е есть векторное пространство; его называют векторным подпростринством (нлп просто подпространством, если нет опасности смешения) векторного пространства Е.
185 модули П р и и е р ы. $) Множество, сводящееся к О, явлнется подмодулем любого модуля Е (нулевой подмодуль). 2) Пусть А — кольцо. Подмодулн модуляА, (соответственноА„)— зто не что иное, как левые (соответственно зравие) идеалы кольца А. 3)"Пусть Š— А-модуль, хбЕ и а — левый идеал кольца А. Множество всех злемевтов ах, где а пробегает а, образует в Е подмодуль, обозвачаемый ах, 4) Каждая подгруппа адднтиввой группы С, рассматриваемом кзк модуль относительно Х (с законом (и, х) зх), образует в С подмодуль. '5) Пусть 1 — открытый интервал числовой прямой Ра множество С всех числовых функций, определенных и непрерывных ва 1, есть подпространство векторного пространства всех числовых функций на 1.
Аналогично ыножество Ю всех дифференвируаимх функций на 1 есть подпространство пространства С., 3 а м е ч а н и е. Пусть Š— А-модуль и  — подкольцокольцаА. Каждый подмодуль А-модуля Е есть также подмодуль В-модуля Е, но обратное неверно: например, если А — тело и  — его подтело, то надпространство В, векторного пространства А, (относвтельво тела В) при ВеьА не будет векторным пространством относительно тела А.
Пусть Š— модуль. Каждое отношение эквивалентности, согласуюп(ееся (гл. 1, з 4, и' 3) со структурой модуля Е, имеет вид л — у б М, где М вЂ” устойчивая подгруппа группы с операторами Е (гл. 1, й 6, и' И), т. е. подмодуль модуля Е. При этом, как непосредственно проверяется (см. гл. 1, $ 5), структура группы с операторамн Е/М (гл. 1, 5 6, и' 11) есть структура модуля; наделенное этой структурой, Е/М называется фактормодулем модуля Е по подмодулю М. Каждый фактормодуль Е/М унитарного А-модули Е унитарен, ибо единица е кольца А, оставляя инвариантным каждый элемент из Е, тем более оставляет инзариантным каждый класс по модулю М. В частности, каждый фактормодуль векторного пространства Е есть векторное пространство; оно называется векторнььи факторпространством (или просто факторпространством) векторного пространства Е.
П р и м е р. Каждый левый идеал а кольца А определяет фактор- модуль Ав/а А-модуля А,; атот фактормодуль часто для краткости обозначают А/а; во когда а — двусторонний идеал, ве следует смешивать структуру фавтврзвльиа в А/а (гл. К ьй 8, и' 5) с его структурой левого модуля относительно кольца А. !86 ЛИНЕЙНАЯ АЛГВБРА гл. и, т ! 4. '11тэоноведеннв зеодулей..Пзэнман сулима коночного селейсмзоа подмодцлей. Доыолнытельные подмодгХлы Пусть (Е1)мт — семейство модулей над одним и тем же кольцом А. Как легко видеть, произведение структур модулей, заданных в множествах Е„(гл. 1, т 4, п' 5), есть структура А-модуля в множестве Е = Ц Е„. Наделенное этой структурой, Е назы6ьз вается произведением модулей Е„; таким образом, если х=(х„), у= (у,) — элементы этого модуля, то х+у= (х, -'у„) н ах= = (ах,) для каждого элемента а 6 А.
Все свойства произведений групп с операторамп, установленные в з 6 главы (, относятся и к произведениям модулей. В част- кости, если ЛХ„для каждого е 6 Х вЂ” подмодуль модуля Е„, то множество М=[1ЛХ,~Е есть подмодуль модуля Е, изоморфный ийт произведению м одул ей ЛХ, . В сл и М, = Е„ дл я каждого индекса из некоторого 1 С Х и ЛХ, = ( 0) дл я всех индексов е б С1, то и одмодуль Ез = [ [ М„ и одул я Е и з ом орфен про язв едению Ез = [ [ Е, ~ге мэ модутей Е, с ~ 61.
В случае, когда1 сводится и одному индексу к, подмодуль Е) обозначается также Е„' и называется компонентой с индексом н (или к-й компонентой) модуля Е; он изоморфеи модулю Е„и чаще всего отождествляется с ннм. Если все модули Е, унитарны, то унитарно п их произведение, В частности, произведение семейства векторных пространств над одним и тем же телом К есть векторное пространство над К. Важным примером произведения модулей является произведение, все сомножнтели Е, которого совпадают с модулем А,; е это произведение обозначается А, плп просто А, если моя1по не опасаться смешения; его элементами являются всевозможные отобриэсения 1 в А.
Произведен«о Е конечноео семейства (Е,)ып<„модулей есть прямая сумма (гл. (, $ 6, и" 6) подмодулшокомпонент Е,' (! .<:< и); обратно, если модуль Е есть прямая сумма конечного семейства (М;)~сия, своих подмодулей, то отображение, относящео зломенту « (х1)~я;я«пз [[ Ме сумму ~ х,, есть(называемый каноническим) !<%ми ~=! ивоморфизл~ [[ ЛХ; на Е (гл, !, э 6, «редлозкея«е. 6).
ы!~<в 187 модули о Опгкдклкник 4. )7одмодули М„М, модуля Е называются дополнительными, а каждый из них — дополнением другого, если Е есть прямая ~у~~а М, и М . Для того чтобы ЛХ, и М, были дополнительными, необходимо и достаточно, чтобы Е=ЛХ,+М, и М,ПЛХ =(О) (гл. 1, з 6, предложение 7). В произвольиом модуле Ю пе всяквй подмодуль обладает дополвеивем (см.
упражнения 11 н 26). Пгкдложкник 1. Если М, и М, — дополнительньее подмодули модуля Е, то отпображение, относяи)ее каждому хбМз его класс (пюд М,), есть изоморфизм Мз на Е!Мы Действительно, это отображение, будучи сужением на ЛХз канонического отображения Е на Е(Мы есть представление М, в Е)ЛХ,; оно отображает ЛХе на Е/ЛХд, поскольку каждый элемент из Е сравним (глод ЛХ) с пекоторыч элементом из Мз; наконец, оно взаимно однозначно, поскольку М,()Мт= (О). Иаоморфизмг определенный в предложении 1, и обратный ему изоыорфизы называются каноническими. Слкдствик. Если М, и Мз — подмодули, дополнительные к одному и тому же подмодулю М„то отношение х = хз (гасе) М,) междУ элементами хт Р Мз и хз б.)Хз Устанавливает взаимно однозначное соответствие между Мт и Мз. Это соответствие и два составляющих его взаимно обратных изоморфизма называются каноническими.
3 а м е ч а и и я. 1) Прв (каноиическом) отождествлении Р с с М, Х Мт изоморфизм, определяемый в предложении 1, преврюцается в каноппческий лзоморфизм М, на (Л|,хМе)/М, (гл. 1, 1 6, по 5), По злой причине канонический взоморфиэы Мо па М, взвывают также ороекеэироеонием Мо но М ооролоелъно Лг, (при указанном отождествленин это действительно сужение па Ме проектирования Ь" на Лте).
2) Определение 4, предложение 1 в его следствие справедливы для любых коммутзтизпых трупп с операторама. о, .Хинеыные ыоембынацыи Пусть ! — произвольное множество индексов н (эе),ы— семейство элементов А-модуля (нлн, более общим образом, коммутативной группы с операторами) Е такое, что множество У 188 гл. и, 11 линкйнля Алгивга тех индексов ь, для которых х, Ф О, конечно; условимся обозначать через ч~~ х, и называть суммой семейства (х,)сег сумму ~ х,; мг сел если х,=О для всех сбХ, то У= 8 и, следовательно (гл. 1, т 2, определение 2), ~~" х,=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
