Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В последу!о«цих главах (главы П, П1 н ЧП1) мы вернемся также к истории развитии линейкой алгебры и гиперко»шлексных систем, которое в кон- *) Основные теории, раавитые в течение этого периода, замечательно изложены в относящемся н нему труде Ганкеля (Х1), где абстрактное понятие закона композиции осмыслено и изложено с совершенной отчетливостью. вв) Мы сознательно оставляем здесь в стороне все относнщеесяв этот период к эволюции алгебраической геометрии и тесно связанной с ней теории инвариантов; ати две теории развивались на базе своих собствеяных методов, ориентированных на анализ не в меньшей мере, чем на алгебру, и лишь в недавнее время нашли свое место в обширном здании современной алгебры. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК це Х1Х и начале ХХ веков идет, без введения яовых алгебранческнх понятий, по пути, проложеяному Гамильтоном н Кэлн, в Англии (Сильвестр, В.
Клиффорд) и Америке (Б. я К. Пирс, Диксон, Велдербарн) и совсем неаависимо от англосаксов, яа базе довольно отличающихся методов, в Германии (Вейерштрасс, Дедекинд, Фробениус, Молин *)) и Франции (Лагерр, Э. Картая). Что касается теория групп, то вначале она развивалась главным образом в виде теории конечных групп подстановок, вслед за публикацией сочинений Галуа и распространением его идей трудами Серре (ХП) н, особенно, большим «Трактатом о подстановках» К. Жордаяа (Х «'). Этот последний подытожил,в значительно усовершенствованном виде, работы своих предшествеяников по специальным свойствам групп подстановок (транзнтивности, примитивности и т. д.) и получил результаты, в большинстве своем яе превзойденяые а дальнейшем; вместе с тем он подверг углубленному исследованйю весьма важные специальные группы — линейные группы и нх подгруппы (см.
глазы П и 1Х), причем именяо им было введено фундаментальное понятие представления одной группы на другую, а также (несколько позже) понятие факторг руины, и оп доказал часть теоремы, известной под названием «теоремы Жордана — Гельдера» *"). Наконец, к Жордану восходят я первое исследование бес«ене«ямз групп (Хт'!), которое несколькимм годами позже было значительно развито в двух различных направлениях, с одной стороны, С. Ли, а с другой — Ф. Клеяном и А. Пуанкаре. Тем временем Кали ((Х), т.
П, стр. 123 и 131) дал з 1854 г. определение «абстрактных» групп и, одновременно, однородных пространств, правда, а форме, корректной лишь для конечных групп. Однако даже исследования по конечнмм абстрактным группам в течение долгого времени восвринвмались как относящнеся к группам подстановок, и лишь к 1880 г. началось сознательное развитие автономной теории конечных групп. Мы не будем прослеживать дальнейшего развития этой теории, затрагиваемой в этом трактате лишь весьма поверхностно; читателя, желающего углубиться в рассматриваемые ею вопросы н поставленные в ней многочисленные трудные задачи, мы отошлем к современным монографиям Бэрнсайда (ХЧП), Шпайзера (ХУП1) и Цасенхауза (Х1Х). Здесь нет уже места говорить о чрезвычайном успехе, который скопца Х1Х века приобрела идея группы (а также тесно связанная с пей идея иявариакжа) в анализе, геометрии, механике и теоретической физике.
Аналогичным вгорженсем этого понятия и родственных еку алгебраических понятий (групп с операторами, колец, идеалов, модулей) в те разделы алгебры, которые до того яазались довольно далекимя от естественной области его приме- *) Ф. Э. Молин жнл з работал в Россяк и СССР.— Пер««. **) Жордап установил лишь ияварнантность (с точностью до расположения) порядков факторгрупп «ряда Жордаяа — Гельдера» конечной группы; незаззсямость жс (с точностью до расположения) самих фактор- групп от рассматриваемого ряда показал О.
Гсльдер. 12 н. вгроакв 178 РгСТОРИЧЕСКИИ ОЧЕРК ГЛ. ! явности, как раз я отмечен последяий период излагаемой здесь эволюция, приведший к сннтезу прослеженных выше трех тенденций. Это объединение есть главным образом дело новой немецкой школы: начатан Дедекипдом я Гильбертом в последяие годы Х! Х века работа по аксиоматизации алгебры была мощно продолжена 3. Штейницем и далее, с 1920 г., под влиянием Э.
Артина,— Э. Нетер н азгсбраястами ее пп<олы (Хассе, Круль, О. Шрейер. Ван-дер-Варден), Книга Ван-дер-Вардена (ХХ), опубликованная в 1930 г., впервые объединила зги работы в обобщающем изложении, открыв путь и сделавшись путеводителем для многих исследований по абстрактной алгебре в зги последние годы. БИБЛИОГРАФИЯ (Н) (11 Ыв) (111) (Н! Ь!в) (1Ч) (Ч) (Ч1) (Ч11) (Ч ГН) (1Х ) (Х) (Х1) (Х1!) (Хи!) (Х!Ч! О.
)«! е и 6 е Ь а и е г, Чог1авип8еп йЪег Сеяс1ПсЫе «)ег апМЬеп Ма!Ьеша(й, т. 1; Чогдг!есЫясЬе Ма!ЬешвгПЬ ВегПп (Ярппбег), !934. [О. Н е й г е б а у е р, Лекции по истории античных матема- тических наук, т. 1: Догреческая математика, М.— Л., ОНТН, !937.) ЕисПгПя Е1ешеп!а, 5 тт., изд. !. Ь. Не1Ьег6, ЬЛРМае (ТеиЬпег), !883 — !888. [Начала Евклида, 3 тт., Гостехиадат, М.— Л., !948 — 50.) Т. Ь.
Н е а 1Ь, ТЬе !Ыггееп ЬооЬв о1 ЕисПд'в Е)ел!ел!я..., 3 тт., СашЬг)«)6е, 1908. ГЛорЬапМ А1ехап«)г!Ы Ореха Ошп!а..., 2 тт., изд. Р. Таппегу, [ЛР- в!ае (ТеиЬпег), 1893 — 1895. ГЛорЬап!е «)'А1гхап«)г!е. перев. Р. Чгг ЕегЬе, ВгиЯез (Огас!ее-«)е Вгои«чет, 1926. С. 1Ч. Ь е 1 Ь п ! х, МаеЬегпа!МгЛе ЯсЬг1йеп, изд, С. !. СегЬап)Ь т. Ч, НаПе (ЯсЬшЫЦ, !858. С. Р. С а и я в, )ЧегЬе, т. ! (Сбпп«8еп, !870), т. 11 (тая«же, !863) и Ч11! (там же, !900). А. Ь. С а и с Ь у, Ош«чгеь соп«р!Мея (2), т. 1, Рапя (Саи!Ыег- Ч!Пася), ! 905, )«7. Н. А Ь е 1, Оеичгев, 2 тт., изд. Яу1очг и !Ле, СЬг!я!!ап!а, !88!. Е.
С а 1 о ! я, Оеичгея п«а!!нерпа!!«)иев, Рапи (Саи!Ь!ег-Ч1Пагв), 1897. [Э в а р и с т Г а л у а, Сочииеиия, М.— Л., ОНТН, !936.) Ж. В. Н а ш ! 1 1 о п. 1.ес!иген оп !)иа!ггп«опе, ОиЫ!п, !853. А. С а у1е у, СоПес!е«) ша!!«ешв!!са!рарегя тт.! и Н, СашЬг!«)Яе (Ьп!четв!!у Ргевв), !889. Н, Н а п !«е 1, Чог!евипигп 0Ьег «Пе гоп«р!ехсп ХаЫеп ип«) «Ьге риис!!опг«ь 1. ТеП: ТЬгог«е «!гг гошр!ехгп ХаЬ!епвув!гше, Ье!рг!8 (Човв). !867. 1, А. Я е г г е !.
Сонгя«1'.Мдг1«ге во ргпеигг„д-е иод., Рать (Саи!Ыег- Ч«Пагя), !866. В. П е «) е 1: ! п «! ип«) П, чу «!«г «. ТЬгог!е дж а18еЬгьмсЬеп РипЬ1!опеп е«пег Чегапйег!МЬеп, .!. «!е СгеПг. т, ХС1! (!882), стр. !8!. й. 1) е 0 е 1«! и «Ь Сеяапппг!!г ожПпп«е!Вгбг В«егде, 3 тт, Вгаи««ят!««чг!и (1 нъгд), 1932. С..! о г «! г и. Тгви««!ге и!«!!!««!! «««в г! «!гг «««!«««!!соя е18««Ьг!«)««ея, Регм (!!еоП««ггд «!!в«ч). !870. 180 БИБЛИОГРАФИ и ГЛ ! <ХУ!! С. 1 о г !! а п, Мешо<ге вш 1ев Ятопрвв де шоптешепгв, Апп: д! МаС.
(2), т. П (1868), стр. 167. <ХЧП) ЧЧ. В п г и в ! й е, ТЬеогу о1 Ягопрв о1 Вийе огдег, 2-е иад., СашЬг!69е, 19П. <ХУП1) А. Я р е ! в е г, ТЬеог!е йег Сгпрреп топ епййсЬег Огдппп8, 3-е изд., ВеМт (Ярг<п9ег), 1937. <Х1Х) Н, 2 а в в е п Ь а и в, 1 еЬгЬпсЬ бег Сгпрреп<Ьеог<е, т. 1, Ье!рв<8— Вег1!п (ТепЬпег), 1937. <ХХ) В. Ь. тап !)ег ЪЧ а е г !) е п„МО!<егпе А19еЬга, 2-е нвд., т. 1, Вег- 1!п (Ярг!п8ег), 1937,' т. П (там же), 1940. (Б.
Л. Ван-двр-В а р д е н, Современная алгебра, ч. 1, М.— Л., Гостехивдат,1947; ч. П (там же). 1947. ) ГЛАВА П ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА В этой главе, если только не оговорено противное, никаких специальных предположений о рассматриваемых кольцах операторов не делается: они могут быть коммутативны или нет, иметь или не иметь единицу, содержать или нет делители нуля. 5 1, Модули Эта глава посвящена в основном изучению спецпальногг вида коммутативных групп с операторами (гл. 1, з 6, п' 9), а именно модулей. Некоторые свойства модулей, сформулированные в первых двух параграфах, справедливы (как и их доказательства) для всех коммутативных групп с операторами, что з соответствующих местах отмечается. Впрочем, как будет показано в и' 9 $7, изучение любой коммутативной группы с операторами всегда может быть сведено к изучению надлежащим образом ассоциированного с ней модуля.
1. Определезсззе модул,етз Опгвдклвнив 1. Левым модулем относительно заданного кольца А (или левым модулем над А, или также левым А-модулем) называют множество Ь', наделенное алгебраической структурой. определяемой заданием: 1' коммутативного группового закона на В (с аддитивной записью); 2' всюду определенного внешнего закона композиции (и, х)- — >аТх, имеющего своей областью операторов кольцо А и удовлетворяющего следующим аксиомам: 182 :гинеинхя лг!Гевкл гл. и, 1 ( (Мг) аТ(х+ у) =-(аТх)+ (аТу), каковы бьг ни были ай А, хр Е, убЕ; (Мп)(а+())Тх=-(аТх)+ (()Тх), каковы бы ни были ар А', ~гб А, хрЕ; Мпг)аТ(РТх) =(ар)Тх, каковы бы ни были ай А, ()р А, хрЕ, Аксиома (М ) означает, что внешний заков А-модуля диетриеу.
кгивен относительно заданного ва Е сложения; тем самым модуль всегда являетси коммутативиой группой с операторами. Если в определении 1 вместо аксиомы (Мггг) выполннется аксиома (Мгп) аТ(рТх) = (ра)Тх, каковы бы ни были аб А, р6 А, хб Е. то Е, наделенное определяемой так алгебраической структурой, называют правым модулем относительно А, илн правым модулем над А, или также правым А-модулем. Для внешнего закона композиции левого (соответственно правого) модули чаще всего используют лгультипликативное обозначение, записывая оператор слева (соответственно справа); условие (Мпг) записывается тогда в виде а(рх)=(ар) х, а услови< (Мггг) — в виде (х()) а= х(ра).
Каждый правьгй модуль над кольцом Л есть левый модуль пад кольцом Аь, противоположным А (гл, 1, з 8, и' 1). Это показывает, что при изложении свойств модулей можно систематически ограничиваться рассмотрением либо левых, либо правых модулей; за исключением з 6 (где в целях удобства обозначения рассматриваются правые модули), мы будем вести пзложенпе применительно к левым модулям и, говоря (просто) модуль, всегда будем подразумевать левый модуль с мультипликативно записываемым внешним законом, Ешггг кольцо А коммутативно, понятия правого и левого модулей относительно А совпадают.
Отображения х — ах модуля Е в себя называются его еомотегггил.гги. (гл. 1, $ 6, п' 9); в силу (М,) онн являются зндоморфизмами структуры коммутативной группы Е (без операторов), но, вообще, не зндоморфнзмами структуры модуля Е (гл. (, 1 6, и' 12). Для !83 мод>ли каждого ар А имеем иО=О; в силу (Мп) также Ох=О для каждого х й Е; из этих двух тождеств нытекает, что а ( - - х) = ( — а) х = = — (ах), каконы бы нп были аб Л и хб Е.
Если в множестве Е задана структура модуля относ>ггельно кольца А и  — любое подколь>(о этого кольца, то заданный на Е коммутативный групповой закон и сужение внешнего закона на В (гл. 1, у 3) определяют в Е структуру модуля относшпвльно В. П р н и е р ы. 1) Кольцо есть одновременно левый и правый модуль относительно самого себя, а значит, также относительно любого своего подкольца. Рассматривая кольцо А как левый (соответственио правый) А-модуль, мы будем, во избежание вснкой путаницы, обозначать его Аэ (соответственно Ав). 2) Структура группы с операторами, определнемая в (аддитивно обозначаемой) коммутативной группе С внешним законом (п,х) — ъ кх (гл. 1, 1 б, и' 9), есть структура модуля относительно кольца 7, рациональных целых чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
