Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Можно также сказать, что сумма с ЕЕ семейства (х,)сег есть общее значение сумм ~ х, для всех конеч- сЕН ных множеств УХС 1 таких, что х„=О при с б СН; в случае конечного У это вновь дает понятие суммы конечного семейства (определенное в главе )). Разумеется, символ ~ х„не имеет смысла для семейства (з„)„ю ъег в котором х„4= 0 для бесконечного множества нндексов ь (во всякав случае, покуда я не наделено топологической структурой; см. Общ. тон., гл. 111„4 4).
Всюду в этой главе, гдэ нспользуется укаЛ~нноэ обозначевне, подразумевается, если только ве оговорено протнвное, что з,=О для всех кроме конечного числа индексов ь Очевидно, имеют место формулы Х(х.+у) =Хх.+1 у. сег сег сег ~~' ах, и,"~ х, (аб А). (2) сег сег Опгкдвлкник 5. Говорят, что элемент х А-модуля Е есть линейн я комбинация семейства (а,)кг элементов ив Е с коэффициентами иэ А, если существует семейство (Х,)сег элементов ив А такое, что Х,=О для всех кроме конечного числа индексов с и х= ~~" Х,а,. Каждое семейство ()ч),еш обладающее этим свойсег ством, называется семейством коэффициентов линейной комбшсации х (относительно семейства (а,)).
Вообще говори, существуют раэличньсе семейства коэффициентов, удовлетворяющие соотношению х= ~ )ча„(см. и' 6). с Эзьсетнн, что (в силу соглашения, принятого в и' 1 4 2 главы 1 О есть линейная конбнввцвв пустого семейства элементов вз Е. 189 модули Пккдложкник 2. Подмодуль унитарного А-модуля Е, порожденный (гл. 1, т 6, и' 10) семейством (а,)мг элементов из Е, совпадает с множеством всевозможных линейных комбинаций семейства (а,). Действительно, каждый подмодуль модуля Е, содержащий все а„содержит также все их линейные комбинации; обратно, из формул (1) и (2) вытекает, что множество М всех линейных комбинаций элементов а, есть подмодуль модуля Е; так как прн этом а,=за„где е — единица кольца А, то М содержит все а, я, следовательно, есть наименьший содержащий их подмодуль модуля Е.
Опгкдклкник 6. Моногенным модулем называется модуль, порожденный одним элементом. Предложение 2 показывает, что если Š— унитарный монотонный А-модуль и а — любой порождающяй его элемент, то Е совпадает с множеством Аа всех элементов Ха, где е, пробегает А. П р им е р ы. 1) Каждая моногснная группа, будучи коммутзтнэной, является моногенным Х-модулем. 2) Кслн А — коммутатнзное кольцо с единицей, то моногенные подмодулн А-модуля А †э не что кноэ, как еааенме идеалы (гл. 1, 1 8, пе с) кольца А.
6. Свободньсе свмвйстнва. Базисы Опгкдклкник 7. Семейство (а,)оы элементов А-модуля Е называется свободным, если отношение,» )ча,=О (где )а=О для еег всех кроме конечного числа индексов ь) влечет Х, =0 для всех с. Семейство (а ), не являющееся свободным, называется зависимым. Любые два элемента свободного семейства (а,) в унптаряом А-модуле Е, имеющие различные индексы, сами различны; действительно, из аа=аю где ачь)), вытекало бы ~~',Х„а,=О, где Х„= з, Хз = — е (е — единица кольца А) н )ч = 0 для всех остальных индексов. Я С Е называется свободным множеством (нли свободной системой), если семейство, определяемое 190 гл.
и, 5! ЛННКИНАЯ АЛГЕБРА тождественным отображением Я на себя, свободное (причем в этол~ случае и каждое семейство, определяемое взаиыно однозначным отображением какого-нибудь множества индексов на Я, свободное). Элементы свободного подмножества модуля Е называют также линейно независимыми. Множество в Е, не являющееся свободным, называют зависимым (или зависимой системой), а его элементы — линейно зависимыми. Пгедложкнпк 3. Для того чтобы семейство (а„)кг элементов модуля Е было свободным, необходима и достаточно, чтобы калсдое его конечное подсемейство было свободным. Доказательство непосредственно вытекает из определения 7 н определения суммы бесконечного семейства элементов из Е.
Каждое подмножество свободного множества свободное. В частности, пустое подмножество А-модуля Š— свободное; каждое подмножество свободного множества, сводящееся к одному элементу, свободное. Элемент хР Е называется свободным, если (х) есть свободное множество, т. е. если ах= О влечет а=О. 3 а м е ч э и к я. () В векторвом пространстве Е каждый злемевт э ф. О свободный, поскольку кз аз=к прв а чь О следует э=а 'В.
2) 1Лз предложения 3 вытекает, что множество всех свободных яодмвожеств А-модуля Ю, упорядочеяяоэ по вкаючеяию, индуюваснэ (Теор. мк., Рез., $ 6, и' 9); будучи вепустым, опо, в силу теоремы Цорва, обладает максимальным злемевтом (а,). Отсюда следует, что для каждого э бур в кольце А существуют элемент р еь О и семейство элемеитов (Х,) таких, что рх= ~ з„а, (см.
Ь 3). В силу определения 7, никакой элемент а„ свободного семейства (а,) в унитарном А-модуле не является линейной комбинацией элементов а„с индексами чь к. Но, обратно, семейство (а,), удовлетворяющее этому условию, не обязательно является свободным (см., однако, т 3, п' 1). Например, пусть А — кольцо целостности с единицей я а, Ь— его ненулевые элементы; в А, рассматрвваемом вак А-модуль, а в Ь образуют зависимую систему, ибо ( — Ь) а+аЬ=О.
Но, вообще говоря, яе существует элемента эбА, для которого бы Ь=.ха илв а=эЬ. Если  — подкольцо кольца А, то семейство, свободное в А-модуле Е, будет свободным также в структуре Вгхюдуля, 191 МОДУЛИ полученной путем сужения кольца операторов до В; обратное же, вообще говоря, неверно (см. $ 5). Во избежание недоразуьгепнй, семейство, свободное з структуре А-модуля (соответственно В-модуля), называется свободны.м относительно А (соответственно относительно В). Опгвдвлинив 8.
Базисом унитарнозо модуля Е называется всякое свободное семейство элементов из Е, порождающее Е. Унитарный модуль Е, обладающий базисом, называется свободным. Допуская вольность речи, множество всех элементов базиса унитарного модули Е мы также называем базисом этого модуля.
Каждое свободное семейство элементов унитарного модуля Е есть базис порожденного этим семейством подмодуля; в частности, пустое семейство элементов нз Е есть базис подмодуля (О). 3 а м е ч а н и я. 1) Унитарный модуль не обязательно обладает базисок. Например, мы видели вовне, что в кольце целостности А с единицей, рассматриваемом как А-модуль, ве существует свободных множеств, содержащих более одного элемента; поэтому кееловкмй идеал в А ве может иметь базиса; а нвже нам встретятся кольца целостности, обладающие неславаымк идеалами.
2) Свободный модуль может содержать элементы ~ О, не являющиеся свободными. Например, если А — кольцо с единицей, то А-модуль А, свободный, во (правые) делители нуля кольца А не являются в А, свободными алементамн. Пусть (ах)ьеь — базис унитарного А-модуля Е. Согласно предложению 2, каждое хб Е есть линейная комбинация элементов ах. х = ~ $ьаь; при этом ~ь однозначно определены, нбо хеь соотношение ~~', $ьах = ), Цао может быть переписано в виде ь 5' (йь — $ь) аь =.- О, откуда ох = хх для каждого )м поскольку 'ь (аь) - свободное семейство; сь называют компонентой (нли, допуская вольность речи, координатой) с индексом Х (илн й-й нолспонентой) элемента х относительно базиса (ах). В частности, если Š— моноееккый унитарный А-модуль и о— элемент, образующий его базис, то каждое х ьн единственным образом записывается и нодо х=-:оо; й называют иногда откомекиа» 192 линвинля АлгвБРА гл.
и, 1 ~ вектора л к вектору а; если прн этом кольцо А аоммутатиено, то иногда отнопьекке х=1а, допуская вольность, аапнсывают в энде 1= —. в Пгкдложвиив 4. Пусть фактормодуль Е(Ма унитарного модуля Е по его подмодулю М, обладает базисом (а,)мг. Каковы бы ни были элементы а, классов а, (шоб Мь), семейство (а,)ит является свободным и порождает подмодуль Ма, дополнительный к Мг. Действительно, по предположению, отношение ~ )ча, = О 1 влечет )ч=О для всех ь; так как оно равносильно отношению Л,')ча,б М„то мы видим, с одной стоРоны, что (а,) есть свобод- В ное семейство и, с другой стороны, что порожденный им подмодуль М, обладает свойством М,ПЛХ,=(О). Наконец, так как каждый элемент из Е(Мь есть линейная комбинация классев а,. то каждое х р Е сравнимо (шоб ЛХа) с некоторой линейной комбинацией элементов а„а это показывает, что Е=М,+М . Слвдствив.
Ясли фактормодуль Е!М свободный, то М, обладает в Е дополнением. У. Сумма те примам сумма любого еемеайстаа таодмодулей Пгкдложвнив 5. П"одмодуль, порожденный объединением семейства (ЛХ,)мг подмодулей модуля Е, совпадает с множеством сумм ~~' х„где (х,)мг пробегаепь множество всех тпех семейств мг элементов из Е, в которых х, =О для всех кроме конечного числа индексов ь и х,б М, для каждого ь б Х. Действительно, каждый подмодуль модуля Е, содержащий объединение Ц ЛХ„содержит и все эти суммы, а, с другой стоит роны, из формул (1) и (2) следует, что множество, образованное этими суммами, есть подмодуль' модуля Е.
Если Х конечно, то подмодуль, порожденный объединением подмодулей М„есть не что иное, как их сумма ~М„(гл. 1, мг $1). Распространяя это, вводим следующее определение: 193 подь ли Опгкдклвник 9. Суммой ~~~ ~М„произвольного семейства (М,)„е! ьег подмодулей модуля Е называется подмодульь порожденный объединением этого семейства. 3 а м е ч а н н е. Предложение 5 может рассматриваться как обобщение предложения 2: действительно, зто последнее сразу вытекает из предложения 5 и того факта, что подмодуль унктарвого А- модуля, порожденный злемевтом а, есть множество Аа всех Ха, где Х пробегает А. Опгкдклкннк 10. Сумма семейства (М„),е! подмодулсй модуля Е пааывается прямой, если каждый элемент втой суммы единственным образом записывается в виде ~~' х, (где х,бМ, для каждого ! ьЕГ к х,=О для всех кроме конечного числа индексов).
Определение 10 обобщает определение прямой суммы, уже данное в и'6 т 6 главы 1 для случая конечного Х. Оно означает, что отношение ~' х,= ~ у„где х„6ЛХ, и у,бМ, для каждого ь, ьег ьЕг влечет х, = у„для всех ! или также (в силу (1) и того, что М,— подмодули) что отношение ~', г,=О, где г,бМ» для каждого ьег влечет г,=О для всех !. Этому условию можно придать также следующий вид: Пгкдложкник 6. Для того чтобы сумма семейства (М„)„е! ьюдмодулей модуля Е бьь»а прямой, необходимо и достаточно, чтобы пересечение М„с суммой тех ЛХ„индексы ! которых ~ к, для каждого к 6 Х сводилось к О. Необходимость условия очевидна; достаточность его вытекает нз того, что отношение ~~", г„=О может быть для каждого ирХ ьег записано в виде г„= ~ ( — г,) и потому влечет г„=О. !Фа Если Š— прямая сумма семейства (М,) своих подмодулей, то каждому хб Е отвечает однозначно определенное семейство (х,) такое, что х„бЛХ, для каждого ь и х=~~' х,; элемент х„, соответствующий ь, называется для каждого ! компонентой х в подмодуле ЛХ„; полагая х, = й, (х), имеем следующее предложение: !3 н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
