Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Ч, стр. !41). Эти попытки остались в стадии набросков п не вызвали никакого отклика у современников; к ннм вернулись лишь в Х!Х веке (гм. ниже). »») Причем эта операция была введена без всякого отношения к механике; связь между обеими теориями была явно осоанана лишь основателями векторного исчисления во второй трети Х1Х века. ИСТОРПЧПСКИЙ ОЧПРН Г.!. ! этому слову) лишь отдаленную аналогию. Первое пз этих распространений принадлежит Н.
ц». Гауссу и связано с его арифметическими исследованиями, посвященными квадратичным формам ах«+ Ьху + еу«с целыми ьоэффпцнентамк. Лагранж определил в множестве всех форм с одинаковым дискримннантом отношение эквивалентности «) я, с другой стороны, доказал тождество, дающее в этом множестве некоторый (не всюду определенный) коммутатявный закон композиции; отправляясь от этих результатов Гаусс показывает, что этот закон согласуется (в смысле 1 4) с упомянутым отношением эквивалентности ((Ъ'), т. 1, стр.
272): «Отсюда аидка, — говорит он затем,— ктв следует е!ание>ать кад колко»ипиеи двух или кеекал>ких классов». Он приступаот затем к изучению полученного им так «факторзакопа» и устанавливает по существу, что это (на нынешнем языке) — закон коммутативяой группы, притом с помощью рассуждений, общность которых чаще всего выходит далеко за пределы исследуемого Гауссом специального случая (например, рассуждение, которым оп доказывает единственность элемента, симметричного данному, совпадает с примененным нами прн доказательстве предложения 3 й 2 для произвольного закона композиции (там же, стр.273)). Но он не останавливается на этом: возвращаясь немного позже к тому же вопросу, он отмечает аналогию между композицией классов и умножекпеы целых чисел по простому модулю **) (там»ке, стр. 371), устанавливан, однако, при этом, что группа нлассов квадратичных форм с заданным дискримннаптом не всегда циклическая; замечания, которые он делает по этому поводу, дают основание полагать, что ему было известно, по крайней мере на атом частном случае, общее строение конечных ко»шутатнвных групп, которое мы изучим в главе У!1 ((»'), т.
1, стр. 374 и т. 11, стр. 268). Другая серия исследований, о которой мы хотим сказать, также подводит к поняти>о группы, которое этим путем и входят окончательно в в»атематпку: зто — «теория подстановок», развившаяся из идей Лагранжа, Ваядермонда и Гаусса относительно решения алгебраических уравнений. Мы не *) Две формы эквивалентны, если одна пз них получается нз другой путем «за»>ены переменных> х'= ох + ()у, у'=.= ух+ бу, где а, (), у, 6 — целые такие, что аб — ()у = 1. *«) Весьма замечательно, что Гаусс пользуется для композиции клагсов квадратичных форм аддит ивнвии обозначением, несмотря на аналогию, отмеченную нм самим, а также на то, что тождеством Лагранжа.
определяюв»пм композвцяю двух форм, гораздо естественнее подсказывается мультиплпкативное обозначение (к которому, кстати, и вернулись все продал»катели Гаусса). В этом безразличии к выбору обозначения следует видеть лишнее свидетельство общности, несомненно достигнутой в понимании Гауссом авионов композиции.
Прн этом в своих рассмотрениях он ке ограничивался коммутативпымн законамн, нак зто наказывает относящийся к 1819 — 1820 гг., по пе опубликованный при»кпзниГаусса отрыгок, где более чем за двадцать лет до Гамильтона даются формулы умножения кватерняонов (['»е), т. УП). стр. 357). ! 175 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК собираемся подробно излагать здесь историю этого вопроса (см. Исторический очерк к главе У); следует лшпь напомнить данное Руффини, а затем Коши ((У1), (2), т.
1,стр. 64) определенна «пронзведения» двух подстзповок конечного множества ') н первоначальных понятий, относнщихся к конечным группам подстановок: транзитивяости, примитивности, нейтрального элемента, перестановочных элементов и т. д. Но эти первые исследования оставались, в целом, довольно поверхпостнымн, и действительным родоначальником теории должея считаться Эварист Галуа: сведя в своих знаменитых работах (У11!) изучение алгебраических уравнений к изучению свяаанных нм с ними групп подстановок, он значительно углубил это последнее как в том, что касается общих свойств групп (так, Галуа первый определил понятие нормальной подгруппы и осоанал его важность), так и в нахождении групп, обладающих специальными свойствами (где полученные им результаты и ныне числятся среди наиболее тонких результатов теории).
Галуа принадлежит также первая идея «линейного представления групп» "*), а этот факт ясно показывает, что он владел понятием и«о«»орфи»э«а двух групповых структур, независимого от их «реализаций». Однако, хотя н представляется несомненным, что гениальные методы Гаусса и Галуа привели их к весьма широкому взгляду на понятие закона композиции, им не представилось случая специально развить свои идеи яа этот счет, и их работы ие оказали непосредственного воздействия на эволюцию абстрактной алгебры «*").
Наиболее ощутнмьш прогресс по пути абстракции был достигнут в третьем направлении: развивая идеи относительно природы мнимых чисел (геометрическое представление последних вызвало в яачале Х1Х века появление довольномногочисленных работ), алгебраисты английской школы в 1830 †18 гг. первыми выделили абстрактное понятие вакона коыпозиции и немедлеяно расширили область алгебры, применив это понятие к множеству новых»гатематических созданий: алгебре логики у Буля (см.
Исторический очерк к главе 1У Книги 1), векторам, кватернионам и общим гиперкомплексным системам у Гамильтона (1Х), матрицам и зеассоцнативным закопан у Кэти ((Х), т. 1, стр. 127 и 301 и т. П, стр. 185 и 475). Параллельная эволюция независимо протекала на континенте Бвропы, особенно в том, что касается векторяого исчисления (Мэбиус, Бел- *) Разумеется, понятие сложной функция было известно гораздо раньше, но крайней мере для функций вещественного или комплексного переменного, яо алгебраический аспект этого закона композиции и связь с произведением двух подстановок были выяснены лишь работами Абеля ((У11), т. 1, стр.
478) и Галуа. **) Именно в этой связи Галуа, смело распространяя «формализм», приведший к комплексным числам, рассматривает «мнимые корни» сравнения по простому модулю и открьгнает так кон««лме поля, изучаемые яамн в главе У. «*") При этом идеи Галуа до 1846 г. оставались неизвестными, а идеи Гаусса оказали прямое воздействие ли«яь на теорию чисел. 176 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК Рл ! лавнтнс), линейной алгебры и гиперкомплексных систем (Грассман), о чем подробнее будет скааано в Историческом очерке к главам П и 1П в). Из этого кипения оригинальных н плодотворяых идей, которое в первой половине Х1Х века вдохнуло в алгебру новую жизнь, она вышла обновленной до самих своих устремлений.
Прежде ее методы и результаты концентрировались вокруг задачи решения алгебраических уравнений (или диофантовых уравнений в теории чисел): «Алгебра,— говорит Серре во введении к своему «Курсу выси!ей алгебры» (ХП),— есть, войск««вино говоря, анализ уравнений». После 1850 г., хотя руководства по алгебре п предоставляли еще долгое время приорвтет теории уравнений, над новыми исследованиями уже не доминировала забота о непосредственных применениях к решени«о числеяных уравнений, и они все более и более ориентировались на то, что мы сегодня рассматриваем как основную задачу алгебры, а именно изучение алгебраических структур самих по себе.
Этн работы довольно отчетливо равбиваютсн на три течения, продолжавшие соответственно три рассмотренных выше направления идей и продвигавшиеся параллельно без ощутимого взаимного влияния вплоть до последних лет Х1Х века в*). Это, прежде всего, построение немецкой школой Х1Х века (Дирихле, Куммер, Кронекер, Дедекинд, Гильберт) теории алгебраических чисел, восходшцей к Гауссу, которому принадлежит первое исследование такого рода, а именно исследование чисел а+ Ь! (где а и Ь рациональные). Мы не будем прослев«ивать вдесь эволюцию этой теории: для наших целей нужно лишь отметить порожденные ею абстрактные алгебраические понятия. Начиная с первых преемников Гаусса, идея ноля (алгебраических чисел) лежит в основе всех работ в этом направлении (как и исследований Абеля и Галуа по теории алгебраических уравнений); область ее применений расширяется, когда Дедекиид и Вебер (ХП!) строят теорию алгебраических функций одной переменной по образцу теории алгебраических чисел, Дедекинду (Х1Ч) мы обязаны также введением понятия идеала, дающего новый пример аакона композиции множеств элементов; к Дедекииду н Кронекеру восходит обнаружение роли, далее все более возрастающей, которую играют коммутативные группы и модули в теории алгебраичесяих полей; мы вернемся к этому в главах П, Ч и УП.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
