Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(8) в) Если Ь' — двусторонний идеал кольца А', то Ь=.у (Ь')— двусторонний идеал кольца А, содержащий а, и А/Ь изоморфно А'/Ь'. Непосредственная проверка показывает, что если Ь' — левый (соответственно правый, двусторонний) идеал кольца А', то -1 Ь =/ (У) есть левый (соответственно правый, двусторонний) идеал кольца А, содержащий а; так как / отображает А на А', то опо отображает Ь на Ь', и а) доказано. Обратно, если Ь— левый идеал кольца А, то /(Ь) — левый идеал кольца А', ибо если хб Ь и г'Р А', то существует гРА такое, что г'=/(г), и значит, г1(х)=/(г)/(х)=/(зх)б/(Ь); доказательство для правых идеалов аналогично. В частности, если Ь г а, то Ь насыщено по - 1 сравнению тпоб а, так что для Ь'=/(Ь) имеем Ь=/(Ь ), чем доказана первая часть утверждения б); соотношения же (8) выполняются для произвольных подмножеств Ь' и с' кольца А' (т 6, и'13). Можно также заметить, что сумма двух идеалов есть их верхняя ереме в множестве всех идеалов кольца А', упорядоченном по включеппю, э пересечеппе — нижяяяя ерачи и то же в мпожестве всех идеалов кольца А, содержащих а; формулы (е) вытекают тогда пз того, -1 что взапмво одяозпашое огобрвжевне б'-+ /(э') первого пз этих множеств ва второе — еведаетаюжее.
152 гл. ь 1 8 ЯЛГЕБРЯПЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Наконец, если Ь' — двусторонний идеал кольца А и -1 Ь =/ (Ь'), то изоморфизм А/Ь и А'/Ь' вытекает иа первой теоремы об изоморфизме (4 4, теорема 2). Для подколец В кольца А, содержащих а, кольца /(В) и В/а обычно отождествляются; в частности, идеал /(6) кольца А', соответствующий идеалу Ь э а, обозначают Ыа; поэтому в случае двустороннего идеала Ь утверждение в) теоремы 5 выражают, говоря, что факторкольцо (А/а)/(Ыа) пзоморфно А/Ь. 10.
Проиаведентззе колец Из замечаний, сделанных в и'5 $ 4 и и'1 6 5, явствует, что произведение структур семейства (А„) гомологичных колец с операторами также есть структура кольца с операторами; это приводит к следующему определению: Опгедкленне 9. Произведением семейства (А,)м~ гомологичных колец с операторами называется множество А = ~! А„ сег наделенное структурой кольца с операторами, определяемой законами ((х„), (у,)) — + (х, + у„), ((х„), (у„)) — ь. (х,у„), (а, (х,)) — + (ахи (где а пробегает все операторы колец А„).
Важным частным случаем произведений колец является кольцо, образованное всевозможными отображениями множества Е в кольцо А, совпадающее с произведением А (см. 6 4, и' 5). Если „— подкольцо (соответственно левый идеал, правый идеал) кольца А„то В= ~~В, есть подкольцо (соответственно ~гт левый идеал, правый идеал) кольца А = 1(А,. В частности, кт пусть У вЂ” непустое подмножество множества У, К =- СУ и В,=.4, для ~Ь'У, В„=(0) для ьб К; тогда подкольцо А,'~= Ц В, пт есть двусторонний идеал в А, структура кольца (с операторами) которого изоморфна структуре кольца Аг = ) ) А,; А~ часто мх 153 кольцл и кольца с опиглтоглми отождествляют с А» посредством канонического изоморфизма аддитивной группы А» на адднтивную группу А!, являющегося также нзоморфизмом кольцевых структур.
Проекция рг» кольца А на 1 есть гомоморфизм; прообраз нуля относительно этого гомоморфизма есть нечто иное, как Ак, так что А» изоморфно А/Ак, а А изоморфно произведению А» х (А/А»). Кроме того, по определению умножения в А, имеем А»Ак=(0): говорят, что подкольца А» и Ак взаимно аннулируются. Отсюда следует, что каждый идеал в А» есть также идеал в А. Вместо с тем иы видим, что каждое произведение колец, яе сводящяхся к О, содержит деюежеюи нулю, отличяме от О. В случае, когда Х вЂ” множество (!), состоящее из одного элемента, подкольцо А», изоморфное А„, обозначается также А;.
Если а — левый (соответственно правый) идеал в А, его проекция на А, есть левый (соответственно правый) идеал в А„(теорема 5); при этом: Пгвдложннив 6. Если произведение А колец А, обладает единицей (т. е. каждое из колец А, обладает единицей), то идеал апА, 'изоморфен проекции а на А,; при етом в случае конечного множества индексов 1 а совпадает с произведением своих проекций на кольца А„.
Действительно, пусть х=(х,) — элемент из а, е, — единица кольца А„е'„— единица кольца А', а содержит г'„х, т. е. элемент, все координаты которого, за исключением координаты с индексом е, равной х„равны нулю; а отсюда сразу следует справедливость предложения. Без предположения, что А содержит единицу, предложение становится неверным (см. упражнение х4в).
11. Прямая егомтхоэпция под!соле!4 Пусть А = Ц А, — произведение конечного семейства под!И~ -ю колец А,; в обозначениях предыдущего и' аддитивная группа А есть прямая сумма (з 6, и' 6) аддктивных групп А! (допуская вольность речи, это выражают, говоря, что кольцо А есть прялгая е и сумма подколгц А!).
Но более того, если х=- ~ х! и у= ~~' у„ !=! ! ! ЛЛГЯБРАИЧЕСКИК СТРУКТУРЫ Рл. 1, 3 6 »54 где х» й А», у» й А», — (одпозначно определенные) разложения про- извольнь»х злементов х, у кольца Л, то ху= ~,х»у» Опвкдвлвннк 10. Кольцо А называется прямой композицией конечного сел»вйства (В»)» . „своих подколсц, если А есть прямая сумма подколгц В, и тождественно и и и ( ~ х,.) ( ~~' у,.) = ~з х,у, (х,, б Во у» б В»). '1'ем самым кольцо А, янляюшееся прямой композицией своих подколец, изоыорфно их произведению. Не следует смешивать понятня прямой суммв» н калмой комлоаиции подколец: кольцо вполне может быть прямой суммой своих подколец (и даже правых нлн левых идеалов), пе будучи нх прямой композицией; мы встретимся с примерами етого в главе Н, ПРкдложкнии 7.
Пусть кольцо А есть прямая сумма конечного семейства (В»)» .» .„своих подколвц. Следующие утверждения равносильны: а) А сеть прямая ко.нпозиция подколец В»', б) В» являются двусторонними идеалами кольца Л; в) В» взаизп»о аннулируюп»сл. Действительно, а) влечет б), поскольку А изоыорфно () В,; »<»<и б) влечет в), ибо если В, — двусторонние идеалы, то В;В С В;( )В, = (О) при» Ф у'; наконец, в) влечет а) в силу днстрнбутнвпостп умножения н определения 10. Н р ни е р. Рассмотрвм подкольцо Л факторкольца 7Л(6), образованное классаын чисел О н 3 (шов 6), и поднольцо д, образованное классамн чпсел О, 2 н 4 (шой 6); А нзонорфно Х»(2), а д нзоморфно 7»(3); Х)(6) есть прлмая сумма поднозсц А и )), кбо (=-3 — 2 н сравнепня и: г (6), и = О (2) н и .== О (3) могут одповрел»онпо выполняться лишь если и.: — и . О (6); наконец, очевидно Л я П взая»п»о аннулнру»отея; таким обрааом, 7У(6) есть прямая композиция своих подколец Л и )у н, следовательно, нзоморфно проязведенню (Х,'(2))Х х(ХПЗ)) (см.
главу УП). Если кольцо А есть прямая коьп»ознция своих подколоц В», то, вследствие изоморфизма прямой композиции произведению, 155 кольцА и кОльцА с ОПКРАТОРАыи центр С кольца А есть припая композиция центров С! подколец В! н С! = СП В! ($ 4, п' 5). Пгвдложвннв 8. Если кольцо А есть прямая комп ози ция своих подколец В! (1а е< и), а, — двусторонний идеал в В! и а=~ аз, то факторкольцо А/а изоморфно произведению факт=! торколец Вг!и!. Это — непосредственное следствие предложения 4 5 4.
У п р а я! н е н и я. 1) Определить все кольцевые структуры в множестве, состоящем из и элементов, где 2 - ' и ( 5, а также идеалы этих колец. 2) Показать, что кольцо эндоморфнзмов коммутативпой группы, являющейся произведением двух циклических групп второгопорядка, некоммутативио и обладает делителями нуля, отлнчвымп от О, 3) Пусть А — кольцо (без оператороа) и на множестве Е к А следующим образом определены сложение и умножение: (т, х)+(и, у)=(т+и, х+у), (т, х) (и, у)= (тп, !ау+ пх )-ху).
Показать, что зти заяоны определи!от в ЕХА структуру кольца с единицей и что А иаоморфно двустороннему идеалу атого кольца. 4) Пусть А — кольцо, нс сводящееся к О и нмееощее единицу в. Если для некоторого элемента а В А существует, и притом едипетвенныет элемент а' Е А такой, что аа'= — е, то а обратим п а' обратен и. (Показать сначала, что а не есть левый делитель нуля, а аатем рассмотреть произведение аа'а.) а5) Пусть А — кольцо без делителей нуля, имееощее единицу е. Предположим, что яа А задав всюду определенный внутренний закон Т такой, что порожденный пм правый внешний заков дистрнбутивен относительно сложения, а левый — относительно умножения. а) Показать, что если А яе есть кольцо характеристики 2, то хТ у.= О для всех х и у из А.
(Использовать упражнение 4 1 5.) *). б) Е ела А имеет характеристику 2, а х Т у — - О пе для всякой пары (х, у) элементов пз А, то множество В тех и Е А, для которых и Те=О, есть подгруппа индекса 2 аддитявной группы А и закон Т опре- *) В главе 1У будет приведен пример кольца целостности с любой характеристикой, одни из законов Т иа котором таков, что порожденный им правый внешний закон дистрнбутивен одновременно относительно слоя!ения и умножения, а х Ту равно нулю лишь если х=О или у=О. АЛГЕБРАИзГЕСКИЕ СТРУКТУРЫ гл. е З 8 целяется знанием всех композиций иТх, где а — (нроизвольиый) фиксированный элемент $ С. Обратно, задание подгруппы С индекса 2 аддятнвной группы А и отображении 7 А в себя такого, что ((зчг) = = 7' (х) 7' (у), определяет закон Т, обладающий указанными свойствами 6) Пусть А — кольцо с операторами,  — произвольное множество его элементов и В' — порожденное им в А множество, устойчивое относительно заданных па А внешних законов.
а) Пусть В" = — порожденное В' множество, устойчивое относительно умно>кения. Тогда подкольцо, порожденное множеством В, совпадает с подгруппой аддитиввой группы А, порожденной множеством В". б) Левый идеал, порожденный множеством В, совпадает с подгруппой аддитивной группы, ' порожденной множеством В'+АВ', а двусторонний идеав, порожденный множеством В, — с подгруппой аддитивной группы, порожденной множеством В'+АВ'+В'А+АВ'А. '7) Пусть А — кольцо (беа операторов), не содержащее делителей нуля и такое, что каждан его аддитивная подгруппа является левым идеалом.
Показать, что А изоморфно подкольцу кольца 7. или факторкольцу вида Е/(р), где р — простое, (Выразив, что аддитинная группа, порожденная элемеятом а ~ О,являетсн левым идеалом, показать, что этим определяется изоморфизм А в Х или в фактор- кольцо кольца Е.) 8) Правый идеал, порожденный левым идеалом кольца, является двусторонним идеалом. 9) Правый аннулятор правого идеала кольца есть двусторонний идеал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
