Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 30
Текст из файла (страница 30)
упражнение 2). 2) В кольце с нулевым квадратом (пример П1) кюкдый алев>еат есть делитель нуля. 4. 1Ходколь»1а Определение 4. Подкольцом кольца (с оператора.яи) А называется всякое непустое множество Вс А, в котором структура, индуцированнал из А, есть структура кольца с опграторал>и. Пгедложепне 1. Для того чтобь> нспустое множество В аземснпюв кольца А было подкольцом этого кольца, нгобходил>о и достаточно, чтобы В было подгруппой аддитивной группы А, устойчивой относительно умножения и заданных на А внешних законов.
Справедливость предлоясения непосредственно вытекает нз определений. условия, которым должно подчиняться вепустое множество В»А, чтобы быть подкольцом, записываются также следующим образом (1 6, предложение 1): В+ВС В, — В»В, ВВ» В и аВ» В для каждого оператора а на А. Первые три из »тих условий необходимы и достаточны для того, чтобы имеющаяся в А структура кольца (без операторов) иядуцировала з В структуру кольца, иными словами, чтобы В было подкольцом з А, рассматриваемом как кольцо без операторов (т.
е. наделенном своей структурой кольца, во яе наделенном внешними законами). 142 гл. е $8 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ П р и и е р ы. 1) Каждая подгруппа аддитивной группы Е, змеи знд аЕ, где л С >ч, есть подкольцо кольца уд таким образом,подкольца кольца Е совпадают с подгруппючи его аддвтнэной группы..ни одно из этих подколец, кроме самого 7. и (0), ве обладает единвчным элементом. '2) Рассьштрим в теле С комплексных чисел структуру кольца с операторами, определнемую вяешнвм законом композиции (а, г) -+ -+ аз вещественных операторов а и комплексных чисел з (см.
в' 2), При этой структуре единственным подкольцом кольца С„ отличным от ПЦ н С, является мяожество Н вещественных чисел. Действительно, если подкольцо А кольца С содержит яе вещественное число з, то оно содер>кит также зе, а значит, и комплексные числа аг+рс', где а я р првнпмэют всевозможные вещественные аначення; но так как отяошение з',>с яе веществеяно, получаемое так множество совпадает с С. Таким образом, множество Е рациональных целых чисел не является подкольцом кольца с операторами С, хотя н язляетсн подкольцом в С, рассматриваемом как кольцо без операторов., 3 ам е ч а н и е.
Этот последний пример показывает, что поннтие подкольца кольца с операторами А существенно зависит от внешних законов заданной в Л структуры, а не только от его структуры кольца. Очевидно,подкольцо кольца с операторами А останется'таковым также при сужении звдаяных на А внешних законов на подмножества областей их операторов нли же прн сохранении только некоторых нз этих ааконов н отбрасывании других; но обратное неверно. Однако наличие нли отсутствие внешнего закова (и, х) †>ах (и В 7) в заданяой структуре кольца с операторами яе охран>ается на понятии яодкольца относительно этой структуры; это объясняется тем, что всякая подгруппа адднтивяой группы Л Устойчива относительно этого закона.
Если в множестве А расоматрнваются несколько структур кольца с операторами, в основе которых лежит одна я та же кольцевая структура, то подкольца относительно этих структур различаются посредством указания тех внешних законов, относительно которых онн устой"аим.
Всякое пересечение подколец кольца А есть снова подкольцо этого кольца; поэтому можно определить подкольцо, порожденное произвольным множеством ХС А, как наименьшее подкольцо, содержащее Х. Пгедложенне 2. Множество всех элементов кольца А, нерестановочных с каждым элементом произвольного фиксированного множества М( А, есть нодкольцо этого кольца. 143 кольцл и кольцл с опкглтоелми в Действительно, зто ььножество устойчиво относительно умножения ($ 1, предложение 1); оно устойчиво относительно каждого из заданных па А внешних законов, ибо если х перестановочно с гбМ, то, в силу (7), для каждого оператора сь кольца А имеем (пх) г=сь(хг) =и(гх) = г(сьх).
Наконец, если х и у перестановочны с гбМ, то х — у перестановочно с г, ибо (х — у) г=хг— — уг = гх — гу = г (х — у). Слкдствик 1. Центр кольиа А есть подкольцо этого кольца. Слкдствик 2. Множество всех эндоморфизмов коммутативной группы с операторами С есть подкольцо кольца Е всех эндоморфизмов группы С. Действительно, зтп зндоыорфизмы совпадают с зндоморфизмаыи групповой структуры в С, перестановочными со всеми заданными на С гомотетиями. Подкольцо кольца Е, образованное зтиып зндоыорфнзмами, называется кольцом зндоморфизмов группы с операторами С. 5.
Овпноилентля амотв~тлетьттьноемьтв в кольце. Мдеальь. Физспьо ркольгуа Определим отношения эквивалентности, согласующиеся со структурой кольца А. По теореме 4 5 6, отношение Л, согласующееся со сложением и заданными на А впеп1ними законами, имеет епд х — убН, где Н вЂ” подгруппа аддитивной группы А, устойчивая относительно этих внешних законов.
Согласованность отношеяпя Л с умножением выражается порознь согласованностью слева и справа (у 4, предложение 1). Но согласованность слева означает, что х ьь у (шаде) влечет гх =— —. гу (шоь(Л), т. е. х — уб,'Н влечет гх — гу = г (х — у) б Н для каждого г б А. Это приводит к следующему определению: Опгкдклкник 5. зуевым (соответственно правим) идеалом кольца А называют всякую подгруппу Н аддитивной группы А, устойчивую относительно заданных на А внешних законов и такую, ипо гН ~ Н (соответствепно Н- С Н) для всех г Р А.
Подмножество кольца А, явллюиьееся в А одновремен>со и левым и правым идеалом, называется двухсторонним идеалолс кольца А. 144 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ гл.к)8 Таким образом, условия, которым должно подчиняться непустое множество Н элементов кольца А, чтобы быть его левым (соотзетстзенно правым) идеалом, записываются так: Н+П ~ Н, — Н вЂ” Н, АН и Н (соотэетстэенно НА С Н) я аНС Н для каждого заданного на А оператора а. Очевидно, каждый идеал кольца А является его подкольцом, обратное же неверно. Идеалы кольца обычно обоэначайотся строчными готическими буквами.
Кан<дый левый идеал кольца А есть правый идеал противополо~кного кольца, н обратно. Если А коммутатнвно, три рода идеалов совпадают н говорят просто об идеалах кольца А. 3 а м е ч а и н я. х) Левый иаеал кольца А есть не что иное, как подгруппа алдитивкой группы Л, устойчэваз относительно внешних законов кольца Л н левого внешнего закона, порождаемого заданным яа А умножением. 2) Как н понятие подкольца, понятие идеала кольца с операторами А существенно зависит от заданных на Л внешних законов; замечания, сделанные з и' 4 по поводу подколец, равным образом применимы н к идеалам.
В частности, если з множестве А рассматривается несколько структур кольца с операторами, з основе которых лежит одна н та же кольцевая структура, идеалы относительно этих структур различают посредством указания, отяосительяо каких зпешкнх законов опн устой ~ивы. Теогемл 1. Всякое отношение эквивалентности, согласуюи(леся со структурой кольца А, имеет вид х — у 6 и, где и — двусторонний идеал кольца А, и результтп факторизации А по этому отношению есть кольцо. Первое утверждение теоремы вытекает пз сказанного ранее. С другой стороны, факторзакон заданного на А сложения по рассматриваемому отношению эквивалентности В есть закон коммутативной группы на А/Н, а факторзаконы заданных на А внешних законов днстрибутивны относительно этого группового закона (8 6, и' 11); наконец, факторзакон по В заданного на А умножения есть ассоциативный закон на А/В ($ 4, и' 3), двояко дистрибутивный относительно факторзакоца сложения Я 5, и' 1), и легко видеть, что он удовлетворяет тождествам (7).
Отношение эквивалентности х — у ~ а, определяемое в кольце А двусторонним идеалом а, часто записывают х = у (тоби) или х Ра у (а) и называют сравнением по модулю а. Таким обра- 145 КОЛЬЦА И НОЛЬЦИ С ОПКРАТОРАМИ зом, отношения х — = у (а), х' = — у' (а) влекут х + х — = у + у (а), — х еи — у (а), хх' аи уу' (а) и ах =.=- ау (а) для каждого онсратора а (правила действий над сравнениями).
Отметим, что, напротив, отношение зу ш зв (о) не олива>пваьно влечет у = з (а), нбо класс шог) а алемента з, даже если атот элемент регулярен относительно заданного яа А умножения, яе обязательно регулярея отяосительно факторзакона (см. яиже пример 4). Опеидклснг>к б, Рсзультапг факторизации кольца А по сравнению по двустороннему идеалу а >сазывастсч факторкольцом кольца А по и и обозначается А/а. П р и м е р ы н д е а л о в и ф а к т о р к о л е ц. Ц Кольцо А всегда является своим двусторопяим идеалом.
Точно так жемножество, сводящееся к одному элементу О, есть двусторонний идеал кольца А; он называется нулевым идеалом и обозначается (0). Факторкольцо АДО) изоморфно А; факторкольцо А/А сводится к О. 2) Каков бы ни был элемент а кольца А, множество Аа (соответственно аА) есть левый (соотвегстаенно правый) идеал этого кольца; заметим, что, если А не обладает единицей, этот идеал не обнзательно содержпт а. 3) Пусть М вЂ” произвольное множество элеыевтов кольца А. Множество тех алементов х с А, для которых зу = 0 (соответствеяво >/в = 0), каково бы нп было у р М, есть левый (соответственно правый) идеал кольца А; он яазываетсн левым (соответствеино правым) аннуанторам множества М.
Если А не обладает делителями нуля, а М содержят элемент чь О, аннулнторы М сводятся к нулевому идеалу. 4) 1!деалы кольца Х рациональных целых чисел, являясь подгруппами аддптивной группы Х, имеют вад пх, где и б Х; но и, обратно, очевидно, каждое множество такого вида есть идеал кольца с; иными сновав>и, идеалы кольца Х совпадагот с подгруппами адднтнввой группы Х; идеач пс обозначается также (и). При по О факторкольцо Х/(и) ость конечное коммутатнвное кольцо, состоящее нз и алементов, внутренннмп законамн которого нвляются сло>кекяе и умножение по модулю п () 4, и' 3); заметим, что, вообще говоря, оно обладает делителями нуля: например,2 си О (шоб 4), но 2 2 шО (шог) 4), так что класс числа 2 (шоб 4) есть делитель нуля в кольце Х/(4).
6. бзвойе»гва мдеалов В этом и следующем и'и' рассматрпваготся только левые идеалы; соответствующие предложения для правых н двусторонних идеалов предоставляем сформулировать' читателю. 10 и. Бурбаки гл. к э в АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Если А — кольцо и а — его левый идеал, а  — подкольцо, то В П а есть левый идеал кольца В. В частности, если а С В, то а есть левый идеал в В; по, обратно, левый идеал в В не,обязательно является левым идеалом в А. Так как левые идеалы кольца А совпадают с устойчивыми подгруппами относительно структуры группы с операторами Л, то на них распространяются все свойства устойчивых подгрупп группы с операторамн (з 6, и' 10).
Так, пересечение семейства (а„) левых идеалов есть левыи идеал; среди левых идеалов, содеряеащих заданное множество М ~ А, существует наименьший; он называется левым идеалом, порожденным множеством М, а М вЂ” системой обраэуюилих этого идела. В частности, в кольце Л, обладаюилем единицей е, левый идеал, порожденный множеством, сводящимся к одному элементу а, есть мнояеество Ла всех элементов вида ха, где х пробегает А; действительно, это множество является левым идеалом, содержит а = еа и содержится в каждом левом идеале, содеряаащеы а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
