Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 28
Текст из файла (страница 28)
ГРУППЫ ПРБОБРАЗОВАННИ 4ЗЗ г) Показать, что нормальная подгруака группы пи, содержащая цикл длины 3, совпадает с И„. [С аомощью формулы (1) упражнения 6 доказать,что ага подгруппа содержитвсециклы(1 2 Ь), где 3 (Ь (и.[ 9) Группа преобразований Г множества Е называется тлратио траитииионой, если для лгобых двух последовательностей (а„аз, ... ..., а,) и (Ьп Ьз, ..., Ь„) по г различных элементов из Е существует подстановка а б Гтаная, что о(а )=Ь; для 1 (1 (г, и это свойство не имеет уже места хотя бы для одаой пары последовательностей по г+1 различных элементов из Е. а) Показать, что г-кратно транзитивная группа при г>1 примитивна.
[Применить предложение 5.[ б) Порядок г-кратно транзптивной группы подстановок Г степени и имеет вид и(и — 1) ... (и — г+1) й, где й — делитель (и — г)) [Рассмотреть подгруппу подстааовок из Г, оставляющих инвариантвымк г элементов, и вычислить ее индекс.[ *10) Пусть à — г-кратно транзнткеная группа подстановок множества Е, состоящего нз и эламентов, и и — о — число элементов множества Е, инвариантных относительно нетождественной подстановка а Р Г. Показать, что если з > г, то существует подстановка т 6 Г такая, что а 'тот ' — нетождественная подстановка, оставляющая иввариантвыми =- и — 2 (г — г+1) элементов из Е.
[Воспользоваться разлонсением а на ее циклические компоненты (упражнение 6) и формулой (1) упражнения 6[ Показать также, что при о=г существует т Р Г, для которого а'тот ' есть цикл длины 3. Вывести отсюда, что если г > 3 и Г не содержит знанопеременной группы И„, то з > 2г — 2 для каждой подстановки из Г. [Использовать упражнение 8.[ Наконец, доказать, что если Г не совпадает с Ии илн с юи, то г ( — +1. *11) а) Показать, что знакопеременвая группа 6[„: (и — 2)- кратно транаитивна.
б) Показать, что группа $„ при и ~ 4 иростал. [Используя а), метод упражнения 10 и упражнение 8г, понааать, что Иэ простая при и > 6; аналогичным обрааом исследовать случай и ( 6.[ 12) Пусть à — транзитивная группа подстановок множества Е. Показать, что каждый класс интраваитивности ее нормальной подгруппы А является классом импримитизаости для Г. [Воспользоваться предложением 5.[ Вывести отсюда, что если Г примитивна, то Л транзитивна. *13) Пусть à — интранзнтивная группа подстановок множества Е, А — ее класс интранаитивности и В= СА — его дополнение. Обозначим через ГА и ГБ группы, образованные сужениями подстановок из Г соответственно на А и В, через ЛА и Лв — подгруппы группы Г, оставляющие инварнантными каждый элемент соответственно из А и В.
Показать, что АА и АБ — нормальные подгруппы группы Г в что Г, наоморфно Г!АА, а ГБ изоморфно Гг'Ав, обозначая череа АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ РЛ. 1, 1 7 ллп (соответственно ллл) группу, образованную сужениями подстановок из ЛА (соответственно ЛБ) на В (соответственно А), показать, что факторгруппы ГА!Ляк, Гл(блл и ГЯЛАЛБ) иаоморфны. (Применить теорему 6 4 6 к представлению а ою относящему каждой подстановке а 6 Г ее сужение на А.) "14) а) Пусть à — группа лодстапозок множества Е, состоящего из т элементов; покааать, что индекс (Г: Л ) ее подгруппы Л„, оставляющей инвариаптным элемент а 6 Е, равен числу элементов того класса интранзитпзности группы Г, ноторому принадлежит а.
б) Пусть ть — число подстановок нз Г, оставляющих инвариантвыми й элевзентов нз Е, я — порядок группм Г и с — число ее классов интранзитиввости. Доказать формулу л1= ~~ рта. ь —.о (Обозначая через р(о) число элементов, иввариантных относительно подстановки о 6 Г, вычислить двумя разными способами ч~~ р (о) озг и применить а).) в) Показать, что если число р (о) = й одно и то же для всех нетождественных подстановок из Г н порядок Л„больше 1 для каждого л, то й ( 1( 24. (Заметить, что ж ( Аа.) В том частном случае, когда 5=2, найти все возможные порядки подгрупп Л, соответствующих КЛаССаМ ИвтрапэнтИВПОСтн ГрулПЫ Г; ПОКаэасто ЧтО Прн 1=3 ПОрядОК подгруппы Л для элементов двух нз трех классов интранзитивности ве может быть ) 2, если только я не равно ви 12, ни 24, нв 60.
15) Пусть Š— множество, наделенное внешним законом компоавции (а, х) — ах, который имеет своей областью операторов группу С и ассоциативен (4 5, и*2) относительно ее группового закова. Показать, что множество А=еЕ, где е — нейтральный элемент группы С, устойчиво относительно рассматриваемого внешнего аакона и что А является относительно ивдуцироваяного закова множеством, наделенным группой операторов С, в смысле и' 2. Каждый класс интранзитнвности группы Г всех подстановок множества А, поршкденных операторами нз С, есть устойчивое подмножество этого множества, а структура, иццуцировапная в любом иа этих классов, есть структура однородного пространства.
*16) а) Пусть С вЂ” группа, Н вЂ” ее подгруппа и г — взаимно одвоаначпое отображение множества С1Н всех левых классов по Н в С, отпосящее каждому Х 6 С)Н элемент г(Х) 6ХС: С, так что Х=г (Х) Н, Определим на С!Н внутренний закон номпозицни Т, положив ХТ у=г(Х) г(К) Н. Показать, чтоХТН=Х для всех Х и что каждый левмй перенос аакона Т есть взаимно однозначное отображение С/Н на себя.
Если С' — подгруппа группы С, порожденная КОПЪЦА Н 1СОЛЪЦА О ОПЕРАТОРАМИ мноясеством всех элементов г (Х), и Н'=-Н~ С', то внутренний закон, определяемый аналогичным образом на С'/Н' отображением г, определяет в этом множестве структуру, изоморфную определяемой в С/Н законом Т .
б) Для ассоциативности закона Т необходимо и достаточно, чтобы Н' была нормальной подгруппой группы С', причем в этом случае структура, определяемая ааконом Т, изоморфна структуре фактор- группы С'/Н'. [Для установлении необходимости условия показать сначала с помощью упражнения 2а б з6, что если закон Т ассоцпативен, то он определяет в С/Н структуру группы; обозначая через К паибольшу>о нормальную подгруппу группы С', содержащуюся в Н', пока- вать далее, выписывая условие ассоциатпвностн для Т, что (г (Х Т У)) ' г (Х) г (У) О К для всех Х, У; вывести отсюда, что отображение Х -+ г (Х) К есть изоморфнзм группы С/Н (относительно аакона Т) на факторгруппу С'/К; учтя, что Н' есть объединение классов по К, ааключить, что Н'=-К.] в) Обратно, вусть на множестве Е задан всюду определенный внутренний закан Т такой, что каждый левый перенос является взаимно однозначным отображением Е на себя и существует е б Е такое, что х Т е=х для всех х б Е.
Пусть, далее, à — группа подстанозок множества Е, порожденная всеми левыми переносами у, н Л— подгруппа тех подстановок из Г, которые оставляют е инва рнаитным. Показать, что каждому левому классу Х по Л соответствует одвоаначно определенный элемент х 6 Е такой, что ух б Х; если положить г (Х)=у„, то отображение х — ух есть нзоморфизм множества Е, наделенного законом Т, на множество Г/Л, наделенное закояом (Х, У) ,(Х),(У) й.
5 8. Кольца и кольца с Операторами Х. Ебольцсз Определгпие >. Структурой кольца (нлп кольцевой структурой) в множестве А навывается алгебраическая структура, задаваемая двумя всюду определенными внутренними законами кампозиции, первый из которых есть закон коммутативной группы в А, а второй ассоциативен и двояко дистрибутивен относительно первого. Множество, наделенное кольцевой структурой, называют кольцом. Чаще всего коммутативный групповой закон в кольце Л записывают аддитивно, а второй внутренний закон композиции— гл. К1 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 136 мультиплипативно. Предположения, относящиеся к сложению в А, выражаются тогда тождествами х+ (у+ г) = (х+ у) + г (ассоциативность), х + у = у -'-,- х (коммутатпвность), требованием существования нейтрального элемента, обозначаемого О, так что тождественно х-'С О =х, (3) и, наконец, требованием существования для каждого х элемента, противоположного х, обозначаемого — х, так что х-(. ( — х).=О.
Предположения же, относящиеся к умножению, выражаются тождествами (3) х (уг) = (хр) г (ассоциативность), х(у~-г) =ху-«хг, ) (двоякая дистрибутпвность), (р+ г) х = ух+ гх Если умножение в кольце А обладает нейтральным элементом, он называется единичным агементом или единицей кольца А и часто обозначается 1 (если это не может повлечь путаницы). Точно так же, говоря о регулярных, илн обратимых, или перестановочных, или ь)ентральных элементах, или Чентре кольца Л, имеют в виду регулярность, обратимость и т.
д. относительно заданного в А умножения. Закон, противоположный заданному в кольце А умножению, вместе со сложением также определяет в А структуру кольца; опа называется противоположной первоначально заданной; два кольца с противоположными структурами называются противоположными. Кольцо называют номмутативным, если его умножение коммутативно; такое кольцо совпадает со своим противоположным.
В кольце А сложение н два внешних закона, получающиеся путем раздвоения (т 3, и' 2) умножения, определяют структуру поммртативной группы с операторами, причем областью операторов каждого из этих двух внешних законов служит само А; левой (соответственно правой) гомотетией кольца А, соответствующей любому его элементу а, называется эндоморфизм х «ах (соответственно х — «ха) аддитивной группы А. КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ Примеры колец. 1. Кольцо рациональных ц е л ы х ч и с е л. Мы определили на множестве Х рациональных целых чисел слон<ение (з 2, и' 5) и умножение ($ 2, п' 8); при эхом сложение является законом коныутативной группы, а умно;кение двояко дистрпбутпвно относительно сложения; следовательно, Х, наделенное этими двумя законами, есть кольцо; оно называется кольцом рациональньех целых чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
