Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Покааать, что С изоморфна произведению НХ(С/Н). ]Рассмотреть подгруппу, порожденную элементом класса по Н, порождающего С/Н.] 10) Пусть Н вЂ” нормальная подгруппа группы С, содержащаяся в центре последней. Показать, что если факторгруппа С/Н моногенна, то группа С коммутативна.
11) Если все элементы группы С, отличные от нейтрального, имеют порядок 2, то С коммутатнвна; если С конечна, то ее порядок л является тогда степенью двойки. ]Индукцией по з.] 12) Пусть 6 — группа такая, что для некоторого целого а ) 1 и всех з8С, д8С имеет место равенство (зу)"=хеу". Пусть Соп означает множество всех з", где х пробегает 6. а Соп — множество тех х й С, для которых з"=е, Показать, что С|го и С,„> — нормальные подгруппы группы 6; если 6 конечна, то порядок Соо равен индексу С,„Г 13) Пусть А — непустое множество элементов группы С; его кормализа|аером называют множество /т' тех х б С, для которых аАа'|=А, а Ленгаралиаатороээ — множество К тех х Е С, для которых аах |=а, каково бы ни было а Р А. Показать, что  — подгруппа группы С, а К вЂ” нормальная подгруппа группы В.
Нормалнзатор /Ч подгруппы А группы С есть нанбольщая нз подгрупп Н зтоп группы, имеющих А своей нормальной подгруппой. 14) Обозначая через В (С) коммутант, или производную группу. группы С, можно определить по индукции й-ю производную группу Вь(6) последней как коммутаят В (В" ' (С)) группы В" '(С). Показать, что Вь (С) есть подгрунпа группы С, обладающая тем свойством, что для всякого эндоморфиэма а последней ~р (В" (С)) ~ В" (С). АЛГЕЬРАИЧЕСКИЕ ОТРУИТУРЫ гл. ь 1 б Для всякой подгруппы Н группы С имеем Нь(Н) г На(6); если Н нормальна, то Вь (СХН) нзоморфна (ННь (С))/Н.
Группу С называют Разрешимой (или метабелееой), если она обладает композиционным рядом (С;), все факторы которого 6661, коммутативны. Показать, что для того, чтобы С была разрешимой, необходимо я достаточно, чтобы существовало целое л такое, что Нь (С)=)е). Вывести отсюда, что каждая подгруппа и каждая фактор- группа разрешимой группы разрешимы. е15) Пусть гт — некоторое множество устойчивых подгрупп группы с операторами С; говорят, что Гт удовлетворяет условию максимальности (соответственно условию минимальности), если каждое его подмножество, упорядоченное по включению, обладает максимальным (соответственно минимальным) элементом.
Предположим, что мвожество всех устойчивых подгрупп группы с операторами С удовлетворяет условию минимальности. а) Доказать, что никакая устойчивая подгруппа группы 6, отличная от С, не изоморфна С. (Рассуждая от противного, показать, что иа существования такой подгруппы следовало бы, что С обладает бесконечным строго убывающим рядом устойчивых подгрупп.) б) Назовем минимальные влементы множества всех устойчивых нормальных подгрупп группы С, не сводящихся к е, ее лвна валзными нормальными подгруппами. Пусть Ы вЂ” некоторое множество минимальных нормальных подгрупп группы С и Б — наименьшан ее устойчивая подгруппа, содержащая все подгруппы, прияадлежащие Я; показать, что Я есть прямое произведение венечного числа минимальных нормальных подгрупп группы С.
(Пусть (М„) — последоза тел ыюсть мияимальных нормальных подгрупп группы С, принадлежащих%, такая, что ЛХе,, не содержится в устойчивоп подгруппе, порожденной объединенвем подгрупп М„ЛХю ..., ЛХгб пусть б ь — устойчивая подгруппа, порожденная объединением всех ЛХ„с индексами к )~ М показать, что с некоторого места Юь„= уь и, следовательно, последовательность (ЛХ„) конечно; затем применить предложение 7,) в) Если С вЂ” группа без операторов, то каждан ее минимальная нормальная подгруппа М является прямым произведением конечного числа нзоморфных друг другу простых подгрупп. [Пусть Н вЂ” минимальная яормальнан подгруппа груккм М; показать, что М вЂ” наименьшая подгруппа группы 6, содернзащая нсе а Ма ', где а пробегает С, и применять б) к группе ЛХ.] 16) Если множество всех устойчивых подгрупп группы с операторами С удовлетворяет условию максимальности или минимальности (упражнение 15), то С обладает рядом Жордана — Гбльдера, (Рассмотреть для подгруппы Н группы С максимальный олемеят множества всех устойчивых нормальных подгрупп группы Н, отличных от Н.) "17) Пусть С вЂ” группа с операторами; ее композиционный ряд (Сг) нааовем норкальвмм, если все С; — устойчивые нормальные под- ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ группы группы С; главиым рядом называется строго убывающий нормальный ряд, ие обладающий никаким отличным от него строго убывающим нормальным уплотнением.
а) Показать, что любые два иормальяых ряда (Сг) и (Нг) группы С обладают эквивалентными нормальными уплотнениями. [Применять теорему 1Прейера, рассматривая надлежащую область операторов иа С.) Дать в~орое, доказательство этого предло>кения, «вставляя» в ряды (с,) и (и,) соответственно подгруппы с[1= с> г) (сь„хх>) и Нл«=Н 'ПН .,Сь). б) Если С обладает главным рядок, то лтоб>ые два ее главных ряда эквивалентны; для каждого строго убывататцего нормального.
ряда Е существует главный ряд, являтощайся его уплотнением Вывестн ото>ода, что для того, чтобы С обладала главным рядом, необходимо и достаточно, чтобы множество всех ее устойчивых нормальных подгрупп удовлетворяло условиям максимальностн и минимальности. в) Если С вЂ” группа беа операторов, обладающан главяым рядом (С;), и множество всех ее подгрупп удовлетворяет условию минимальаости, то каждая факторгруппа Ст/Сь„есть прямое произведение конечного числа своих простых подгрупп. [См.
упражнение 15.) "18) Пусть (Н„) — произвольное семейство устойчивых подгрупп группы с операторами С; С по-прежнему называют прллтым произведением этого семейства, если: 1' при ьчьк каждый элемент из Н перестановочен с каждым элементом из П„; 2' каково бы ни было х Р С, для всякого ь сутцествует одиозаачно определенный элемеатх, б Н„ такой, что х =вдлявсехиндексов ь,кроме коясчного их числа »о ь»,...,ью ь и х=х х ...х . С называется влепи«приводимой, еслиона является ьт прямым пронзведением семейства своих лровжтвх подгрупп.
а) Покааать, что если С есть прямое произведение семейства своих подгрупп (Н,), то опа изоморфна подгруппе их произведения Н= [т)Н, пратоы отличной от Н, если семейство (Н ) бесконечно; ь вывести отсюда, что Н, — нормальные подгруппы группы С. б) Пусть С вЂ” группа с операторами, пороятдаемая объединением семейства (н,)ь б т своих провткых устойчивых нормальных подгрупп, а К вЂ” устойчивая нормальная подгруппа. Показать, что С есть прямое произведение К и некоторого подсемейства (П,), ~ . [Рассмотреть множества Х,г Х, обладающие тем свойством, что устойчивая подгруппа, порожденная объединением К и подсемейства (Н,)„« явлнется прямым произведением К и этого подсемейства; взять в множестве этих множеств Ь максимальный элемент.) в) Если вполне приводимая группа является прямым произведением двух конечных семейств (Н;); 1 г и [ХГ), б л своих простых 8 н.
Бурбаки АЛГЕВРАИЧЕОКИЕ СТРУКТУРЫ Гл т,з 6 подгрупп, то существует взаимно однозначное отображеяие ф множества1 па в такое, что Н' в изоморфпа Не для каждого 141. 19) Пусть 1. — свободный мононд (Ь 1, п'3), порожденный нейтральным элементом е и двумя семействами (х,), (у,) с одинаковым множеством индексоя. Показать, что его фактормзожсство, полученное путем отождествлении всех композиций х,у, и у„х, с е [1 4, упражнение 2в), есть группа, порожаеняая семейством (х„); опа называется еввбвднвй груллвй, порожденной этим семейством.
Покааатгн что всяиая группа С, порожденная семейством (а,) своих злемеятов, изоморфна факторгруппе свободной группы С', нерожденной этим семейством; зта факторгруппа всегда может рассматриваться как полученная путем втввндееелвленин каждогозлемеата некоторого семейства (хх) элементов из С' с соответствующим элементом второго такого семейства (ув) (имеющего то же множество индексов) [см. 1 4, упражнение 2в); говорят, что С есть группа, порожденнав образумили.ии а„подчиненными влредевнющиы еовтноиеениявг хь — — — '' ух.
*20) а) Пусть С вЂ” коне шая группа порядка влл, обладающая циклической нормальной подгруппой Н порлдка т, факторгруппа С/Н по которой — циклическая (порндка л). Покаааттн что С порождается двумя элелвентаия а, Ь, удовлетворяющими условиям ам=.е, Ь"=а', ЬаЬ '=а', где г н г — целые такие, что г(г — 1) и гл — 1 кратны т. [Взять за а элемент, порождавощий Н, и за Ь вЂ” элелвеит класса, порождающего С/Н; выразить элементы Ь'аьЬ А череа степени а и прнмешвгь зто, в частности, к случаям Ь;=л, й= 1 и Ь=-1, й=г.) б) Обратно, пусть С(т, л, г, г) — группа, порожденная двумя образугощпвгп а, Ь, подчиненными определяющим соотношениям ав'=-е, Ьн= — а", ЬаЬ '=ав, где т и л — целые числа в О, а еи г — любые целые числа.
Покааатгн что если т, г(г — 1) и г" — 1 пе все равны нулю, то С(ш, л, г, г) — конечная группа порядка вл, где д — наибольший общий делитель чисел т, [е(г — 1) [ и ', г" — 1[; се подгруппа Н, порождеинаая элементом а, есть нормальная подгруппа порндка й, а С/Н вЂ” циклическая группа порядка л. [Доказать, что кюкдый элемент группы С(т, л, е, г) может быть записан в виде агЬи, где * и у — целые, удовлетворяющие неравенствам 0 =. х ( д — 1, Он а, у (л — 1, и что С(лг, л, е, г) изоморфна группе, образованной парами (х, у) таких целых чисел, с ваконом композиции (х. и) (х' у') = (х+х'ги, у+у'), если у-,'-у'(н — 1, (х+х'ги+г, у+у' — л), если у [-у' : л, ,. (, где первые координаты в правой части — суммы по модулю й.) Иссгндовать случай т=г(г — 1)=в — 1=0, С (л, 2, О, — 1) называется дивдралънвй еруллвй порядка 2л и обозначается Жвей С(4, 2, 2, — 1) есть группа восьмого порядка, ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОССКРАТОРАЬСИ называемая кепгперниипной группой и обозначаемая П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
