Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Действительно, Л равносильно отношению хчубН, где Н— класо е (той Л) и Н вЂ” подгруппа(теорема 1); так как для любого оператора а отношение х —.=- е влечет хх =— .. е"=в, то Наг Н, т. е. Н устойчиво. Обратно, если Н вЂ” устойчивая подгруппа, то отношение уР хН влечет у Р х"Н" С х"Н, так что отношение эквивалентности х 'у р Н согласуется с заданными на 6 внешними законами. тн РРуппы и РРуппы с ОпкРАТОРАми Теорема 2 непосредственно распространяется теперь на группы с операторами. То же для определения 4; если Н вЂ” устойчивая нормальная подгруппа группы с операторами 6, то фактормножество множества 6 по отношению эквивалентности, определяемому этой подгруппой Н, наделенное факторструктурой структуры группы с оператораыи 6 по этому отношению, есть группа с операторамп; она называется факторгруппой группы с операторами С по Н и обозначается С/Н.
1х. Представления групп с операторами Пусть 6 — группа с операторами; ее представление в 6' можно определить, если 6' наделено алгебраической структурой, определяемой, с одной стороны, внутренним законом композиции и, с другой, множеством внешних законов, поставленным во взаимно однозначное соответствие с множеством внешних законов, заданных на 6 и имеющих каждый ту же ооласть операторов, что и соответствующий закон на 6 (т.
е. структурой, гомологичной структуре, заданной в 6 (т 4, и' 1)); отображение Г группы с операторами 6 в 6' есть тогда представление (или гомоя1орфизм), если, каковы бы пи были элеыенты хЕС, ур6 и оператор а на 6, ~(х)1(у) и (((х))" определены и ((ху) = ) (х) ~(у), Г(х ) = () (х)) . Отметим, в частности, что эндоморфиэм группы с операторами 6 есть не что иное, как эндоморфизм группы 6, перестановочный со всеми эаданными на 6 гомотгтия.ни. Поскольку гомотстии группы с операторами д ве обягатсльнс пергстаиовочпы, гомотетав, вообн1е говоря, не являетея гндоморфагмом етруятуры груллн с ояераторами, ваданной в С.
Теорема 3 сохраняется без существенных изменений и принимает следующий вид. Ткогкмл 5. Пусть 1' — представление группы с опграторалги 6 в лнохсгство 6', наделенное гомологичной структурой. Тогда ~ (С) есть группа с операторами (относительно структуры, индуцированной из С') с нейтральным элементом г' =~(г). Прообраз -1 Н = г (г') последнего есть устойчивал нормальная подгруптш ГЛ.1. ЗВ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ группь1 6; группа с операторами 1(6) изоморфна факторгруппе61Н, и представление 1 есть композиция канонического гомоморфизма 6 на 6!Н и иньективного гомоморфизма 61Н в 6'. Ю.
Подгруппы фантпоргруппы группы с оператпораэви Общие теоремы об изоморфнзме ($ 4, теоремы 2 и 3), разумеется, применимы также к группа ч с операторами (н тем более к группам); онн позволяют (используя также доказанную выше теорему 5) охзрзктеризовать устойчивые подгруппы и факторгруппы любой факторгруппы заданной группы с операторами: Теогеыл 6. Пусть 6 — группа с операторами, Н вЂ” ее устойчивая нормальная подгруппа и 1 — канонический го.чоморфизм 6 но 6' = 6/Н. "1 а) Прообраз К = ~ (К') устойчивой подгруппы К' группы с операторами С' есть устойчивая подгруппа группь1 с операто.
рами 6, содержащая Н; при этом К' =1(К) и К' изоморфна К(Н. -1 б) Отношение К= ~ (К') устанавливает взаилгно однозначное соответствие меясду устойчивыми подгруппами группы с операторами 6' и устойчивыми подгруппами группы с операторами 6, содержащими Н. в) Если К' — устойчивая нормальная подгруппа группы с опе- -1 раторами 6', то К = 1 (К') есть устойчивая нормальная подгруппа группы с операторалси С, содержащая Н, и обратно; при этом 6/К изоморфно С'!К'. г) Если Ь вЂ” устойчивая подгруппа (соответственно устойчивая нормальная подгруппа) группы с операторами 6, то это же верно и для 1Н=Н1; Н~~1 есть устойчивая норл1альная подгруппа группы с операторами Ь, и Ы(Н( ~1) изоморфно (111)~Н.
Докажем сначала а); если К' — устойчивая подгруппе группы с операторами 6', то отногпення 1 (х) б К', 1 (у) б К' влекут 1 (ху 1) = =1(х) (((у)) 1б К' и 1(х ) =(1(х)) б К' для каждого заданного -1 на 6 оператора а; значит, К= 1 (К') есть устойчивая подгруппа группы с операторами 6, очевидно содерячхщаи Н; отображая С на 6', 1 отображает К на К', и в зтпх условиях группа с оперзторзми К' нзоморфнз К(Н по теореме 5. 105 ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ Обратно, если К вЂ” устойчивая подгруппа группы с операторами 6, содержащая Н, то К насыщена по отношению у б хН, -! значит, полагая К'=-/(К), имеевг К=/ (К'), чем доказано б). Докажем теперь г). Если Л вЂ” устойчивая подгруппа группы с операторами 6, то сужение / на Х есть представление Ь в 6', согласно теореме 5, прообраз НП.6 нейтрального элемента относительно этого представления есть устойчивая нормальная подгруппа группы с операторами 1, и /(Ь) изоморфно //(НГ/1)' насыщение П по отношению убхН дает множество НЬ=1Н= ! =/ (/(Ь)), являющееся поэтому устойчивой подгруппой группы с операторами 6; а вторая теорема об изоморфизме (з 4, теорема 3) показывает, что /(Ь) изоморфно (Н1)/Н.
Легко проверяется, что если подгруппа 1 нормальная, то зто же верно и для НЬ. Наконец, в) есть не что иное, как перевод первой теоремы об изоморфизме (з 4, теорема 2) на язык групп с операторами. Для всякой устойчивой подгруппы К з Н группы с операторами 6 обычно /(К) отождествляют с факторгруппой К/Н; утверждение в) теоремы 6 выражают тогда, говоря, что факторгруппа (6/Н)!(К!Н) изоморфна 6/К (для каждой устойчивой нормальной подгруппы К ЭН). ! 3 а м е ч а в и е. То, что прообраз 1 (К') подгруппы /Г' группы С' есть подгруппа группы С, вытекает из следующего более общего предложепия: Длл лювых мнехееетв А' ! С' и В' С: С' акеем 1 (А'В') = — 1 (А') 1 (В') 1 (А' ') =(1 ( в')Г'.
-! Действительно, очевидно / (А') / (В') Г / (А'В'); с другой сто-! -! -1 ропы, если г б 1 (А'В'), существуют х Е 1 (А') и У Е / (В') такие, что -! , -! 1(е) =-/(х) /(у)=1(ху), и аиачит, е Е хзН с 1 (А') 1 (В ). Точно так же, -! отиошепие еЕ / (А' ') равносильно отношению 1(в) ЕА' ', а значит -! отношению 1(е ') еА' или в 'е /(А'), и, паконеп, — отпошеиию е Е ( 1 (А ')Г'. Олвдствии. Пусть / — представление группы с операторами 6 в группу с операторами 6', Л вЂ” устойчивая подгруппа группы -! 6, К вЂ” устойчивая нормальнал подгруппа группы Ь и Н= /(в'), Алгвнгличесггие стРуктуРы гл.г,5 6 166 Тогда КН, К(ЬГ~Н) и /(К) — уппойчивые нормальнь>е подгруппы соо>пветственно групп с операторами ЕН, Л и /(/), и факторгруппы (/Н)/(КН), Б/(К(ЬДН)) и /(Ь)//(К) изоморфны друз другу. Действительно, пусть д — сужение / на /,; у есть гомоморфизм -г Ь на /(1) и д(К)=/(К), у (е')=1ПН; поэтому (теорема 6) А (/(К)) = К(ЬПН) есть устойчивая нормальная подгруппа группы с операторами Ь, и /(Ь)//(К) изоморфно б/(К(/,ПН)).
О другой стороны, / (/(Ц) =/Н, / (/(К)) = КН; то же рассуждение применительно к сужению / на ЬН показывает, что КН нормальна в 1Н, а (ТН)/(КН) нэоморфна /(Е)//(К). 1А Теорема Ньордана — Гельдери Одним из важных следствий теоремы 6 является теорема, известная под названием теоремы Жордана — Гельдера; она устанавливает свойство структуры некоторых групп (особенно конечных), инвариантное относительно изоморфизма, и на этом основании играет фундаментальную роль в алгебре (см. особенно главы Г1 н 'Ч11).
Опгвднлвник 12. Композиционным рядом группы с операторала> 6 будет называться конечный ряд (6>)онгн„ее устойчивых подгрупп, имеющий своим первым членом 6 =6, последнилг членом 6„=(е/ и такой, ч>по 6>,г, где 0 < г < и — 1, — нормальная подгруппа группы 6>. ФактоРгР//ппгг 6г/6г,г назьюаютсЯ фактоРами композиционного ряда. Композиционный ряд Х' называется уплотнением композиционного ряда Х, если Х есть подряд ряда ~". Композиционные ряды (6г)энг( и (Н')ои>(ю гру>гп с операторами 6 и Н (имеющнх гомологичные структуры) называются зквивалентньгми, если т = п и существует взаимно однозначное отображение гр интеРвола 10, и — Ц С 1) на себЯ такое, что 6>/6 „длЯ каждого г изоморфно Неги/Нищая г. Заметим, что подряд композициоггного ряда (С;), вообще говоря, не есть композиционный ряд, ибо С нри /) г+1 вообще не есть нормазьнан нодгрунна группы Сг. Ткогвмл 7 (Шрейер). Любые два кол>позиционных ряда Х„ль группы с оператора.ми 6 обладают эквивалентными уплотнениями Е', Х'.
107 ГРУППЫ П ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ Пусть Хл=(6л)г«;„и Х =(Н~)гн;н,„— два заданных композиционных ряда, состоящие соответственно нэ и+1 н т (-1 членов; мы покажем, что композиционный ряд Х, можно образовать путем вставки меязду кап~дылги двумя подгруппами 6, и 6,„, где 0 < л < и — 1, по т — 1 подгрупп 6;', (1</< т — 1) и композиционный ряд Х,' — путем вставки между каждыми двумя подгруппами Н/ и Н;„, где 0</ < т — 1, по и — 1 подгрупп Н,'; (1 <1<и — 1); это даст два ряда из тп-(-1 подгрупп группы 6; надлежащим образом выбирая вставляемые подгруппы, мы получим эквивалентные композиционные ряды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
