Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Эти определения в соединении с предложением 3 влекут, в частности, что в коне~ной группе 6 порядок каждого элемента есть делитель порядка группы; в качестве следствия отсюда вытекает Пгедложение 9. В конечной группе 6 и-го порядка х"=е длз каждого хр6, Действительно, если р — порядок элемента х, то п=рд, где д— целое, и потому х".=(х")'= е. ГРуппы и ггуппы с оз!ЕРАтовкми з. Х~вит1о группы; коммутпитгтп Пгвдложнник 10. Центр Я группы 6 есть ее коммутатиенал подгруппа, преобразуемая каждым автоморфизмом группы 6 е себя; каждая подгруппа центра Я гппь нормальная подгруппа группы 6.
То, что Я вЂ” подгруппа группы 6, вытекает из предложения 1 3 1 и предложения 6 $ 2; то, что каждый автоморфпзм группы 6 преобразует эту подгруппу в себя, очевидно; наконец, так как хух г=у для каждого хб 6 и каждого уел, то всякая подгруппа группы Е есть нормальная подгруппа группы 6. Если 6 коммутатизна, то она совпадает со своим центром. Для некоммутатизной группы 6 центр может сводиться к одному нейтральному элементу е (в частности, это имеет место в случае, когда 6 простая). Следует иметь в виду, что коммутативная водгрувва группы С не обязательно содержатся в центре етой группы; например, если С— векоммутативная простая грувва, то монотонные группы, порожденные элементами из С, номмутатнвны и не сводятся к е.
Выясииы теперь, какому условию должна удовлетворять нормальная подгруппа Н группы 6, чтобы факторгруппа ИН была коммутатиена. Каковы бы ни были хр 6, у р 6, мы должны иметь ху ьн ух (той Н)или,что равносильно этому, у 'х 'ух= — е (Н), т. е. у 'х 'ухбН. Элемент у 'х 'ух называется коммутатором х и у (и иногда обозначается хе у); ыы видим, таким образом, что Н должно содержать множество коммутаторов всевозможных пар (х, у) элементов из 6, а следовательно, также порожденную им подгруппу С группы 6.
Эта подгруппа С называется коммутантом (кли проилеодной группой) группы 6; очевидно, она преобразуется н себя каждым автоморфпзмом группы 6 и, в частности, является нормальной подгруппой группы 6; более общим образом, всякий эндоморфизм гр группы 6 преобразует кансдый коммутатор в коммутатор, так что гр(С)! С.
Резюмируя, имеем: Пгвдложкник 11. Д"ля того чтобы факторгруппа ИН группы 6 бьта колсмутатигной, необходимо и досгпаточно, чтобы нормальнал подгруппа Н группы 6 содержала коммутант С отой группы. 100 гл. к 1 б АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Коли 6 коммутативпа, то ее коммутант сводится к е; для некоммутативной группы коммутант может совпадать с 6 (что, например, имеет место в случае, когда группа 6 простая). Заметим, что множество всех коммутаторов группы С вообще пе совпадает с (норождаемым нм) аоммутантоас произведение двух коммутаторов яе есть вообще коммутатор.
9. Группьа с операторами Опееделение 10. Группой соператорами, называют множество 6, наделенное алгебраической структурой, определяемой одним (внутренним) групповым законом и одним или несколькими дистрибутивными относительно него внешними законами композиции. Иными словами, лрн мультиплпкативной записи группового закона, для любого, оператора алюбого внешнего закона 1. группы с операторами 6 имеет место тождество аД. (ху) =(а) х)(а(.у). В дальнейшем нам встретятся довольно разнообразные структуры групп с операторами; каждый род нх будет харантернзоааться заданном соответствующих областей операторов н чаще всего — также донояннтельнымн условиями, наложенными на рассматриваемые законы композиции.
В группе с операторами 6 каждый оператор порождает эндомореризм ее групповой структуры; задание каждого из внешних законов, определяющих структуру группы с операторамп, сводится к заданию семейства эндоморфизиов группы 6; зтн эндоморфизмы будут часто называться гомотетиями группы с операторами 6. В дальнейшем прп мультипликатпвном обозначении группового закона мы будем (согласно соглашениям з 5, и' 1) пользоваться длн гомотетий экспоненциальным обозначением, т. е. записывать композицию оператора а и элемента хр 6 в виде так что днстрибутпвкость будет выражаться тождеством (ху)а — хара Группу с операторами 6 называют коммутативной, если ее групповой закон комлеутативен; лри аддитивной записи этого закона внешние законы обычно записываются в виде умножения слева илп справа (см.
з 5, и' 1). зо ГРУППЫ И' ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ На группе 6 всегда можно ввести внешний закон с областью операторов, сводящейся к единственному элементу е, определяемый условием х'=х для всех хр 6 (иными словами, внешний закон, единственный оператор которого является нейтральным). Этот внешний закон и групповой закон определят в 6 структуру группы с операторами; но она по сути ничем ие отличается от заданной в 6 структуры группы, поскольку все введенные в Э 4 понятия, относящиеся к алгебраическим структурам (устойчивые множества; отношения эквивалентности, согласующиеся со структурой; представления), для этих двух структур одинаковы.
Тем самым зто позволяет рассматривать группь> как частный случай групп с операторами и применять нсе формулируемые дальше результаты, относящиеся к группам с операторами, также к группам. В ко.нмутативной группе 6, записываемой, скажем, мультипликативно, для всех пр Х имеет место тождество (ху)"=х"у' (Э 4, формула (8)); следовательно, внешний закон композиции (п, х) — а х" целых чисел и р Х и элементов х р 6 в соединении с групповым законом определяет в 6 структуру группы с операторами; и здесь по той >ке причине, что и выше, зта структура по сути ничем не отличается от исходной групповой. Более общим образом, структуру коммутатизной группы с операторамн не отличают от получаемой путем присоединенип к определяющим ее законам еще внешнего закона (л, х) — > х".
Ш 3'стпойчивые подгрупмзв групп е опера>парпиев Пусть 6 — группа с операторамн; для того чтобы структура, индуцированная ееструктуройвнепустоммножестве НС 6, была структурой группы с операторами, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы Н было подгруппой группы 6 и чтобы эта подгруппа была устойчивой относительно заданных на 6 внешних законов; позтовгу вводим следугощее определение: Опгеделение 11. Устойчивой подгруппой группы с операторами 6 называется подгруппа группы 6, устойчивая относительно заданных на 6 внешних законов (т -е. отображаеа>ая заданными на 6 гомотетиямн в себя), наделенная сп>руктурой группы с операторами, индуцированной из 6.
гл Б1с АЛГКБРАИ ЧКСКИЕ СТРУКТУРЫ 6 н [е) всегда являются устойчивыми подгруппами группы с операторами 6; коммутант группы 6 устойчив относительяо люоой структуры группы с операторами в 6, имеющей тот же групповой закон; но центр группы 6 уже не обладает аналогичным свойством. Пересечение любого семейства устойчивыд подгрупп группы с операторами 6 есть ее устойчивая подгруппа; наименьшая устойчивая подгруппа, содержащая множество ХС 6, называется устойчивой подгруппой, порожденной этим ыиожеством. 3 а и е ч а н и я.
1) Прв рассмотрении груипы как группы с опе раторами (а именно с единственным оператором г, определяемым услозиеи хз=х) понятие устойчяэой подгруппы сливается с понятием подгруппы. Точно так жтч если 6 — коымутатвввзя группа с операторами, понятие устойчивой подгруппы ве изменится от прпсоедвяеявя к заданвым внешним закояам еще закона х". 2) 1!орыальлую подгруппу группы 6 можно определить также как подгруппу, устойчизу!о относительно внешнего закона (ю х) — г 'хл, имеющего своей областью оператороз С; этот закон з соедииеиии с задавамм иа С грузпозыи закоайм япдуцирувг в каждой ворыалькой подгруппе группы С структуру группы с операторамя, имеющей областью операторов С. лл. Сйакпзоргруппьс групп о опеуэатпорами Теорема 1 распространяется на группы с операторами.
Достаточно сформулировать ее для отношения, согласуюгпегося слева с групповым законом: Ткогкмл 4. Если отношение эквивалентности Л в группе с операторами 6 согласуется слева с групповым законом и согласуется с внешни.ки законами, заданными на 6, то оно равносильно отношению вида х 'у Р Н, где Н вЂ” устойчивая подгруппа группы 6. Обратно, для любой устойчивой подгруппы Н отношение х 'урН есть отношение эквивалентности, согласующееся слева с групповым законом и согласующееся с заданными на 6 внешними законалш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
