Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Сделанноетолько что замечание н тождество (1) 3 4 показывают тогда, что, какова бы нн была серия гл.н $б Алгквгяичискин стгуктувы 76 (х,,)ь ь элементов из Е, а( ( ) хь) = ) (а).хь). (2) Если рассматриваемый внутренний закон записывается мультипликативно, то для внешнего закона, дистрибутивного относительно этого умножения, часто пользуются экспоненциальнмм обозначением х", так что дистрибутпвность выражается тождеством (ху)"=х"у". Если внутренний закон записывается аддитивно.
то внешний закон, дистрибутивный относительно этого сложения, часто обозначают в виде умножения слева а.х или умножения справа х и, в соответствии с чем дистрнбутнвность выражается соответственно тождеством сс (х+у) =ах+ау нлн (х+у) а=ха+уа. Опгвделенив 2. Пусть ( — всюду определенный закон композиции операторов сгбм и элементов из Е, Т вЂ” внутренний закон композиции элементов из Е и Т вЂ” внутренний закон композиции элементов из О.
Говорят, что закон ) дистрибутивен относительно совокупности законов Т, Т, если всякий раз, когда композиция иТр определена, композиция (а ) х)Т(р ) х) определена для всат хбЕ и имеет место равенство (аТ р)Л.х=(а ( х)Тф 1х). (3| Не следует смешивать эту двстрибутвввость с определенной выше: дистрибутиввость .). отвоситезьво совокупности законов Т, Т никоим образом ве влечет дистрибутиввостз .). отвосвтельво закона Т (см. примеры ниже). Определение 2 равносильно требованию, чтобы отображение а — + а1,х было для каждого хб Е представлением Я в Е (для структур, определяемых соответственно законами Т и Т).
Ограничимся снова рассмотрением лишь того случая, когда законы Т и Т всюду определены. Внутренннезаконы, действующие в й и Е, чаще всего обозначаются аддитивно (и значит (з 2, и' 9), считаются ассоциативными и коммутативными); тогда внешний закон, дистрибутивный относительно совокупности этпх внутренних законов, записывают в виде умножения слева илн справа, так что днстрнбутивиость выражается соответственно тождеством (а+р) х=ах+рх илн х (а+р)=ха+х|).
ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЗАКОНАМИ КОМПОЗИЦИИ При обозначении внешнего закона умножением слева а х обычно говорят, что он дистрибутивен слева, если имеет место тождество (а+р)х=-ах+рх; тождество же а(х+у)=ах+ау выражает так называемую дистрибутивность справа (т. е. днстрибутивность внешнего закона относительно заданного на Е сложения); для закона, обозначаемого х а, эти наименования меняются ролями.
При тех же обозначениях, внешний закон называется двояко дистрибутивньчм (относнтельпо двух внутренних законов), если он дистрибутнвен н слева и справа. Тогда для любого конечного семейства (хь)ьеь элементов из Е и любого конечного семейства (а,)ит элементов из й имеем (~ а„) () хх)= ~' (а, хх) ~ег ьеь а, х)егхь (и аналогичную формулу прн записи уьтожснкем справа), в чем можно убедиться индукцней по числу элементов множеств У и Е. Опгеделеине 3. Пусть Т и 1 — два внутренних закона, заданных на множестве Е.
Говорят, что закон ( двояко дистрибутивен относительно закона Т, если он всюду определен и каждый из внешних законов, получающихся из 1. путем раздвоения, дистрибутивен относительно Т. Чаще всего один из этих внутренних законов записывается аддитпвно (н значит, ассоцнативен и коммутативен), а другой .мультипликативно (и значит, ассоциатпвен); в этих обозначениях двоякая днстрибутнвность умножения относительно сложения выражается тождествами х(у+г)=ху+хг н (у+г)х=ух+гх. В случае, когда уьшоженне коммутативно, зтп два тождества равносильны, и при их выполнении говорит просто (допуская вольность речи), что умножение дистрибутивно относительно сложения.
В прежнем предположении ассоциативности (но не обязательно коммутативности) умножения„пусть А — вполне упорядоченное конечное множество, (Оа)„ел — серия, злементамн которой являются конечные семейства Е == (х,ь)хее„элементов из Е, и Е= (1ьа; индукциен по числу элементов множества А получаем аел .гобщую формулу дистрнбутнвностиз (5) гл.
г. 1Ь АЛГЕВРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 78 При коммутативности умножения из этой формулы вытекает, что Длн Целых т>0, п>0 и кажДого семейства (хс)!<с< элементов из Е имеет место формула (хс+хз+, +х ) = ~~З ср р р хсс хгс, хрм где суммирование в правой части производится по всем последоВатЕЛЬНОСтяы (ро)1<1 м ИЗ т ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ > 0 таКИМ, Чта ч~~ рс — -и, а 1-1 7с ! с Рсгз' 'Рм,ос!Рс! ... о,к! есть число всевозможных отображений [1, и1 на [1, т), прннимаюп(их рь раз значение й (1< )с(т) (Теор. мн., гл, П1, 1 5). При т=2 получаем формулу, известную под наименованием бинома Ньютона: и (Х+Р)" = ~ ("„) ХЪа-', р=о Хи" и! где ( ) = ' — так называемые биномиальные козффи- (,Р) Р!(и — Р)! циенты. 'УЕ П р и и е р ы. $) Если мультипликативно ааписываемый аакон на Е ассоциативен и каммутативен, то закан композиции (и, х) -+ х" операторов и б гч о и алемевгов х б Е дистрибутнвен относительно указанного умнонсения (1 (, формула (8)); ко, особое еоеори, мио уже не будеси шок, если умножение не коммутотиено.
Если коммутативное и ассоциативное умножение обладает, кроме того, нейтральным элементом, то закон х" дкстрибутивен для и б(Ч, и зто верно также дла и Р Е, если, сверх того. каждый элемент нз Е обратим. Аналогичные результаты имеют место и для аддитивна записываемого коммутативного ассоциативнага закона на Е при замене обозначения х" на и х. 2) Если мультипликативно записываемый аакон на Е ассоциативен, то закон (и,х) -~х" дистрнбутивен относительно совокупности сложения в (Ч" и умножения в Е, поскольку х""'=хжх".
Значит, если рассматриваемое умножение коммутативно, то аакон х" двояко дистрибутнвен. Если каждый алемент из Е обратим, зги результаты распространяются на все и р 22 3) Внешний закон композиции (К, Х)-к К (Х) операторов К Г г-ЕКЕ и элементов Х из сй (Е) дистрибутивен относительно внутреннего закона 1 на !й(Е), но не относительно гс (Теор. мн., Рез., 1 3, Отношвния мвжду зАИОИАми композиции 79 и'8); ои ташке дистрибутивен относительно совокупности внутренних законов () ва $ (Е) и '3 (Ех Е), т. е. если К=К' () К, та К (Х) =К'(Х) Ц К" (Х).
Аналогичные результаты имеют место для внешнего заиона композиции А Х операторов А ~ Уха и элементов Х из $(ЕхР). 4) Каждый из внутренних законов (., () на $(Е) (двояко) дистрнбутивен относительно другого. 5) В и умножение дистрибутивио относительно сложения; сложение дистрибутивво относительно закалов зар (х, у) и ш( (х, у); каждый же из этих двух последних законов дистрибутивеп относительно другого к самого себя. В М и умножение дистрпбутввно относительна зпр (х, у) и )п((х, у). 6) Пусть Т вЂ” внутренний закон на множестве Е; правый внешанй закон, порождаемый законом (ое, дистрибутнвен относительно закона композиции (Тд отображеяий Е в Е, т.
е. ((ТЕ) Й=(( Ь)Т Т(ута); но для левого внешнего закона, порождаемого ааконом р у, ето уже неверно. Подобно ассоциативности и коммутативности, определенные выше различные виды дистрибутизпости сохраняются при факторизации и переходе я произведеыиям. Точнее говоря, если, например, внутренний закон л на Е двояко днстрнбутивен относительно внутреннего закона Т, а г( — отношение зквивалентпости, согласующееся с законами ). и Т, тофакторзакон закона ).
по г( двояко днстрибутивен относительно факторзакона закона Т по г(; аналогично для других видов днстрнбутивности и перехода к произведениям. 3 а и е ч а и и е. Если .(. — внешний закон, дистрибутивный относительно внутреннего закона Т нз Е, А и  — подмпожесзва множества Е и Ф вЂ” подмножество множества 4) операторов закона,(., та формула Ф1. (А ТВ) =(Ф.).А) Т (Ф.).В), вообще говоря, не верна (иными словами, распространение закояа (. на множества подмножеств не дистрибутивно относительно распространения закова Т). Действительно, Ф.). (А ТВ) есть множество всевозможных элементов а( (хТ у)=(а (.х) Т (а ).
у), где абФ, хбА, уЕВ, тогда как (Ф Л. А) Т (Ф.). В) есть множество всевозможных элементов (айх)Т(р.(.у), где абФ, рбФ, хрА, урВ, и вообще можно лишь утверждать, что Ф ). (АТВ)г (Ф.(. А) Т (ФЛ.В), С другой стороны, очевидно, что для каждого а Е П имеем а.) (Л Т В)=(а(.А) Т(а.1В), гл. К 3 Ь АЛГЕБРАИЧБСКИН СТРУКТУРЫ М. Ассоч(иатмоностпь Опгкдслкник 4. Пусть .) — впаду определенный внешний .закон композиг)ии операторов аб Й и элементов мнозкества Е и Т— всюду опргдаленный ассе~(иазпивнзш закон комнеза~(ии элементов из Й; говорят, что закон ) ассоциативгн относипгельно .закона Т. если имеет место тождество (б) (аТр) ).х=а.!.(р1х).
Вдругих терминах, если положить ) (х)=а).х(так что(З ) гав семейство отображений Е в Е, порождаемых операторами закона Х), должно иметь место равенство/ гр=)„чф, т. е. отображение а-г -+(„есть представление множества Й (наделенного законом Т) в множество всех отображений Е в Е (наделенное законом зчй). Коли внешний закон ассоциатпнен относительно некоторого внутреннего закона (заданного на его области операторов) и если этот последний записывается мультипликатпвно, то чаще всего рассматриваемый внешний закон записывают посредством умножения слева а х, так что ассоциативность выражается тождеством (а()) х=афх); эта композиция обозначается тогда а(зх; точно так же (в силу ассоциативности умножения в Й) (ару)х=афух) = = (ар) (Тх)=аф (ух)), н общее значение этих композиций обозначается арух; аналогичныеформулы имеют место для произведения любого числа операторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
