Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Еслн внешний закон ассоциативен относительно закона, противоположного мультппликативному закону, заданному на его области операторов, то для этого внешнего закона принимается либо ооозначенне посредством умножения справа х а, либо зкспоиенциальное обозначение х", так что ассоциативность выражается соответственно тождеством хфа) =-. (х())а илп хр = (хд)'". П р н вг е р ы. 1) Если на множестее Е задан мультннлнкатввяо ззпнсыззечый ассоцнатнзный закон, то вцешннй зенон (з, х)-+ х" ассоцнетнвен относнтельно умноженця в Н*, поскольку (х"')з=хгче (взнду коммутзтнзностн, умножение в Ке ничем не оглнчзется от црознзонозо>кного ему закона).
Аналогично для и Р и, если в Е имеется нейтральный элемент, н для и б л, если все элементы нз Е обратимы. 2) Еслн не множестве Е задан ессоцнатнвный закон Т, то внешний закон композиции (в, Х)-+ еТХ элементов нз Е (операторов) и подмножеств Х множества Е зссоцнатнвен относительно закона Т отношвния мкждт законами композиции 81 на Е; внешний закон (а, Х)-»ХТи ассоциативен относительно закона, противоположного Т, 3) Внешний закон композиции (Д х) -а 1(х) отображений 1 множества Р в Е (операторов) и элементов из Е ассоцнативен относительно внутреннего закона (иу; точно так же закон композиции (А, Х)-+ А (Х) множеств А Г ЕХЕ (операторов) и множеств ХС Е ассоцнатизен относительно внутреннего канона А В.
4) Внешний закон композиции (А, Х) -»А»Х операторов А С сРХР и множеств ХСЕХР ассоциативен относительно закона композиции А»В операторов; внешний закон композиции (В, У)-»- — а У В операторов В СРХЕ и множеств УС ЕХР ассоциативен относительно закона, противополо»кного закону композиции В С операторов. 11епосредственно ясно, что ассоциативность внешнего закона относительно внутреннего закона, заданного на его области операторов, сохраняется при факторизации и переходе к произведениям,. 3, Перестпановочностпь Опгвдвлвник 5, Пусть Т вЂ” всюду определенный внешний закон композиции операторов аб 11 и элементов иэ Е и ) — всюду определенный внешний закон композиции операторов р'б О и элементов аз Е. Говорят, что эти два закона персстановочны, если имеет место тождество аТ((».).х) = лр ) (аТх).
(7) Иными словами, если (~„) «пи(аз)рее — семейства отображений Е в Е, порождаемых соответственно операторами законов Т и ), у„должно быть перестановочно с др относительно закона /ад, каковы бы ни были а и р, Внешние законы, о которых идет речь, обычно обоаначаются мультнпликативно; если все они записываются посредством умножения слева, то перестановочность двух законов выражается тождеством а(рх) =()(ах); если один записывается посредством умнея<ения слева, а другой — умножения справа, то перестановочность выра»кается тождеством а(хр)=(ах)(), и общее значение обеих частой равенства обозначается просто ах(); зта запись оправдывает наименование рассматриваемой пары внешних законов двояко ассоциативной, что- в данном случае рассматривается как синоним «перестановочностн».
Н. Бурбаки гл. ц з 5 АЛГНВРАИЧБСКИЕ СТРУКТУРЫ 82 Перестаиовочность двух внешних законов сохраняется при факторизаг)ии и переходе к произведениям. П р и м е р ы. () Если Т вЂ” ассоциативный закон на множестве Е, то внешние ааконы композиции (а, Х) — ~- а ТХ и (Ь, Х) — ь ХТ З операторов из Е и множеств Хг Е перестановочны. 2) Внешний закон композицин (А, Х)-+А Х операторов Ас г-РХР и множеств Х~ЕХР переставовочен с внешним ааконом композиции(В, Х) ~ Х В операторов В г ЕХЕ имножествХг ЕХР. У п р а ж н е н и и. 1) Пусть (. — всюду определенный внутренний запои на Ь', двояко дистрибутивный относительно ассоциативного внутреннего закона Т; показать, что если х.).х' и у ).у' регулярны относительно закона Т, то х) у' перестановочно с у ) х' относительно этого закона.
(Вмчислить композицию (х Т У) ). (х' Т У') двуми различными способамн.) В частности, если закон .) обладает нейтральным элементом, то два элемента, регулярных относительно Т, перестановочны относительно етого закона; если все элементы из Е регулярны относительно Т, то этот закон коммутативен. 2) Пусть Т и ) †всю определенные внутренние заковы на множестве Р плевый внешний закон, порол<денный законом Л., дистрибутивен относительно Т .
а) Если закон Т обладает нейтральным элементом е, то иаково бы ни было хбЕ, х ) е есть идемпогепт относительно Т; если прн этом существует у таков, что х ) у регулярно относительно Т, то х ) с =с. б) Если закон ) обладает нейтральным элементом к и существует элемент з б Е, регулярный одновременно относительно обоих ааконов .).
и Т, то и регуллрен относительно Т . *3) Пусть Т н .). †всю определенные внутренние законы ва Е, обладающие каждый нейтралыпам алементом. Если левые внешние законы, порожденные законамн Т и ), дистрибутивны друг относительно друга, то все элементы нз Е налнются идемпотентами относительно каждого из атнх двух законов. (Пусть е — нейтральный элемент относительно Т и и †нейтральн элемент относительно,ь; докааать прежде всего, что е ) с=с, воспользовавшись тем, что с=с). (э Те).) 4) Пусть па множестве Е заданы три всюду определенных внутренних закона композиции: сложение (пе обнзательпо ассоциативное или коммутативкое), умножение (не обязательно ассоциативное) п некоторый закон Т.
Предположим, что умножение обладает ней- отыошпнпя мижду законами композпции 83 тральным элементом е, лто левый внешний закон, порожденный законом Т, днстрибутпвен относительно умножения и что правый внешний закон, порожденный законом Т, дистрнбутнвеи относнтельяо сложения. Показать, что если существуют х, у.
т, для которых хТ з, у Т з и (э+у) Т з регулярны относительно умножения, то е -ь е =-е. [Использовать упражяение йа.[ *5) Говорят, что всюду определеннын внутренний аакон компоаиции Т на Е определяет в Е структуру звагигрулльп если левый и правмй переносы у и Ь„являются для всех х6Е взаимно одноаначными отображениями Е на себя. Квазигруппа называется дисжрибутиввоп, если закон Т двояко днстрибутнвеп относительно самого себя. а) Определить все структуры дистрибутивном квазигруппы в множестве из л алементов, где 2<э< 6. б) 'Показать, что множество () рациональных чисел, наделенное 1 законом композиции (х, у) -з- —,(э+у), есть дистрибутивная квази- 2 группа,, в) Каждый алемент дистрибутивной квазпгруппы Е идемпотентен.
Вывести отсюда, что если Е содержит более одного элемента, то Т не может ни обладать нейтральным элементом, нн быть ассоциативным. г) Левые и правые переносы в Е являются автоморфизмами. д) Если Е конечно, то структура, индуцированная в каждом его устойчивом подмножестве, есть структура дистрибутивной квааигруппы. е) Вслв Š— отношение эквивалентности, согласующееся слеза (соответственпо справа) сТ, то классы шоб Я являются устойчивыми множествами.
Если Е кояечно, то все эти классы получаются из одного из них посредством левого (соответственно правого) переноса; при тех же условиях, если Я согласуется с Т, то факторструктура в Е)Е есть структура дистрибутивной квазигруппы. ж) Множество Ао всех элементов из Е, перестановочкых с заданным элементом а, устойчиво; если Е конечно, то для каждого х 6 А„ имеем Аз=А„[использУЯ д), ааметить, что сУтцествУет У6А„, для которого эбаТу[, я множества А„, где з пробегает Е, совпадают с классами эквивалентности но некоторому отношенизо, согласующемуся с Т. з) Если Е конечно, а Т коммутативен, то число элементов множества Е нечетно.
[Рассмотреть пары (х, у) элеыентов из Е, для которых кТу=уТя=а, где а задано.1 6) Пусть на множестве Е заданы (ассоциативное и коммутативное) сложение, относительно которого зсе элементы иа Е симметриауемы (иными словамн — закон композиции аддитивной группы)„и (ассо- 6* 84 АЛГНБРАИЧНСКИЕ СТРУКТУРЫ Гл. К т 6 циативное) умножение, двояко дистрибутивное относительно сложения; положим х у=ху — ух; закон х у двояко дистрибутивен относительно сложения. Для того чтобы х н у были перестаноночны относительно умножения, необходимо и достаточно, чтобы в«у=О; имеют место тождества х у= — (уох); хо(уо»)+у (» х)+х (хоу)=0 (второе иа которых иввестяо под наименованием «тождества Якоби»).
Второе тождество записана«тся также в виде х (у х) — (х у)ох=(с х) у, выражающем «отклонение закона х у от ассоциативности». 7) В тех же предположениях, что н в упражнении 6, положим хТу= хул-ух; тогда гаков Т коммутативен, двояко дистрибутивен относительно сложения, но вообще не ассоциативен. ол+л ол л а) Показать,что,каково бм ии было хбЕ, Тх=(Тх)Т(Тх). б) Положим [х, у, »] = (хТу)Т» — хТ(уТ») (отклонение закона Т от ассоциативности). Доказать тождества [х, у, «]+[э, у, х] =О, [х, у, х] + [у, г, х) + [в, х, у] =О, [хТу, и, х]=и ((хТу) а) (где х у имеет тот же смысл, что и в упражнении 6) и [хТу, и, х]+[уТх, и, х]+[«Тх, и, у]=0.