Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Действительно, ах — эндоморфизм группы 6, ибо х уз х ' = (хух ь) (хзх '). С другой стороны, так как отношение хух ' = и равносильно отношению у = х ~их, то для каждого и р 6 существует, и притом единственное, у такое, что а„(у) = и, иными словами, а„есть взаимно однозначное отображение группы 6 на себя. Тем самым а„— ее автоморфнзм. Автоморфизмы ах называются внутренними автоморфиэмами группы 6. При мультияликативяой записи группы С иногда пишут у" = а„-~ (у) = х 'ух.
Это обоэяачевие оправдывается (во соглашениям 4 5) тем, что отображение (х, у) -+ у*, рассматриваемое яак внвжниа закон композиции операторов х В С и элементов у ч С, дистрябутявво отвосвтельво группового закона для элементов у и ассоциативно относительно противоположного закона для операторов х — свойства, выражаемые тождествами (ху)а =ххух, хх" = (хь)>.
АлГеБРАические структуры гл кзб Однако мы будем пользоваться этим зкспояевцяальвым обозвачеввем лвшь когда опо яе сможет вызвать недоразумений, и притом каждый раз напоминая его смысл. Очевидно, автоморфнзм группы 6, и в частности внутренний автоморфизм, преобразует каждую ее подгруппу в изоморфную подгруппу; определение 3 означает, что подгруппа группы 6— нормальная, если она преобразуется в себя каждым внутренним автоморфнзмом группы. д. Промзведеэгмм гру пэг Замечавия, сделанные в п' 5 з 4, показывают, что произведение групповых структур является групповой структурой, что позволяет ввести следующее определение: Опгеделенпе б.
Нроивведением семейства групп (6„)ит называется произведение 6=ПС, семейства множеств (6,),у, наделенное сет групповой структурой, определяемой законом, относящим любым двум элементам х = (х,) и у = (у„) этого произведения элемент ху = (х,у,). Если Н, — подгруппы (соответственно нормальные подгруппы) групп 6„, то ИН„наделенное структурой, индуцированной из 6, КГ есть подгруппа (соответственно нормальная подгруппа) группы 6, изоморфная произведению групп Н,.
В частности, пусть 1~ 1 и К=СУ; произведение Сэ= [16„нзоморфно нормальной ~гз подгруппе С)=( ( С,) х( (( (еД) группы 6 и часто отождестм,г ге» вляется с пей посредством изоморфизма (назызаемого каноническим), относящего каждому элементу (х,),зэк Сэ элемент (у„)еы Е Сэ такой, что у„=-х„для всех срУ и у„=е, для всех г(У. Проекция ргэ группы 6 на 6э есть гомоморфнзм 6 на Сэ, 'прообраз нейтрального элемента группы Сэ относительно этого гомоморфизма есть не что иное, как 6», так что Сэ изоморфно 6/6», а 6 — произведению Сэ х(6/Сэ). Из определения 6 следует, что если У, и У,— два непересекающихся подмножества множества 1, то каждый элемент из Сэ, перестановочен с каждым элементом из Сэг ГРуппы и ГРуппы с ОпеРАтОРАми Предложение 4 з 4 дает здесь следующее: ПРедложение 5.
Нустпь 6, и 6.— еруппы и Н„Н, — их нормальные подгруппы. Каноническое отображение произведения факогоргрупп (бг/Е! ) Х (б (Н ) на факторгруппу (бг Х бз)!(Нз Х Нз) есть изоморфизм. Более общим образом, пусть (6„)„ы — произвольное семейство групп и 6= [16„— его произведение; пусть, далее, ~, для каж- ИГ дога с б 1 — нормальная подгруппа группы б, и ń— канонический гомоморфизм б„на 6,(Н,. Ясно, что отобраисенпе (х,) — (Е„(х,)) группы 6 в группу 6'= [(6,ЕН„есть сюръективный *) гомомормг физм, ядром которого служэ нормальная подгруппа Н= [(Н, гег группы 6; поэтому заключ ем (теорема 3), что 6ЕН канонически изоморфно 6'. Важным частным случаем произведения групп является группа, образованная всеми отображениями некоторого множества Е в группу 6, с композицией Ь=Еу отображений ! и у, определенной условием, что п(х) =- Е(х) д(х) для всех хбЕ; эта группа есть не что иное, как произведение 6 групп 6.
6. Прямое тгроизведеггие подгрупп Пусть 6= [1 бг — произведение конечного семейства групп 6;; ОИ о<Лп согласно предыдущему, 6, изоморфно нормальной подгруппе 6(=бгХ [~ (ег) группы 6 и прп г чьу каисдый элемент из 6; переэег стаповочен с каждым элементом из 6,'. Всякий элемент х= (х,) Е б представим в виде х=и,и, ...
и„, где иг=-(им) — элемент из 6 такой, что ии — — х, и и,.; = е, для всех Е ~ с; обратно, если х=осог ... и„, где о,.бб( (л(г(п), н рг;(ог)=у,, то х=(у,), откуда ус=х, и о,=и,.; таким образом„элементы из однозначно определяются заданием х; при этом х есть также композиция любой последовательности, получающейся из последовательности (иг)ьнгн„перестановкой членов (з 1, теореиа 3), з) Сюръектвввое отобрзжевве — отображение ва.— Перев. гл. 1,гс АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Введем следующее определение: Опгеделеннв 7. ЛХультипликативная группа С называвтся прямым произведением конечного семейства (Нз)1<1<„своих различных подгрупп, если при 1чь( каждый элемент из Н, перестановочен с каждым элем нтом из Н и если каждое хй 6 представимо, притом единственным способом, в виде х = и,иг, и, где иг р Н! (1 (1< и). Элемент иг назь1вается компонентой х в Н1.
Таким образом, можно сказать, что каждое произведение С= Ц С, конечного семейства групп есть прямое произведение 1<1<п подгрупп 6;., изоморфных 61. Обратно, допустим, что группа 6 есть пряное произведение семейства (Н1)1<1<п своих подгрупп. Для каждого х б 6 отпав!ение Хппи,иг...из, ГдЕИ1р Н,(1<1~(П), ПО ПрЕдПОЛОжЕНИЮ, ОдНОЗНаЧНО определяет элементы и,; положим и!=11(х).
Покажем, что 1!в гомоморфизм 6 на Н, Действительно, так как ЦН1)=Н„то 11 отображает 6 на Н, С другой стороны, если уРС,С!=11(у), у = о!ог... оп, то условие перестановочности подгрупп Н, влечет ху= (и!о!) (Иго!)... ( ипоп); в самом деле, достаточно доказать индукцией по р, что (и!иг ... и1,) (ого! ... РР) =(и!О!) (иго!) ...
(иго!,); а это очевидно, если заметить, что, согласно предложению 2 з 1, изо!ог... РР 1=о!ог... о„,ир, ОтсюДа слеДУет, что отобРажение х — + Ц! (х)) есть изоморфизм группы 6 на произведение групп 1( Ль, переводящий Нг в нормальную подгруппу Н; этого про1<1<п изведения, образованную теми и= (иг), в которых и;=е при у Ф 1, резюмируя, имеем: Пгедложение 6. Если группа 6 есть прямое произведение конечного семейства (Н;)!«;и своих подгрупп Нь, то последние 'являются ее норм льными подгруппами, и отображение, относящее каждому элементу и = (и1) произведения (( Н;.
групп Н; композийию ! <1<п и,и, ... ип последовательности (и,), есть (называемый каноническим) изоморфизм П Н, на 6. ! .<яп 97 ГРуппы и ГРуппы с опБРАТОРАми Основываясь на этом изоморфизме, часто не делают различия между понятиями произведения и прямого произведения конечного семейства подгрупп заданной группы. Если 6 — прямое произведение своих подгрупп Н (1(1(п), то из указанного изоморфизма явствует, что (Н»Н»... Н,,Н,, Н„)ПН,=(е) (1<1<к). Обратно: Пгвдложвпик 7. Если (Н,.)1, „— конечное семейстоо нормальных подгрупп группы 6, обладающее тем свойством, что (Н,Н, ... Нс) П Ны — — (е) (1 < г «( и — 1), то Н,Н, ...
Н есть нормальная подгруппа группы 6, явл ющаяся прямым произведением подгрупп Н,. Применение индукции по и сразу сводит в()прес к докааательству предложения для п=2. Покажем сначала, что любые два элемента хбН, и уйН» перестановочны; действительно, так как хух зу»=(хух з)у з=х(ух гу з), то (вследствие нормальностиподгрупп Н, и Н,) хух 'у 'б Н,()Ню т. е., в силу предположения, тух "у ' = е. Отсюда следует (согласно предложению 1), что Н,Н есть подгруппа группы 6, и непосредственно проверяется, что эта подгруппа — нормальная.
Пусть, наконец, ху=.х'у', где хсН,, х' С Н„у С Н, у' С Н;, тогда х' 'х = у'у ', значит, х' 'х с Н,() Н»= = (е), х' =х, и так же у' = у. Тем самым Н Н есть прямое произведение подгрупп Н, и Н,. Для аддитивных групп вместо впрямое произведение» употребляют термин прялюя сумма, у. Коз»му»пат»тгтсые ер»1»гпы: згоногевгные гр11»»ггы Опгвдвлвник 8. Группу называют коммутативной (илн абелевой), если ее загон композиции коммутативен. Коммутативпая группа будет часто записываться аддитивно, а ее нейтральный элемент обозначаться тогда 0 (и называться нулем). В коммутатнвной группе каждый внутренний автоморфизм сводится к тождественному и, значит, всякая подгруппа нормальна, 7 и.
Бзрбзни АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ гл. е т е' Всякая факторгруппа коммутативной группы коммутативна; всякое произведение коммутативных групп коммутативно. Пусть 6 — произвольная группа и А — ее подмножество, элементы которого попарно перестановочны; в силу доказанного выше предложения 2 и предложения 7 з 2, подгруппа группы 6, порожденная множеством А, коммутативна. Рассмотрим, в частности, тот случай, когда А сводится к одному элементу х; тогда подгруппа Х, порожденная множеством А, образована степенями х", где и пробегает з (предложение 2), и всегда коммутативна; в силу тождества х '" = х™х", отображение и — ~хв есть гозюморфизм аддитнвной грунина Х на Х; следовательно (теорема 3), Х изоморфна либо группе е, либо ее. факторгруппе, т.
е. (и'3) аддитивной группе целых чисел по модулю а, где а ) О; в этом последнем случае Х есть конечная группа, состоящая из а элементов. ОпРеделение 9. Группа называется льоногенной, если она порождается одним из своих элементов; конечная моногенная группа называется также циклической группой. Мы доказали следующее предложение: ПРРдложение 8. Моногенная груииа коммутативна; если она бесконечна, то она изоморфна аддитивной груиие е, рациональных целых чисел; если она — конечная группа порядка и, то она изоморфна аддитивной группе целых чисел по модулю и. Если (монотонная) подгруппа произвольной группы 6, порожденная элементом хр 6, имеет конечный порндок р, то х называют элементом р-го порядка; том самым р есть наименьшее целое чиспо ) О, для которого х"=-е; если подгруппа, порожденная элементом х, бесконечна, то х называют элементом бесконечного порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
