Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Способ образованна водгруппы, порождаемой множеством Х, точно описывается следующим предложением: Пгедложение 2. Подгруппа, порожденная непустым подмножеством Х группы 6, совпадает с устойчивым множеством У~, порожденным множеством У=Х()Х '. Действительно, У есть множество композиций всевозможных последовательностей, все члены которых — либо элементы из Х, либо обратны таким элементам; так как элемент, обратный композиции этого вида, снова есть композиция того же вида ($2, предложение 5), то (предложение т) У есть подгруппа группы 6; обратно, каждан подгруппа, содержащая Х, очевидно, содержит У, а потому и У 3.
Фсзтсиеорхруп паз Выясним, какие отношения эквивалентности согласуютсн с законом композиции группы. Согласно предложению 1 $4, достаточно рассмотреть отдельно согласованность слева н согласованность справа; вопрос решается следующей теоремой: Теогемь 1. Если отношение гквива ентности В в группе 6 согласуется слева (справа) с групповым законом, то оно равносильно отношению вида х 'ус Н (соответственно ух 'к Н), где Н вЂ” подгруппа группы 6.
Обратно, для любой подгруппы Н отношение х 'у к Н (соответственно ух ь Р Н) есть отношение эквивалентности, согласующееся слева (соответственно справа) с заданным в 6 групповым законом. Ограничимся рассмотрением того случая, когда отношение В согласуется слева с групповым законом (случай отношения, согла- ГРУппы и ГРуппы с опкРАТОРАми сующегося справа, получается отсюда переходом от 6 к противо- поло>иной группе). Отпал|ение у == — х (шод Л) равносильно отношению х 'у==е (шод Л), ибо у .== х влечет х ~у==-х гх и, обратно, х 1у= — е влечет х(х 'у):=-х. Таким образом, Л равносильно отношению х гу б Н, где Н вЂ” класс, образованный элементамн х = — е.
Покажем, что Н вЂ” подгруппа группы 6; для этого достаточно установить (предложенпе 1), что хб Н и уб Н влекут х 'у б Н, т. е. что х = — е и у= — е влекут хазу; но это вытекает из транзитивности отношения Л. Обратно, пусть Н вЂ” подгруппа группы 6; отношение х губ Н рефлексивно, поскольку х 'х= еб Н; оно симметрично, поскольку х 'у б Н влечет у гх = (х гу) 1 б Н; оно транзптнвво, ибо х 'у б Н н у 'г б Н влекут х 'з = (х 'у) (у зз) б Н; наконец, оно согласуется слева с законом композиции группы 6, ибо х 'у = (зх) '(зу) для любого зб 6. Отношение х 'у б Н (соответственно ух з б Н) записывается также в равносильной форме у б хН (соответственно у б Нх).
Таким образом, каньядан подгруппа Н группы 6 определяет два отношения квивалентноста в 6, а именно: у б хНв уй Нх; классами эквивалентности по этим отношениям служат соответственно множества хН, называемые левыми классами по Н (или по модулю Н), и множества Нх, называемые правыми классами по Н (илв по модулю Н). Насыщая множество А С 6 по этим отношениям (Теор. мн., Рез., $5, и' 6), получаем соответственно мноягества АН и НА. При переходе к противоположной группе каждая подгруппа Н остается подгруппой, причем левые классы превращаются в правые и обратно; при симметрии группы 6 каждаа ее подгруппа Н' отображается ва себя, а левые классы преобразуются в правые и обратно. Если число различных левых классов (шой Н) конечно, оно называется индексом подгруппы Н относительно 6 и обозначается (6:Н); оно равно также числу правых классов.
Если существует бесконечное множество различных левых классов, то Н называется подгруппой бесконечного индекса, Подгруппа К группы 6, содержащая Н, является объединением левых (равно как к правых) классов по Н; если при этом К— объединение конечного числа рааличных левых классов по Н т. е. индекс (К:Н) конечен), то и каждый левый класс по К есть АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ !,з6 объединение такого же числа различных левых классов по Н, ибо он получается из К путем левого переноса. В частности, имеет место Пгедложение 3.
Пусть Н и К вЂ” подгруппы группы 6, причем На К. Если индекс (6:Н) конечен, то та>свое индексы (6:К) и (К:Н) конечны и (2) Обратно, если (6:К) и (К:Н) конечнь>, то (6:Н) конечно и имеет место форл>ула (2). Следствие. Если 6 — конечная гру>>па порядка д и Н вЂ” ее подгруппа порядка Ь„то А (3) (в частности, порядок и индекс подгруппы ХХ являются делителями порядка группы 6). Теорема 1 позволяет охарактеризовать отношения эквивалентности, согласующиеся с групповым законом в 6: так как такое отношение Н согласуется с групповыаа законом одновроменно и слева и справа, то класс Н нейтраль>>ого элемента е (шайи) есть подгруппа, дчя которои отношения убхХХ и уРНх (будучи оба равносильнымн Н) равносашьны; таким образом, хН= Нх, каково бы ни было хб6.
Обратно, если зто условие выполнено, то оба отношения эквивалентности у б хН и у б Нх согласуются с групповым законом, поскольку онп согласуются с ним одновременно и слева и справа ($ 4, предложение 1). Принимая во внимание, что равенство хХХ= Пх эквивалентно равенству хХХх '= Н, вводим следующее определение: Опгеделение 3. Подгруппа Н группы 6 нагь>вается норлаольной (пли инвариант ной), если хНх а = Н для всех х б 6. Для уствяовлепия вормаяьносте подгруппы Н достаточно показать, что хНх ' С Н для всех х Р С; деяствагельво, тогда для всех х С С также х 'Пх С Н, т.
е. П >: хНх ', и, следовательно, Н=хНх '. Пусть Н вЂ” нормальная подгруппа группы 6 и Н вЂ” определяемое ею отношение эквивалентности уб хХХ; факторзакоп закона группы 6 по Н на фактормножестве 6>Н ассоциативен; класс ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ нейтрального элемента е группы 6 является нейтральным элементом относительно этого факторзакона, и классы двух взаимно обратных элементов нз 6 взаимно обратны относительно него (3 4, и' 3). Таким образом, резюмируя полученные результаты, имееы: Теогвма 2. Отношения эквивалентности, согласующиеся с законом группы 6,— это отношения вида уб хХХ, где Н вЂ” ее нормальная подгруппа (причем отношение уР хН для такой подгруппы Н равносильно отношению ур Нх); фаюпорструктура структурьь группы 6 по этому отношению есть структура группы. Опгеделкние 4.
Результат факторизации группы 6 по отношению эквивалентности, определяемому ее нормальной подгруппой Н, называется факторгруппой группы 6 по ХХ и обозначается 6!Н. Отношение эквивалентности, определяемое нормальной подгруппой Н группы 6, иногда записывают в виде х =" у (шой Н) нли х = у (Н) „факторзакон закона группы 6 по этому отношению часто для краткости называется факторзаконом закона группы 6 по Н. 3 а меч а н и я. $) Если Н вЂ” нормальная подгруппа группы С, то, каково бы ин было А ~ С, АН=НА; это — множество, получающееся путем насыщения множества Апоотношеннюх = — у(шоб Н), 2) Композицией любых двух элементов хН н УН фанторгруппы С/Н служит элемент хуН, равный композиции (хН) (УН) в Е (С), кбо НуН = у(у"'Ну) Н=у (НН) =УП.
Точно так же обратным к хН в С)Н служит влвмевт х 'Н, равный (хН) г, поскольку последнее есть не что иное, как Л гх ь=Нх '. 3) Если Н вЂ” нормальная подгруппа конечного индекса, то фактор- группа С!Н есть конечнан группа порядка (С:Н). П р име р. Если закон композицин группы С коммутатнвен, то хух '= у, каковы бы нн были х я у, так что всякая подгруппа группы С вЂ” нормальная; так обстоит дело, напркмер, для адднтивпой группы Е рациональных целых чксел. Ее подгрупвы были определены выше (и'2): это — множества ай, где аб2; отногзепне эквявалентности, определяемое подгруппой аЕ,— не что иное, как отношение х — у б аЕ, т.
е. сравнение"х =- у (шаба) 8 4, н'3): сравнения— единственные" отношения эквивалентности, согласующиеся со сложевием в 7.. При а ь О факторгруппа аддятнвной группы 7, по сравнению шод а называется аддатненоа орунноа рациональных целых но модулю а; это — нонечнаа группа порядка а, АЛГВБРАИЧКСКИК СТРУКТУРЫ РЛ, 1, $6 Подгруппы 6 и (е) каждой грушгы 6 — нормальные (а 6/6 и 6/(е) язоморфны соответственно (е) и 6); если это единственные нормальные подгруппы, то группу 6 называют простой..Пересечение всякого семейства нормальных подгрупп группы6 есть нормальная подгруппа; поэтому можно говорить о наименьшейнормальнойподгруп группы 6, содержа!цей мно!кество ХС 6.
Заметим, что (как мы убедимся на примерах) нормальная подгруппа К нормальной подгруппы Н группы 6 пе всегда есть нормальная подгруппа группы 6. !ь. Лредотавлеиия Общее определение представления Я 4, определение 7) приводит, в частности, в случае групп к следующему определению: Опввдклкнив 5. Пусть 6 — группа и 6' — множество, наделенное внутпренним законом композиции. Отображение / группы 6 в 6' называется представлением (или гомоморфизз!ом) 6 в 6', если (при мультипликативном обозначении заданных в 6 п 6' ааконов), какова! бы ни бьти х б 6 и у Р 6, /(х) /(у) определено и / (ху) = / (х) / (у).
Каноническое отображение группы 6 на ее факторгруппу 6/Н по нормальной подгруппе Н есть гомоморфизм; он называется каноническим гомоморфизмом 6 на 6/Н. Если / — гомоморфизм 6 в 6', то отношение /(х)=/(у) равносильно отношеннюДх 'у) =-/(е); поэтому общая теорема о гомовшрфизмах (т 4, теорема 1) в соединении с установленной выше теоремой 2 приводит к следующему результату: 'Аховвыь 3. Пусть / — представление группы 6 в множество 6', наделенное внутренним законом композиции.
Тогда / (6) есть группа (относительно закона, индуцированного нз 6') с нейтральным — ! злементом е' =/ (е). Прообраз Н=/ (е ) последнего есть нормальная подгруппа груииы 6 (называемая ядром представления /); группа /(6) (называемая образом представления /) изоморфна фактор- группе 6/Н, и представление / есть композиция канонического гомоморфизма 6 на 6/Н и инъективного гол!оморфизма 6/Н в 6'. 93 ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ Иными словами, каноническое разложение представления Х (Теор.
Мн., Роз., $5, и' 3) дает. "$' канонический гомоморфизм 6 на СУХ; 2' изоморфизм 6/ХХ на Х(6), называемый взаимно одно. эначным представлением, ассоциированным с Х; 3' каноническую инъекцию ((6) в 6' (ср. т 4, п' 4). Следуя снова з 4, мы будем называть представление группы 6 в себя эндоморфиэмом группы 6, и, как всегда, автоморфизмом группы 6 будет нзоморфизв1 6 на себя.
Коьшозиция двух эндоморфизмов группы 6 относительно закона (оу есть снова эндоморфизм этой группы; композиция двух автоморфнзмов группы 6 относительно того же закона, равно как н отображение, обратное к автоморфизму, есть автоморфизм группы 6. Иными словами, автоморфиэмы группы С образуют группу отвосительво закона )оу (см. $7). Пгедложение 4. Каков бы ни был элемент х группа 6, се отображение ах в себя, опредсляслюс формулой ах(у) =хух"ь, является автоморфиэмом этой группы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
