Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Заметим, что 6л П Н/ есть подгруппа н группы 6;, и группы Н-, поэтому (теорема 6) Сеы(6,()Н;) есть подгруппа группы 6;, содержащая С,,„и Н/„(С,ПН;) — подгруппа группы Н/, содержащая Н„,; если положить С(/ = С,.„(С, П Н ) (1 < /" < т — 1) и Е/у.,— — и, л(Слг)Е/)) (1</<и — 1), то 6(дь~ будет подгруппой группы 6.;,, 11;,;~ л — подгруппой группы //;; при этолл, в тех же обозначениях, 6 о =6,, С,'~=С;„, //;',о =Н,, Н;,= Н„,; поэтому доказываемая теорема будет непо- средственно вытекать из следующей леммы: Леммл (Цасенхауз).
Пусть Н, К вЂ” устойчивые подгруппы группы с операторами 6 и Н', К' — иа устойчивые нормальные подгруппы. Тогда П'(Н() К') есть нормальная подгруппа группы Н'(Н~~к), К'(КПН') — нормальная подгруппа группы К'(КДН), причем факторгруппы (и'(НПК))/(н (н(-)к )) (к' (к ( ) и))/(к (к и н')) иголюрфньь Согласно теореме 6, примененной к группе Н, Н'ПК=Н'() Д (Н П К) есть нормальная подгруппа группы ЕЕ ~ ~ К; точно так же К'~~Н есть нормальная подгруппа группы К~ЕЕ; поэтому (теорема 6) (Н' П К) (К' ( ) Н) есть нормальная подгруппа группы Н( ) К. Согласно следствию теоремы 6, примененному к группе Н, н (н Пк) (к е) и) = н (нп к ) гл.
Е1 и 108 АПГГБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ есть нормальная подгруппа группы Н'(НП К), а факторгруппа (Н' (НПК))((Н' (Н Г) К')) изоморфна (НПК)фН'() К) (К' Г) Н)). В эту последнюю факторгруппу Н иН', с одной стороны, К и К', с другой, входят симметрично; их перестановка приводит к сформулированному результату, н лемма доказана. Опгеделенпе 13. Рядом Жордана — Гельдера группы с операторами 6 будет называться ее строго убивающий композиционный ряд Х, не обладающий никакилз отличным от лего строго убывазощим уплотнением. Опгедгление 14. Группа с операторами 6 называется простой, если она не сводится к одному своему нейтральному элементу е и не обладает никакой устойчивой нормальной подгруппой, отличной от 6 и (е).
ПРедложение 12. Для того чтобы строго убывающий композиционный ряд группы с операторами 6 был ее рядом Жордана— Гельдера, необходимо и достаточно, чтобы все у)актеры этого ряда были простыми. Действительно, если строго убывающий номпозиционный ряд Х не есть ряд Жордана — Гельдера, то он обладает отличным от него строго убывающим уплотнением Х'. Значит, существуют два соседних члена 6,, 6гы ряда Х, не являющиеся соседними в Х', пусть Н вЂ” первый член, следующий за 6, в ~"'; Н есть устойчивая нормальная подгруппа группы с операторами 6,, содержащая 6;., и отличная от этой последней; поэтому Н)6,, есть устойчивая нормальная подгруппа группы с операторами 666,сы отличная от этой последней и от нейтрального элемента; тем самым 6„/6гы — не простая.
Обратно, если Х вЂ” строго убывающий коьтозиционный ряд, пыеющнй не простой фактор 6,/6он то этот фактор обладает устойчивой нормальной подгруппой, отличной от него самого н нейтрального элемента, и ее прообраз Н в 6з будет устойчивой нормальной подгруппой в 6,, отличной от 6г и 6сп (теорема 6); тогда достаточно вставить Н между 6, и 6,„,, чтобы получить строго убывающий композиционный ряд, отличный от рида Х и являющийся его уплотнением.
ГРуппы и ГРуппы с ОпеРАГОРАмн ТеОРемА 8 (Жордан — Гельдер). Любые два ряда Жордана— >"ельдера группа> с операгаорами эквивалентны. Пусть >', н лз — два ряда Жордана — Гельдера группы с опеоаторами 6; применение теоремы 7 дает два эквивалентных композиЦнонных РЯДа м>' и Аз', ЯвлЯюЩихсЯ соответственно Уплотнениями рядов 2)т и Хз) но так как эти последние — ряды Жордана— Гельдера, то А; либо совпадает с Г„либо получается нз А, повторением некоторых членов; поэтому ряд факторов для л; получается из ряда факторов для А~ путем добавления некоторого числа членов, нзоморфных группе (е); поскольку композиционный ряд Г, строго убывающий, его ряд факторов получается тогда иа ряда факторов для м, путем удаления всех членов последнего, изоморфпых (е). И то же ДлЯ Аз и >,. Так как РЯДЫ фактоРов композиционных рядов л; и мз' различаются (с точностью до изоморфизма) лишь порядком следования членов, то тогда то же верно для рндов факторов композиционных рядов Хт и мз, н теорема доказана.
Следствия. Пусть 6 — группа с операторами, обладающая рядом Иордана — Гельдера. Тогда любой ее строго убывающий комнезы>)ион>ьый рлд м допускает уплотнение, явля>ощееся рядом Жорда на — Гел ьдера. Действительно, пусть ме — ряд Жордана — Гельдера группы .6; согласно теореме 7, т н Ае обладают эквивалентньпш друг другу уплотнениями А' и Х,'; рассуждение, проведенное при доказательстве теоремы 8, показывает, что выбрасывание па м' повторяющихся членов дает ряд м'", эквивалентный Хе, и тем самым — ряд Жордана — Гельдера, поскольку все его факторы простые (предложенне 12); при этом, поскольку ряд Г строго убывающий, л" есть его уплотнение, и следствие доказано.
3 а и е ч а ни е. Не всякая группа с операторами С обладает рядом Жордапа — Гельдера. Примером может служить здцитивная группа Х рациональных целых чисел: (2"Х)зз зестьбесконечныйстрого убыва>ожнй ряд (нормальных) подгрупп группы Х каково бы нн было», р первых членов этого ряда вместе с группой (0) образуют строго убываю>пнй компоанцнонный ряд; если бы Х обладала рядом Жордана— Ггльдера, он содержал бы, по следствию теоремы 8, не менее р+1 членов, что в силу произвольности р невозможно. АЛГЕВРАИЧЕСКНЕ СТРУКТУРЫ ГЛ.1,1 и Папротнв, каждая лскю»»»ая группа с операторами 6 обладает рядом Жордана — Гельдера: достаточно применять иидукци>о по порядку группы 6 и заметить, что среди устойчивых нормальных подгрупп этой группы, отличных от нес, имеется максимальная Н„фактор- группа 6/Н» по которой тем самым простая.
С х о л и я. Если группа с операторами 6 обладает рядом Жордана — Гальдера, то число его факторов называют длиною 6; таким образом, простая группа есть группа длины». Если 6 н 6' — две нзоморфные группы с операторами и 6 обладает рядом Жордана — Гельдера, то это же верно для 6' и ряды Жордана— Гельдера для 6 и 6' злвилаленглны; в частности, длины 6 и 6' равны. Следует заь«етт»ть, что длина ряда факторов ряда Жордана— Гельдера группы 6 вообще не характериэуепт эту группу с точностью до иао>горфизма (см. упражнение 1). 3 а и е ч а н н е.
Все сказанное о произведениях групп и прямых произведениях подгрупп (и'п' 5 и 3) непосредственно распростра. кается на группы с операторами, если заменить всюду «группу» иа «группу с операторами>, а «подгруппу» — на «устойчивую подгруппу». У и р а ж н си н я. 1) Определить все грунповые структуры в множествах из и элементов, где 2 ~ п .с б (см.
» »2, упражнение 5) Определить подгруппы и факторгруппы этих групп, а также их ряды Жордана — Гельдера; показать, в частности, что существуют две неизоморфные группы четвертого порядка, факторы рядов Иордаяа— Гсльдера которых пзоморфны. "2) а) Ассоциативный закон (х, у) — » ху па множестве Х являетсв групповым законом, если существует е Р В такое, что ел =- л для всех л с В, н для всякого х й Ю существует л' й В такое, что х'л==е. (Рассмотрев композицию л'ли', показать, что зх'=е; вывестн отсюда, что е — нейтральный элемент.) б) Показать справедливость того же результата, если вс« левые переносы у„ к хотя бы один правый перенос б являются отображениями Е на В. (Воспользоваться предлоя<еяие»« 4 $ 2 для сведения к а) илн к упражнениям 11 и 13 ; '2.] 3) Каждое яепустое как«чкс«устойчивое подмножество группы 6 является ее подгруппой.
(О»». $ 2, упражнение 8.) 4) Пусть А и  — подгруппы группы 6. а) Показать, что наименьшая подгруппа, содержащая А и В (т. е. подгрупна, порожденная мяо>кество>» А Ц В), совпадает с множеством композиций всевозможных последовательностей (х, )» состоящих из (какого угодно) нечетного числа элементов и таких, что «ч й Л для нечетного 1 и г; е В длн четного ь ГРУПП|я И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ б) Для того чтобы ЛВ было подгруппой группы С (в таком случае это будет подгруппа, порожденная мнон|еством А Ц В), необходимо и достаточно, чтобы А и В были перестановочны, т, е. ЛВ=ВА. в) Если А и В перестановочны, то, какова бы ни была подгруппа С группм С, содержащая А, А перестановочпа с В () С и А (В (] С)= =С (] (АВ), б) Всякая подгруппа группы С, имеюп|ая индекс 2, нормальна. 8) Пусть (С ) — семейство нормальных подгрупп группы 6 такое, что () С =(е).
Показать, что С иаоморфна некоторой подгруппе произвеа денна и (С/6 ) факторгрупп С/С . 7) Если группа 6 есть прямое проиаведение своих подгрупп А и В, то каждая ее подгруппа Н, содержащая А, есть прямое произведенне А н Н () В. 8) Пусть Н вЂ” нормальная подгруппа группы С. Для того чтобы 6 была прямым произведением этой подгруппы Н и некоторой подгруппы К, необходимо и достаточно, чтобм существовало представление / группы 6 яа Н, при котором /(х)| я длп каждого х й Н. 9) Пусть 6 — коммутатквнаи группа и Н вЂ” ео подгруппа, для которой С/Н есть бесконечная моногенная группа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
