Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Показать, что в С каждая подгруппа нормальна и что пересечение ее подгрупп, отличных от (е,', есть подгруяпа, отличная от Се,'. Доказать, что йе ке изоморфна С,. *21) Пусть Š— мультнплнкативно записываемая неассоциативкан квазнгруппа (1 5, упрангненне 5), обладающая идемпотентом е в такая, что (ху) ( с) -(хз) (ус), каковы бы шг были х, у, е, с.
Обоаначим через и (х) элемент па Е, для которого и(х) е -х, и через и(х) — элемент, для которого еи(х)=х. Показать, что закон композиции (х, у)-г — . н(х) и (у) есть коммутатнввый групповой законкаЕ, для которого е служит нейтральным элементом, что отобразгенал х —. хе и у — и еу— персстапозочные эпдоморфнзмы этой групповой структуры и что ху= ;=и (хе) и (еу). (Вначале установить тоя<дества е (ху)=-(ех) (еу), (ху) е= =.-(хе) (уе), е (хе) =- (ех) е; далее при нять в о внимание, что отношении х —..у, ех=гу н хе=ус аквнвалентны.) Обращение. *22) Рассмотрим ип множестве Е ыультпплнкативно записываемый не есгиду определеннып внутренний закон, удовлетворясощий еле.
дующим условиям: 1'если одна из композиций (ху)з, х(уз) определена, то определена н другая и овп разны (см. б 1, упражнение 3); 2' если х, х', у таковы, что ху н х'гу (плн ух пух') определены и равны, то т=х', 3' длл каждого хРЕ сунСестаусот такие трн элемента е, е' и х ', что елх=х, хе',=х н х 'х=.е',; будам называть е .
левой едипицей для х, е„' — правой единицей для х, и х гг(допуссгая вольность речи)— элементом, обратным к х. а) Показать, что иомпознцнн хх ', х 'е„ е„'х ', е„е., е',ех определены н хх '=е„х'ех=-е'зг '=-х ', е,е„=ех, е„'еб=-ее б) 1(аждый пдемпотент е в Е (1 1, и' 4) является левой единицей для всех тех х, для которых ех определено, и правой единицей длн всох тих у, для которых ус определено. в) Для того чтобы была определена композиция ху, необходимо и достаточно, чтобы левая единица для у совпадала с правой единицей для х.
(При доказательстве достаточности условия воспользоваться соотиотекием е =уу '.) Если ху=з, то х 'з=-у, еу '=х, у сх с=з ", з'х=у ', уе '=х' (композиции, стоящие а левых частях, определены). г) Для любых двух идемпотентов е, е' нз Е обозначим через С е,м множество тех х б Е, для которых е служит левой, а е' — правой единицей. Показать, что С„, есть группа относительно индуцированного из Е закона. Е называется группиндим, если ояо удовлетворяет еще следующему условию: йс' каковы бы ни были пдемпотенты е, е', множество С. х не пусто.
д) Пусть Š— группонд и а б С, „,. Покааать, что х — и ха— взаимно однозначное отобрюкепие С,, на Се,„у — ау — взаимно Алгквгяичискик стРуктуРы гл.п16 однозначное отображение С,, на С,, и х-за 'ха — изоморфизм группы С,, на группу С, е) Показать, что закон, определенный в упражнении 4б $ 1, в случае, когда все множества семейства 5 равномощны, определяет а множестве Ч' структуру группонда. 23) а) Введем на проваведении ЕхЕ, где Š— проиавольиое множество, мультиплнкатнвно записываемый не всюду определенный закон, для которого композиция (х, у) и (у', з) определена лишь если у'=у, и имеет в этом случае значение (х, з). Показать, что ЕхЕ, наделенное этим законом композиции, есть группонд (упражнение 22).
б) Пусть (х, у) .: — (х', )г') (Л) — отношение эквивалентности, согласующееся с законом композиции, унааанным з а) (т. е. такое, что нз (х, у) ж (х', у') и (у, з) ш (у', з') следует (х, а) ш (х', з')); пусть Л удовлетворяет, кроме того, следугощему условию: каковы бы нн были *, у, с, существует, и притом только одно, г б Е такое, что (х, у) ш (з, 1), и существует и р Е такое, что (х, у): — (и, з). Показать, что в этих условиях факторструктура структуры группоида в ЕХЕ по Л есть структура группы.
(Доказать сначала, что факторзакоп всюду определен; затем, что если классы х, у, з удовлетворяют равенству ху=хз, то у=з; наконец, что (х, х) ш (у, у), каковы бы ни были хбЕ, уйЕ) в) Пусть С вЂ” группа, полученная в результате паделепия фактор- множества Ех Е по Л указанной структурой. Пусть, далее, а — произвольный элемент нз Е и )а(х) для каждого х б Е означает класс (а, х) шоб Л.
Показать, что )а — взаимно одяозначпое отображение Е на С и что отношение (х, у) == (х', у') эквивалентно отпошеивю (а (х) ((а (х )) ~=УЛу) (Уа (у )) Для коммутатнаностн группы С необходимо в достаточно, чтобы (х, у) ш (х', у') влекло (х, х') ш (у, у'). *24) Пусть Š— множество и ( — отображение Кх в Е, записываемое в виде ((хм ..„х„,)=х, ... х,„и удовлетворяющее следующим условиям: 1' имеет место тождество (х1" хп~) хт 1" хзт-1=хг(хз "хм+1) хм т .
хат-6 2' каковы бы ни были аы аэ, ..., а~ х — ь хагаз ... а„, в х — ~ а, ... азха ам ... а г (1 ~~ ( ~( и — 2), х-+ а,аэ ... ах гх — взаимно однозначные отображения Е на Е. а) Показать, что для всех индексов 1 таких, что 1 ( 1 ( т — 1, имеет место тождество (х1...х )х„, т...хз„, г=х~...х (х 1...х;,а)хг,а,~ ...хзм в И7 ГРУППЫ ПРВОБРАЗОВАЦИИ (Провести индукцию по 1, введя в рассмотрение элемент ((х1 ...
хт) х,и,1 ... х>т-1) агат . ат„>,) б) Каковыбывибылиа„а„..., а з,существует ибЕ такое, что Х= Хи,аз ... ат >и= иагие ... а 1Х тождественно относительно х. (Рассуждать, как в предложении 4 э 2.) в) Рассмотреть в множестве Е" всех последовательностей (и„ и, ..., иа) во й элементов из Ь' (( ~ й <1и — >) следующее отношение эквивалентности Ль. каковы бы нн были х„..., х ю и,ит ... и>,х1х> ... тт 1,=-1111 " "ьх1х>" хт-ь обозначим фактормнов>ество Еэу>а через Еа и «сумму» множеств Е1=Е, Е1, ° ° Ее1 1 (теор.
мн., Рез., З 4, и' 5) — через С. Пусть а б Е>, б б Е,; для любой последовательности (и„ии ..., иг) класса о н любой последовательности (и„и„..., э,) класса р рассмотрим последовательность (и„ит,,и>, и,, о>, ...,о) нз Е1'1', если 1+>'( и1, и последовательность (и1 и2 ''' и1+1 и1 (и1 1 В1 1''"ига1о2'''о>)) пз Е"1 '"", если г+>',х т. Показать, что класс этой последовательности в Е;„, (соответственво Е>„, „1) зависит только"от классов а н р; обозначим его а р. Покааать, что этим определен на С групповой аакон, что Н=Е , — нормальная подгруппа группы С н что С/Н есть циклическая группа порядка т — 4; доказать, наконец, что Е совпадает с классом по Н, порол>дающим С!Н, н что х,х,, х, есть ве что иное, как композиция последовательности (х„х>, ..., х,„) в группе С.
и 7. Группы преобразований 4. Грунньс тзреобразоагзний Как мы уже отмечали (5 6, и' 1), множество всех взаимно однозначных отображений множества Е на себя образует группу относительно закона композиции / е д; зта группа обозначается Бв и называется си.ил>ешрической группой (или группой всех подол>ановоп) множества Е. Если Е и е' — равномощные множества, 1р — взаимно однозначное отображение Е иа Е' и >)> — отображение, обратное >р, то отображение )' —: >ра/о>)> есть паол>орфизм симметрической группы Яв на симметрическую группу бк . Симметрическую группу интервала ((, и) множества Х натуральных чисел обозначают С„; зто — конечная группа порядка и); гл.1,17 АЛГЯБРЛИЧИСКИВ СТРУКТУРЫ симметрическая группа любого множества, состоящего из и эле- ментов, пзоморфпа Ят Опгкдсльпип у.
??одгруппы симлсетрической группы Ял называютсл группами подслуановок, или преобразований, множества Е. Чаще всего употребление терминов люруппа подстановок» и «симметрическая группа» ограничивают тем случаем, когда Е конечно; каждал группа подстановок мпонуества Я тогда конечна. Группы подстановок мпояуества Г, состоящего пз и злемептов, называются группамп подстановок суп«пес«и и. Примеры. 1) Знакопеременная группа.
Положим ӄ—... ) ') (у' — у) и образуем длл каждой подстановки л Е бп 1 <1(у<п произведение л (Ги) = Ц (л (у) — л (У)). Обозначал через» число 1< «(у'<п тех пар (с, у), для которых 1(1(у'(и и л(у) Рл(у) (называемое числом пнееРснй поДстановки л), имеем л (У ) =епуп, где ел=( — 1)» Каково быии было отображение у Н в 1» '(плв, более общим образом, в коммутатпвное кольцо)., имеет место И (((л(у»-?(. (П»=е. Г1 (?«) -?П)) 1<1(у<п 1<1(у<п Число еп называется си«натурой подстановки л; подстановку л называют четной нлв нечетной соответственно тому, будет ли ея равно +1 илн — 1. Тождественная подстановка ю (нейтральный элемент группы усп) — четная.
Транспсеивиеуу двух натуральных чисел с, у, удовлетворяющих неравенствам 1 (у (у (и, яазывается подстановка ТЕС„такая, что т(1) =у', т(у)= 1 и т(й) си для всех И, отлвчвых от у и у', транспозвцвя — нтуеупунап подстановка. Коли л я О- подстановки пз С„н а=ко, то О(У.) =ЕЕЛ(У ) =Е. Еспп откуда вытекает соотношение показывающее, что отображение л . е есть предста«пение Яп на мультнплнкатнвпую группу, образованную числами +1 п — 1. Множество всех четных подстановок пз <=и, будучи прообразом +1 при этом представлении, является нормальной подгруппой индекса 2 п1 (п следовательно, порядка —,,' ) группыбп; эта подгруппа называется енапеперслленнауг еруппсй степени и и обоаначзесся Е(п.
ГРУ>ГНЫ ПРКОБРАЗОНАНИИ Обозначим через т„где 1 <( (л- -1, травспозицию, меняющуи~ местами 1 и ~+1 и оставляющу>о все остальные целые из интервала 11,я) иа месте. Группа Чн нераяедаетея транеяегициени тг. Чтобы убедиться в этом, применим индукцию по я. Для л= — 1 предложевве очевидно. Пусть я — любая подстановка из ии и я(я)=д; если >г=л, то я принадлежит подгруппе в юе, образовэяиой подстановками, оставляющими я па месте; эта подгруппа отожзествима с Си ы таи что к ней применимо предполо кение индукции. Если же д( я, положим и'=- т„,та г... ть,>тая. По определению транспозиций, тогда я' (и)=я, и мы приходим к предыдущему случа>о. 2) Группы переносов произвольной группы, Леев>е иереяаеы у группы С (1 2, и' 2) явля>отея ее подстаиозками (1 2, предложение 3); мво>кество Г всех этих переносов есть груила подстановок группы С, игемарфная С.
Действительно, отображение а — ь уя группы С на Г есть лредетаеление (1 2, предложение Ц, и оно еваимно аднагначна, ибо отношение У.=Уа влечет Яе=-уе, т. е. а=у. Так же устававливается, что множество А всех правых перекосов группы С есть группа ее лодстановок, изоморфная группе, про тивоположяой С, а значит, и самой группе С.
'д) Движения образуют группу вреобразовавий евклидова пространства; яараляельные неренаеы образуют ее подгруппу, и то же верно для вращений вокруг фиксированной точки (см. главу 1Х). М. Предепгавг>е>етая группы в группу преобразований Если ф — инъектинный гомоморфнзм группы 6 в симметрическую группу Як множества Е, то ф(6) называется реализацией еруппы 6 в виде еруппы преобразований множества Е. Всякая группа 6 допускает реализации в виде групп преобразований, а именно групп ее перекосов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
