Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Из первой теоремы об изоморфнзме (9 4, теорема 2) следует, что каждое отношение эквивалентности в 6/Н, согласующееся со структурой этого однородного пространства, имеет вид о/В, где Я вЂ” отношение, согласующееся слева с законом группы в 6 и являющееся следствием Н; поэтому (9 6, теорема 1) Я имеет внд у ~ хК, где К вЂ” подгруппа группы 6, содержащая Н; и та же первая теорема об пзоморфвзме показывает, что факторструктура структуры однородного пространства С/Н по отношению Я/Н изоыорфна структуре однородного пространства 6/К. Резюмируя, имеем: Пгкдложкнив 4. Каждая факторструктура структуры однородного пространства С/Н, определяемого подгруппой Н группы 6, иэолюрфна структуре однородного пространства С/К, где К— подгруппа группы 6, содержащая Н; и обратно, каждая подгруппа К, содержащая Н, определяет факторструктуру структурьс однородного пространства 6/Н. Рассмотрим, в частности, структуру однородного пространства, определяемую в множестве Е транзнтивной группой Г его преобразований; согласно предыдущему, однородное пространство Е изоморфно Г/Л, где Л вЂ” подгруппа группы Г, оставляющая пнвариантным элемент а ч Е, и факторструктуры структуры этого однородного пространства находятся во взаислно однозначном соответствии с подгруппами 6 группы Г такими,чтоЛ С О С Г.
По крайней мере две такие подгруппы всегда имеются, а именно Л н Г; первая соответствует самому Е, а вторая — однородному пространству, сводящемуся к единственномусэлементу; если других подгрупп О, удовлетворяющих условиям Л С сс С: Г, не существует, то группу преобразований Г называют примитивной, в противном случае — импри.митивной. 9 и, Бурбаки гл.е $7 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Таким образом, сказать, что группа преобразований Г примитпвка, все равно, что сказать, что а является максимальным элементом множества всех подгрупп группы Г, отличных от Г. Пггдло;кение й. Для того чтобы трангитивная группа Г подстановок множества Е была импримитивной, необходимо и достаточно, чтобы существовало множество А С Е, содержащее более одного элемента, отличное от Е и такое, что, какова бы ни была подстановка и й Г, либо о(А) С А, либо А по(А) — —.
О. Попая ем сначала, что зто условие необходилго. Действительно, если, в преп<них обозначениях, существует подгруппа с), отличная от гь и Г и такая, что гь С О С Г, то она определяет в Е отношение эквивалентности В, согласующееся со структурой однородного пространства в Е, и классы эквивалентности по Л содержат более одного элемента и отличны от Е; для каждого из этих классов А также п(А), где о — любая подстановка пз Г, есть класс по В, н справедливость утверя<дения следует из того, что зти классы образуют разбиение множества Е.
Чтобы уоедиться в достаточности условия, заметим сначала, что, как следует из него, если подстановка и к Г удовлетворяет условию о(А) с А, то о (А) = А; действительно, тогда А ( и ' (А), значит, А по' '(А) ~ О, н следовательно, и "(Л) С А, так что А = о '(Л) = п(А). Отсюда сразу следует (теорема 1), что множество () тех подстаповок и р Г, для которых п(А) ~ Л (плп, что по предположению равносильно этому, для которых А По(А)Ф-Я), есть подгруппа группы Г. Эта подгруппа отлична от Г, ибо по условию А чь Е, а Г транзитпвна; она отлична и от гь, ибо А содержит по крайней мере один элемент Ъ ~ а, и для подстановки тй Г такой, что т(а)== Ь, имеем тангэ их(А)()А -со, т.
е. Тбй; следовательно, Г ямприагитпвна, Классы эквивалентности по отношению Л, соответству1ощему подгруппе Е, называются и вассами имиримитивноети группы Г, соответствующими этой подгруппе; это элементы однородного пространства, получающегося в результате факторизации Ь' по отпошеекге й (н изоморфнего Г/6). У и р а ж к е и н я, 1) Показать, что число элементов конечной группы С, сепряжеппых (и' 5) с ее элементом а, равно индексу его пормэлиэатора (З 6, упражнение $3) и, следовательно, является делителем порядка группы С. ГРУППЫ ПРКОБРАЗОВАЦИЙ *2) Число автоморфизмов конечной группы»-го порядка С !Ма не превосходит»ю" з. [Показать, что С обладает системой образующих (а„а„..., а ) такой что аг не принадлежит подгруппе, порожденной элементами ап ..., аг, (2 ( ~а г»); вывести отсюда, что 2»г(» и что число автоморфизмов группы 6 не превосходит»"'.[ 3) Пусть à — группа всех автоморфизмов, а Л вЂ” группа всех вяутренних автоморфизмов группы С; показать, что Л вЂ” нормальная подгруппа группы Г.
Для того чтобы авточорфизм и груипы С был перестановочен со всеми ее внутренними автоморфизмами, необходимо и достаточно, чтобы з 'и(х) принадлежало центру группы С для всех з б С; вывести отсюда, что если центр группы С сводится к одному нейтральному элементу, то это же верно и для централизатора (4 6, упраженение 13) подгруппы Л в Г. *4) а) Пусть С вЂ” простая некоымутативвая группа, à — группа всех ее автоморфиамов и Л вЂ” группа всех внутренних автоморфизмов группы С (изоморфная С).
Показать, что, каков бы яи был автоморфязм г группы Г, г(Л)= Л. [Используя предыдущее упражнение 3 и предложение 7 $6, заметить, что Л,"г(Л) не может сводиться к нейтральноиу элементу группы Г.) б) Показать, что единственный автоморфизм группы Г, оставляющий ипвариантяым каждый элемент из Л, — тождественный. [Записать, что, каковы бы ни были а ЕЛ и и б Г, этот автоморфиам оставляет инвариантными а и оао ', и воспользоваться упражнением 3.) в) Пусть г — автоморфизм группы Г, й — изоморфизм з -а, группы С на Л, г) — обратный ему иасморфизы и а — автоморфизм гр о год~ группы С; показать, что автонорфиам 3 — а 'г(З) о группы à — тождественный. [Использовать б), приняв во внимание, что г(а„) =а РО для всех х б С.) Вывести отсюда, что каждый автоморфизм группы à — внутренний.
*5) а) Пусть С вЂ” группа, Х вЂ” группа ее автоморфизмов и Г— группа левых переносов группы С (изоморфная С). Показать, что в симметрической группе СО пересечение ХД Г сводится к нейтральному элементу и ЮГ=ГЕ. Вывести отсюда, что Я=ГЕ есть подгруппа группы бо, ее называют гололорфол группы С. [См. $ 6, упражнение 4.) б) Показать, что à — нормальная подгруппа группы П и всякий автоморфизи группы Г имеет вид у — оуи ', где а б йй в) Группа Л всех правых иереносов группы С есть нормальная подгруппа группы (г, а Г;) Л является центром каждой из групп Г, Л.
г) Показать, что ьг есть нормализатор Я 6, упражнение $3) Г В ЮО. [Пусты — элемент нормализатора Гв Бо, положив ту т '=у <„, докааать, что и(г)=т(зи), где и=т '(г); далее, показать, что а есть автоморфиам группы С, и использовать в).) 9г гл.г,[7 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ д) Показать, что А — централнзатор (1 6, упражнение 13) Г в ьис.
6) а) Пусть (Е„) — разбиение множества Е и à — множество всех подстановок а этого множества таких, что п(Е„) С Е„для каждого индекса ь. Показать, что à — подгруппа группы ЯБ', обоаначая через Г, подгруппу группы Г, образованную теми подстановками а, для которых а(Е,)=Е„к п(х)=к для всех х~Е„, показать, что Г„изоморфна Се, а Г изоморфна произведению (1 Г,. б) Пусть а — произвольная подстановка множества Е и (Е„)— его разбиение, образованное классами интранзитивности моногенной подгрушьы группы Яе, порождаемой этой подстановкой. Коьтпоневта а, подстановки а в группе Г,, соответствуьощей Е,, порождает в втой группе мовогелпую подгруппу, травзнтивяую в ЕР и называетсн циклической кодстановкод иЛИ циклом; О, называютея циклическими комлоиеитами подстановки о.
Если число циклических компонент подстановки и, не сводяьцихся к тождественной подстановке, конечно, то а равна их произведешпо (в любом порядке, поскольку циклические компоненты подстановки попарно перестановочны). В случае, когда какое-нибудь Е„состоит из конечяого числа элементов, их можно расположить в конечную последовательность (аь),м, „так, чтобы ль.ь=-п(аь) (1 ь.с(л — 1) н а,=п(а„); соответствунацую циклическую комлоненту подстановки и обозначают тогда (а,ав... а„) и говорят, что ее длина равна л.
Для любой подстановки т из юе имеем т (аьаь... а„) т ь= (т (а,) т (аь) ... т (а )). (1) «7) а) Т1оказвть, по каждая подстановка из Яс есть произведение транспознцкй. [Индукцией по числу алементов, пе инвариантных относительно рассматриваемой подстановки.[ б) Вывести, что Яа порождается и — 1 транспозицнями (1 2), (1 3),..., (1 л), а также и — 1 транспоаициями (1 2), (2 3),..., (а — 1 л).[Воспользоваться формулой (1) упражнения 6.[ в) Вывести, что Яо порождается Эмгмя подстановками (1 2) и (1 2 3... л). [Тем ксе методом.) *8) а) Покааать, что каждая подстановка а 6 Я„есть произведение циклов длнвы 3 (не ивлиющихся, вообще говоря, ее компонентами).
[Доказать это утверждение для произведения двух транспозкций и использовать упражяенпе 7а.[ б) Вывести, что йк пороньдается и — 2 подстановками (1 2 3), (1 2 4),..., (1 2 л). [Восвользоваться формулой (1) упражнения 6.[ в) Вывести, что ос(а пРв нечетном л поРождаетсЯ двУмЯ подстановками (1 2 3) и (1 2... л), а при четном и — двумя подстановками(123) и(23...л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
