Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Если при этом А коммутативно, идеал Аа = аА, порожденный элементом а, обозначается (а) и называется главным идеалом.. Мы видели выше, что в кольце л. каждый идеал — елавньш. Пгедложкнчс 3. левый идеал кольца А, порожденный объединением семейства (а„)цг левых идеолог этого кольоа, есть лсножество всевозможных сулслс вида л, х„, где х,ч а„, а ХХ вЂ” конесные гЕН подленожества множества индексов 1. Как легко видеть, мпои ество всех сумм ~~ х, есть подгруппа нн аддитпвиой группы А, порояедепная объединением идеалов а,; действительно, достаточно заметить, что если х = ~ х„и у = г- и =- л. у,— две такие суммы, то, положив х, = — 0 прк ей ХХ и у = 0 гск прп г((К, моя<но написать х = „л' х„, у = ~ ~у„, а тогда Мнык санни х+ у =,.
(х, + у,), где х„+ у,ба„. С другой стороны, мййк для каждого г б А инеем где гх, б а,. 147 КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ Наконец, для каждого оператора а ка А таким же образом имеем сх ( ~ х,) =- ~~ ссх„где ах, б а,. сан сан Следствие. Наименьсиим левым идеалом, содержащилс конечное число левых идеалов а! (1~<1(п), служит их сумма ~ и! с=! По аналогии также левый идеал, порожденный объгдинепием бесконечного семейства (а!)ссг левых идеалов кольца А, называют сумлсой этого семеиства и обозначают ~ а, (см.
главу 11, 51). сэг Ясно, что левый идеал кольца А, порожденный произвольным множествоь! М с А, содержит левые идеалы а„порожденные любыми элементамп х Е М, и, таким образом, совпадает с суммой ~ а„. В частности: азы Пгвдложепие 4. В кольце А, обладающем единицей, левый идеал, поролсденный непустым множеством М с А, совпадает с множеством всех сумм вида ~ хсаг, где (а!) — проиэвольнас конечные семейства элементов из М, а х! — произвальньсе элементы из А. П р и м е р.
Идеал кольца Е, порожденный множеством, состоящим нз двух элементов т и л, есть сумма (т)+(о) главных идеалов, порожденных каждым из этих элементов; зак всякий идеал кольца Е, он совпадает с некоторым главным идеалом (сС) (сс р д), Но для того, чтобы главньш идеал (а) содержал т, необходимо и достаточно, чтобы а было делителем т.
Ыы видим таким ооразом, что все общие делители рациональных целых т и л являются делителями одного и того же с) б д, которое само есть общий делитель т и л. Следовательно, с(— наибольший из общих делителей )~ О чисел т н я!поэтому его называют явив»леша.ы об»там делителем (сокращенно: н. о. д.) т п п, и пы видим вместе с тем, что существуют (положнтельныо или отряцательные) целые р н д такяе, что б=.рт+ асс. Заметим, кстати, что наибозыпий идеал, содержащийся в идеалах (т) и (л), т. е. их пересечение (т) Г', (л), также совпадает с некоторым главным ндеалоч (г) (г б Х); аналогичное рассужденяе доказывает, что калсдое общее кратное рациональных целых т и а кратно г и что г — наименьшее пз общих кратных ) 0 чисел т и а; его называют яааменьшом оба!им кратным (и.
о. К.) т и л. Этн рассмотрения легко обобщзются на любое конечное число рациональных целых чисел (сы. главу У1). 10» с48 гл. г, 3 3 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ У. 2(аассстзмальтсьсе тсдеальс Опведеленпе 7. максимальным левым идеалом кольца А называется каждый максимальный элемент упорядоченного по включению множества всех левах идеалов кольца А, отличных от А. П р п м е р. Ыаксиьсальныйс идеал кольца Х вЂ” зто главный идеал (р), где Р > 1 есть целое число, не обладасощее никаким делителем д, удовлетворяющая неравенствам 1 < д < сс такое число называют простым; так, например, числа 2, 3, 5, 7 — простые.
Каждое целое в > 1 обладает простым делителем, ибо наимеиьшкй из делителей Ф1 числа л очевидно простой. Можно также сказать, что в 2 каждый идеал (и) чь 2 содержится в максимальном идеале; в такой форме зто предложеняе является частным случаем следующей общей теоремы: Теогема 2 (Круль). В кольце А с единицей каждый левый идеал, отличный от А, содержится в ма симальном левом идеале. В силу теоремы Цорна (Теор. мн., Рез., 2 6, и' 10) достаточно доказать, что множество т всех левых идеалов ~А, упорядоченное по включению, индуктивно, т. е., каково бы ни было соверисенно упорядоченное множество 9 с ' с)ч объединение пг всех входящих в него идеалов есть левый идеал ~ А. Но так как никакой идеал нз 9 не содержит единицы е кольца А, то в й пт; с другой стороны, так как каждое х р щ принадлежит некоторому аб сй, то зхй ос'гп и ахб а с щ дтя каждого гб А н каждого оператора сс на А; наконец, для любых двух элементов и и у из гп существуют идеалы а, й, принадлежащие со и такие, что х б а и у б й; так как один из этих идеалов содержит другой, то х — у ярннадленснт одному из идеалов а, (з н, следовательно, идеалу гп.
3 а м е ч а н и е. Теорема 2 уже не всегдабудет верка, еслинепредполагать, что А обладает единицей (см. упражнение 14б). 8. Гомонору)тсзлсьс колец Общие определения з 4 (и' 4) позволяют определить представление кольца А в множество А', наделенное структурой, гомологичной структуре, заданной в А ($4, и'1); это означает адесь, что заданная в А' структура определяется, с одной стороны, двумя внутренними законами, сопоставляемыми соответотвенно задан- З кольца и кольца с опь>гятоплми 149 ными на А сложению н умножению, н, с другой стороны, внешними законами, взаимно однозначно сопоставляемыми внешним законам кольца Л так, что соответственные законы имеют одну и ту же область операторов.
В этих условиях (при одинаковом обозначении соответственных законов) введем Опгвдвлкние 8. Отображение / кольца Л в множество Л', наделенное гомологичной структурой, называется представлением (или гомоморфизмом) Л в А', если, каково> бы ни были элементы хЕ А, уЕ Л и оператор и кольца А, композиции /(х) +/(у)„ /(х)/(у) и а/(х) определена>, причем /(х+у)=/(х)+/(у), /(ху)= =/(х)/(у), /(ах) = а/(х). Каноническое отображение кольца Л на его факторкольцо есть гомоморфизм, называемый каноническим.
В соединении с доказанной выше теоремой 1 теорема о гомоморфизмах (з 4, теорема 1) дает для колец следующий результат: Ткогеыя 3. Пусть / — представление кольца Л в множество А', наделенное гомологичной структурой. Тогда /(А) — кольцо (при индуцированной нз А' структуре), в котором ДО) есть нейтральный элемент относительно сложения (также обозначаемый О). -1 Прообраз а=/(О) этого нейтрального элемента есть двусторонний идеал кольца А; кольцо /(А) изоморфно факторкольцу Л/а, а представление / есть колспоаиция канонического гомоморфизма Л на А/а и инъективного гомоморфизма А/а в А'. П р и м е р.
Пусть А — кольцо без операторов, не сводящееся к О и обладающее единицей е; отображение л — ь ле есть представление кольца Е а А; следовательно, подкольцо кольца А, образованное элементами ле, иэоморфно факторкольцу Х/(д), где д — некоторое целое лО; е называется хараяя>срастаяоа кольца А (см. главу и, 1 1); если Е ) О, то его можно определить как наиыепьшее из целых чисел т ) О таких, что юх=О для каждого а Е А, о частности, кольцо Х/(я) имеет характеристику я. Пгкдложвннв 5. Пели а — обратимый элемент кольца А, то отображение х — ь аха ' есть автоморфизм этого кольца. Действительно, а(х+у)а '=аха '+ауа ', а(ху)а ' = = (аха т) (ауа >), и для каждого оператора и кольца Л, в силу (7) АЛГВВРАИЧКСКИИ СТРУКТУРЫ ГЛ Ь18 150 а(ах)а 1=а(ахи 1); с другой стороны, так как отношение у= =-аха ' равносильно отношению х=а 'уа, то х — ъ аха ' есть взаимно однозначное отображение А на себя.
Его называют внутренним автоморфизмом кольца А. 9. Подмольца тл мдеалы фазстпоутсольца Твогкмл 4. Пусть ~ — канонический гомоморфизм кольца А на его фапторнольцо А'=А/а по двустороннему идеалу а. -1 а) Прообраз В=~(В') подкольца В' кольца А' есть подколъцо кольца А, содержащее а; при етом В' =1(В) и кольцо В' изоморфно фапторкольцу В1'а. -1 б) Отно1иение В = 1(В') устанавливает взаимно однозначное соответствие между поднолъцами кольца А' и подкольцами кольца А, содержащими а. в) Капово бы ни было поднольцо В кольца А, В + а есть поднолъцо кольца А, а 1 (В) — подкольцо кольца А', изоморфное фактор- кольцам В/(ВДа) и (В+а)1а.
Непосредственная проверка показывает, что если В' — под- -1 кольцо кольца А', то В =-1(В') есть подкольцо кольца А и содержит а; так как 1 отображает А на А', то оно отображает В иа В', и значит, согласно теореме 3, В' изоморфно В1а; тем самым а) доказано. Обратно„если  — подкольцо кольца А, содержащее а, то В насыщено по сравнению шопа, значит, для В =1(В) имеем 1 В=~(В'), чем доказано б). Установим, наконец, справедливость утверждения в). Каково бы ни было подкольцо В кольца А, сужение 1 на В есть представление В в А', прячем прообразом нуля относительно етого представления является ВДа; следовательно, согласно теореме 3, 1(В) пзоморфно В/(ВДа). Множество В+а получается путем насыщения В по отношению х == у (а); согласно второй теореме об изоморфнзме (з 4., теорема 3), оно устойчиво относительно умножения н внешних законов кольца А н, будучи подгруппой аддитивной группы А, является подкольцом кольца А; вторая теорема об изоторфизмс показывает тогда, что (В+ а)!а изоморфно В((ВДа).
151 КОЛЫГА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ Теогема 5. Пусть г — канонический гомоморфизм кольца А на его фалторкольцо А' = А/а по двустороннему идеалу а. -1 а) Прообраз Ь=/(Ь') левого (соответственно правого) идеала Ь' кольца А' есть левый (соответственпо правый) идеал кольца А, содержащий а, причем Ь'=/ (Ь). -1 б) Отношение Ь =/ (Ь') устанавливает взаимно однозначное соотвегпствие между левыми (соответственно правыми) идеалами кольца А' и левыми (соответственно правыми) идеалами кольца А, содержащими а. Длл любых двух левых (соответственно правах) идеалов Ь' и с' кольца А' имеем /(Ь'+с')=/(Ь')+/(с'), /(Ь'Пс')=/(Ь')П/(с').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
