Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 34
Текст из файла (страница 34)
топ., главы 1У и У11!),, 2) В множестве Е. состоящем яз двух элементов, можно определить структуру тела, и притом [с точностью до перестановки) только одну. Действительно, один элемент из Е должен быть иейтральвмм элементом 0 авдитивяой группы, а другой в нейтральным элементом е мультипвикзтввкой группы. Аддитивнзя группа вполне определяется заданием е+е, которым может быть лишь 0; мультиплккотизязя группа сводится к е; наконец, должны иметь место рзвепствз е 0=0 «=0.
Легко видеть, что всем этим действительно определяется в Е структура (коммутативкого) тела. М..Подтгьели Пусть  — множество элементов кольца А, не сводящееся к О; для того чтобы В, наделенное индуцированной из А структурой, было телом, нужно прежде всего, чтобы В было подкольс)ом кольца А; кроме того, зто подкольцо должно обладать единицей в (не обязательно являющейся единицей кольца А) и каждый элемент х ~ О из В должен быть обратимым в В. Обратно, если эти условия выполнены, В есть тело; действительно, тогда множество В* его ненулевых элементов устойчиво относительно умножения Я 2, следствие 2 предложения 5) и предложение ! $ 6 показывает, что оно является группой.
Если А — тело, то условия, которым должно удовлетворять множество В С А, чтобы быть телом, упрощаются следующим образом: необходимо и достаточно, чтобы В было подкольцом в А, не сводящимся к О н содержащим элементы, обратные (в А) ко всевозможным своим ненулевым элементам (действительно, множество В*, будучи подгруппой группы Л*, должно содержать единицу тела Л). Более общим образом, если подкольцо В тела А ве сводится к 0 и обладает едииичяым злемеятом и, то и равяо единице е тела А, ибо из «'=и и а чь 0 следует и=-и а '=е. Подкольцо В тела К, являющееся телом, называют подтслом тела К, а К часто называется надтелом или расширением своего подтела В.
*) В главах !1 и У111 будут даны примеры иекоммутативвых тев. 11 и. вррбзкв АлгеБРАйческие стРуктуРы 162 Всякое пересечение подтел тела К снова есть его подтело; поэтому можно определить подтело, порожденное произвольным множеством ХС К, как наименьшее подтело тела К, содержащее Х. Пведложвнив 1. Множество всех элементов тела К, перестановочных с каждым элементом произвольного фиксированного множества М ~ К, есть подтело тела К. Действительно (з 8, предложение 2) это множество образует в К подкольцо; с другой стороны, если х Ф 0 перестановочно с гб М, то это же верно для х ' (з 2, предложение 6), и продложение доказано. Следствие. Центр тела К есть (коммутативное) подтело этого тела.
З. Гомо.ггорфтгзмьс гпел Пэедложение 2. Единственными левыми (соответственно правыми) идеалами тела К являются (0) и К. Действительно, если х чь 0 принадлежит левому идеалу а, то х гх=еб а, и значит, а= К. Теогемл 1. Если ( — гомолорфизм тела К в множество Е, наделенное гомологичной структурогл, то либо г (К) есть кольцо, сводящееся н О, либо г'(К) есть тело, а г — изоморфизм К но /(К) Действительно, прообраз ДО) элемента 0 кольца ~(К), как двусторонний идеал в К, совпадает с К или с (0), и справедливость утверждения теоремы следует из теоремы 3 з 8.
Предложение 2 допускает следующее обращение: Пгедлогквнпе 3. Если в зальце А, не сводящемся к 0 и обладаюгцем единицей, не существует ни одного левого идеала, отличного от (0) и А, то А — тело. Действительно, пусть х — произвольный ненулевой элемент пз А; так как А обладает единицей е, то левым идеален, порожденным элемеятом х, служит множество Ах; содержа х чь О, этот идеал совпадает с А. и значит, существует х' б А такое, что х'х = е.
Поскольку х' еь О, таким же рассуждением устанавливается суще- 163 ТЕЛА ствованне х" бА такого, что х"х' =е; следовательно, хх'=-гхх = = х'х хх' = х"ех = хох' = г, инымн словами, х есть элемент, обратный и х, н предложение доказано. 3 а м е ч а и в я. 1) 1)редложенле 3 теряет снлу, если пе предполагать, что Л обладает единицей (см. упражнение 3). 2) Некоммутативяое кольцо (с операторами) Л вполне может не иметь никакого доуосяороннего ядезла, отличного от (О) н Л, без того, чтобы быть телом (такпе кольца буду~ пзучаться в главе У)11). Иэ предложения 3 вытекает следующая теорема: Теонемя 2.
Пусть А — кольцо с единицей и а — его двусторонний идеал. для того чтобы факторколъцо А/а было телом, необходимо и достаточно, чтобы а было максимальннм левым идеалом кольца А. Действительно, А/а обладает единичным элементом, а сформулированное условие выражает в силу теоремы 5 З 3, что единственными левыми идеалами в А/а являются (0) и А/а. Отсюда ввдпо, е частности, что для того, чтобы кольцо Е/(р) было полем, необходимо я достаточно, чтобы р было яр«стим; тая, например, 7/(2) есть поле, состоящее яз двух злементое, язоморфкое полю пз двух элементов, определенному е и' 1.
я. Поле отнношеннй ноль«(ы це.«остпноепзи Поскольку каждый ненулевой элемент тела К обратны и„ значит, регулярвн относительно умножения, любое подкольцо в К есть кольцо без делителей нуля; в частности, всякое подкольцо поля есть кольцо целостности. Мы покажем, что и, обратно,.
каждое кольцо целостности может быть «погружено» в поле. Более общим образом: Пгедложение 4. Пусть А — ком,лутативног кольцо с операторами и А — результат еео спммгтризации относительно одного лишь умножения (з 2, теорема 1). а) В А можно определить, и притом только одну, структуру кольца с операторами, индуцирующую в А заданную структуру. б) Всякое представление / кольца с операторами А в кольцо с операторами А', переводящее каждый регулярный злгл«ент из А в обратимый элемент кольца А', молоко, и притом лишь единственным образом, продолжить до представления / А в А'. гл.
к19 АЛГИВРАИЧВСКИН СТРУКТУРЫ 164 а) Будем, как обычно, считать А погруженным в А; тогда каждый регулярный элемент нз А обратим в А н каждый элемент Х из А имеет вид —, гдехбА, УБА и у регулярен. ПопытаемсяопреУ' х, х делить сумму двух элементов - = — и з' =- —, из А таким обра- У У зом, чтобы определенное так сложение нндуцировало в А его аддитивньш закон, а заданное в Л умножение было дистрибутивно ху' , х'у относительно этого сложения; так как -=- —, и г'=- — '; —, то Уу УУ из этих требований с необходимостью следует, что г р "' =. — у Уу Обратно, покажем прежде всего, что определенный так элемент из А зависит только от з и з', по не от вх представления в форме дробей; действительно, если з=, то х,у =ху„значит, У1 х1У' э-х'ув ху' — '-х'у (х у' + х'у ) д = (ху'+ х'у) у„откуда Уву Уу Без труда устанавливается, что так определенное в А сложение ассоциативно н коммутативно, что каждый элемент э=в обладает противоположным з'= — п, наконец, что умножение У дистрибутивно озносительно этого сложения, так что эти два закона определяют в А структуру коммутативного кольца, являющуюся продолявенвем структуры коммутативногокольца, заданной в А.
Остается продолжить на А внешние законы кольца А так, чтобы по-прежнему выполнялись тождества (7) з 8; и это возможно здесь лишь единственным образом, нбо в силу указанного х условия, если а — оператор на А и з= —, то должно иметь Ч место равенство свз=. †. Определенный так элемент аг зависит только от а и з, но не от представления г в виде дроби, ибо если х'= —, то св (х,У) =и (хУ,), и значит, (ихв) У= (мх) У,'„а опРедеУв У ленный таким образом внешний закон действительно дистрибутивен относительно заданного ка А сложения и удовлетворяет тождествам (7) 9 8. 165 твлА б) Если рассматривать в А структуру, определяемую одним лишь умножением, то, как мы знаем (т 2, теорема 2), ~ продолжается единственным образом до представления 1 мновкества А, наделенного одним лишь умноясением, в А' (наделенное одним лишь увсножениевс); ~ определяется формулои Э (-" ) =т'(х) (/(у)) ".
'.У./ Остается проверить, что, каковы бы ни были грА, г'рА и оператор сс, 1(г-', г')=~(г)+Де') и ~(иг) =и((г); это не представляет труда. Опгвдвлвнив 2. Кольцом отношений (или кольцом дробей) коммутативного кольиа А называется колсмутативное кольцо, получаюсцееся путем наделения результата симметризации А кольца А (относительно одного лишь умножения) структурой, определенной в предложении 4. Пгвдложвпив 5. Кальво отношений А кольоа целостности А есть поле; оно называется полем отношений (или полем дробей) кольца целостноспси А. Действительно, поскольку каждый ненулевой элемент из А регулярен, каждый ненулевой элемент из А обратим (т 2, следствие теоремы 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
