Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Пэвдложеник 6. Если кольцо целостности А содержится в (не обязательно коммутатпвном) теле К, то множество всех элементов ху в иэ К, где х пробегает А, а у — мноэкество всех невсулевьсх элементов иг А, есть коммутативное подтело тела К, изоморсрное полю отношений кольца целостности А. Это — непосредственное следствие второй части предложения 4, примененной к тождественному отображению А на себя; представление А в К, получающееся путем продолжения, в силу теоремы 1 пеобходивсо является нзоморфизмом. 5. Поле рат1моналътеьсэс млеоел, Опгвдвлвник 3.
Полем рациональных чисел называют поле отношений кольца Х рациональных целых чиил; элементы этого полл, обозначаавого ф, называют рациональными числами. гл.к)9 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ В Е определено отношение порядка х ( у (т 2, пк 5), удовлетворяющее следующим двум условиям: а) х ( у влечет х+ г:-.
у+ - для всех е; б) структура порядка, определяемая отношением х(у, есть структура совершенно упорядоченного множества. Покажем, что в (1 можно определить отношение порядка, и притом только одно, по-прежнему удовлетворяющее этим двум условиями индуцнрующее вл первоначальное отношение порядка (см. главу т')). Действитольно, заметны преждо всего, что из отношения х ) О, в силу а), индукцней по р выводится, что рх ) 0 для каждого целого р ) 0; отсюда следует, что если и — целое > О, 1 то — >О: в противном случае, в силу б), мы имели бы — <О, я к 1 Г значит, — — > 0 и п.~ — — ) = — 1 > О, что абсурдно.
Поэтому к о заключаем, что если р и о — целые числа ) О, то рациональное число — = р.— ) 0; так как каисдое рациональное число может р 1 в т быть записано в виде ~, где рбХ, обХ*, то мы видим, что множество 1~, всех рациональных чисел >0 совпадает с ыиожеством всех чисел вида ~-, где рбХ, дб Хв. В силу а), отношение х(р должно быть эквивалентно отношению у — х>0: если существует отношение порядка в 1~, удовлетворяющее поставяенным требованиям, то оно необходимо эквивалентно отношеншо у — хб11„.
Обратно, легко видеть, что зто отношение действительно есть отношение порядка в (~, удовлетворяющее условиям а) н б) и индуцирующее в Х первоначально определенное отношение порядка. Говоря о Я как об упорядоченном множестве, мы всюду, где ие оговорено противное, будем иметь в виду определенное здесь отношение порядка. Рациональные числа > 0 (соответственно (О, ) О, ( 0) называются полохсительны.ли (соответственно отрш1ательными, строго положительными, строго отри цательными) *).
*) 11 здесь мы отклоняемся от обычной термвяологки, по которой положитеяьвое означает )О (см. 1 9. скоскт з и' б . 167 ТЕЛА Б силу определения отношения х» 0 в ((, отношения х>0, у>0 влекут ху>0; точно так же х>0 и у» 0 влекут ху~0, х < О и у= 0 влекут ху> 0 (правила знаков).
Отсюда, в частности, следует, что множество всех рациональных чисел > О, обозначаемое (~+в, является подгруппой мультипликативной группы Оа всех рациональных чисел ФО; так как каждое рациональноо число х ~ 0 представимо, и притом единстненным образом, в одной нз форм (+1)у, ( — 1)у, где у > О, то мы видим, что мультипликатннная группа ((а является прямым произведением подгрупп (1+ и ( — 1, л 1): компонента у числа х в (~* называетсн абсолюгпным значением х и обозначается ]х) (см. главу У); компонента х в ( — 1, + 1) (равная + 1, если х > О, и — 1, если х ( 0) называется знаком х и обозначается вяп х. Обычно этн две функции продолжают на все (], полагая ]0] —.=0 и зяп 0=0. У п р а ж н е и н н. 1) Какие нз кольцевых структур, определенных в упражнепнн 1 1 8, являются структурами тела? 2) Нвнеанвв кольцо без делителей нуля есть тело.
]1 2, упражнение 8.) еЗ) Пусть А — кольцо с операторамн, имеющее сволын еднпственнымн левыми ндеаламн (0) н А. Поназать, что либо А есть кольцо е нулевым квадратом (1 8, пв 1), а его адднтнвнан группа с операторами — ярааяая, лаба А есть тело. Отбросив первую из этих возыожностей, показать последовательно, что: а) существует а в А, длн которого Аа -' (0); б) существует е В А, для которого ее=а и е'=е; в) е — едннвца кольца А. ]Рассмотреть множество всех элементов х — хе, а затеи множество всех элементов х — ех, где я пробегает А.] 4) Поле О рациональных чисел не обладеет никаким подполеы, отличным от О. е5) Пусть Л вЂ” поле х арактернстнкн сь 2 и С вЂ” подгруппе его адднтнвной группы такая, что множество Н, составленное нз 0 н элементов, обратнмх всевозможным ненулевым элементам нз С, также есть подгруппа адднтнвной группы Л. Показать, что существуют элемент а С Л н подполе Л' поля Л талие, что С=-аЛ '.
]Усталоеить сначала, что если а, у принадлежат С н у се О, аа то — б С; вывести отсюда, что если х, у, е принадлежат С н - еь О. то — б С.] ху е гл. и 1 9 168 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 8) Пусть К вЂ” поле характеристики чь 2 и ) — отображение К Х1" в К такое что!(в+у)=)(з)+) (у) для любых я и у и )(з)) ( -)=1 для любого х чь О. Показать, что ) или — ! есть изоморфизм К ва его подполе. (Доказать, что ) (зз) =. (/(з))'.) *7) Пусть А — коммутативное кольцо с единицей н А — его кольцо отношений.
Для каждого множества 8 <: А, устойчивого относительно умножения и состоящего из регулярных элемеятов. обозначен через Ае подкольцо кольца А, образованное элементами — , где з пробегает А, а з пробегает о . а) !!деал кольца Ая,порожденный идеалом е кольца А, совпадает л с множеством оА8 всех влементов — ', где з пробегает а, а з пробегаетЯ. Каковы бы ии были идеалы а и Ь кольца А, (а+Ь)АЕ=оАЕ+ЬАЕ и (аГ\Ь) Ае=(аАе);)(ЬАв). б) если с — идеал кольца Ае, то (с ',А)Ая=с.
в) Голи а — идеал кольца А, то ас-(аАл)(!А; идеал (аАз)гзА есть множество тех элементов х б А, для каждого из которых существует з бе такое, что ел ба. г) Пусть а — идеал кольца А и ю — каноническое отображение А на А!а; для того чтобы злементы множества Т(8) были регулярны в А/а, яеобходимо н достаточно, чтобы (аАЕ)~А=а; факторкольцо АФ(аАе) изоморфно то~да (А!а) < Р д) Для того чтобы дополнение 8 к идеалу р кольца А было устовчиво относительно умножения, необходимо и достаточно, чтобы р был простым Я 8, упражнение 13); если А — кольцо целостности, то я/(рАе) есть поле, изоморфное полю отношений факторкольца А)р. *8) Пусть А — некоммутативное кольцо без делителей нуля.
Говорят, что А допускает юело левых отношений, если оно нзоморфно подкольцу А' некоторого тела К такому, что каждый алемент из К имеет вид з 'Р, где з б А', Р б А'. з) Пусть Аз — множество всех ненулевых элементов кольца Л. Для того чтобы А допускало тело левых отношений, необходимо, чтобы бмло выполнено следующее условие: (О) каковы бы ни были х Р А, л' б А*, существуют и б А* и о б А такие, что оя= ол'. б) Обратно, предположим, что условие (О) выполнено. Показать, что отношение В между элементами (х, з') и (у, у') произведения А ХА*: едля каждой пары (и, и) ненулевых алементов таких, что их'=гу'„ вьшолняатся равенство их= ьн> — есть отношение эквивалентности. Пусть (х, з') и (у, у') — элементы произведения А ХА*, й и соответственно — их классы шоб В.
Показать, что для каждой пары (и, и') бАХА* такой, что и'з=иу', класс шобЛ пары (иу, и'з') зависит лишь от З и тб обозначая его Сц, получим закон композиции в множестве К=(АХАз))Л. Пусть Кз — множество всех элементов ТЕЛА 169 из К, отличных от класса О элементов (О, х') С Л ХЛз. Наделенное аакояом, индуцированяым введенным ааконом композиции, К* есть группа. Для всякого х С А элементы (х'х, х'), где х' пробегает А *, образуют кяасс шод В. Отнесение этого класса элементу х определяет изоморфизм А (относительно одяого лить умножеяпя) на некоторое подкольцо в К. При отождествлении А с его образом при этом изоморфизме класс шоб В пары (х, х') С А ХЛ* отождествляется с алементом х' 'х.
Если теперь с=х' 'х,— элемеят иа К и 1 — единичный алемевт группы К*, то обозначим через З вЂ” '1 элемент х' ' (х-1-х'), не зависящий от представлении С в виде х' 'х. Положим, далее, с+О=С и $+г)=ц(ц '~+1) при г) -' О. Показать, что введенные так на К слозкение и умножение определяют в этом множестве структуру тела, являющуюся продолжением структуры кольца А; иными словами, условие (6) также достаточно для того, чтобы Л допускало тело левых отношений. 9) Пусть А — кольцо без делителей нуля. Для того чтобы А допускало тело левых отношений (упражнение 8), необходимо и достаточно, чтобы пересечение двух левых идеалов кольца А, отличных от (О), никогда не сводилось к О.
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВК 1 (Римские цифры относятся к библиографии, помещенной в конце настоящего очерка.) В математиие мало понятий, которые были бы первнчней понятия закона композиции; оно представляется неотделимым уже от самых зачаточных вычислений с натуральными числамк и измеряемыми величинами. Наиболее древние из дошедших до пас документов, относящихся к математике египтян и вавилонян, обнаруживают уже владение полной снстеиой правил вычислений с целыми числами ьО, рациональными числами) 9, длинами и площадями; хотя в дошедших до нас текстах рассматриваются лишь задачи с определенными числовыми даннымл *), зти тексты не оставляют нниаких сомнений в общности, приписывавшейся употребляемым правилам, и обнаруживают прямо-таки замечательное техническое мастерство в обращении с уравнениями первой и второй степенн ((1), стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
