Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 36
Текст из файла (страница 36)
179 и след.). Но при всем этом там пет н следа заботы пи об обосновании применяемых правил, нн о точном определении входящих в нпх операций: н те к другие сохраняют чисто эмпирический характер. Напротив, подобная забота уже весьма определенно проявляется у греков классической эпохи; правда, у них еще нет аисиоматической трактовки теории натуральных чисел (такая аксномэтизация появилась лишь в конце Х1Х века; см. Исторический очерк к главе 1У Книги 1); но во многих местах «Начал» Евклида даются формальные доказательства правил действий, столь же интуитивно <очевндных>, как правила действий над целыми числами ") Не следует забывать, что обозначеяие всех (известных и неизвестных) элементов алгебраической задачи буквами ввел в употребление лишь Вьета(Х71век).
Доэтого в алгебраических руководствах рассматривались лишь уравнения с числовыми коэффициентами; высказывая общее правило обращения с аналогичнмми уравнениями, автор формулировал его (и это было лучшее, что он мог сделать) словесно; при отсутствии явкой формулировки этого рода обладание таким правилом с большей или меньшей вероятностью обнаружявалось самим ходом выкладок в рассматриваомых числозых примерах. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 171 (например, коммутативностн нроиаведеиия двух рациональных чисел).
Наиболее замечательны доказательства этого рода, относящиеся к ж«ораз а«ли«ан, являющейся самым оригинальным творением греческой математики (и, как известно, эквивалентной нашей теории вещественных чисел) 0; см. Исторический очерк к главе 1У Книги 111): рассматривая, среди прочего, произведение двух отношений величин, Евклид доказывает, что оно не зависит от формы, в которой представлены этн отношения (первый пример «факторизации» закона композиции по отношению эквивалентности в смысле З 4), и что оно коммутативно ((Н), Книга У, предложения 22 — 23) *). Однако не следует скрывать, что этот прогресс в строгости сопровождается у Евклида застоем, а в некоторых отношениях даже понятным движением в том, что касается техники алгебраических вычислений. Подавлнющий перевес геометрии (дли целей которой явно задумана и теории величин) парализует всякое самостоятельное раавнтне алгебраической символики: элементы, входящие в вычисления, должны быть все время «представлены» геометрически; при этом участвующие в вычислениях законы композиции не определены на одном н том же множестве (сложение отношений в общем виде не определено, произведение же двух длин есть не длина, а площадь); проистекающая отсюда недостаточная гибкость делает оперирование с алгебраическими соотношениями выше второй степени почти невыпознимым.
Лишь на закате классической греческой математики мы видим Диофанта, который возвращается к традиции «логнстов», т. е. профессиональных вычислителей, продолжавших применять в прежнем виде правила, унаследованные от египтян и вавилонян: не стесненный более геометрическим представлением рассматриваемых им «чисел», он естественно приходит к разработке правил абстрактнмх алгебраических действии; так, например, он дает правила, каторые (на современном языке) равносильны формуле з"'"=»»»з" для небольших (положительных нли отрицательных) значений ж н п ((1П), т.
1, стр, 8 — 13); несколько дальше формулируется «правило знако⻠— первый зародыш действий над отрицательными числами «*); наконец, Диофант впервые употребляет буквенный символ для представления неизвестной уравнения. Но, в противовес атому, он отнюдь не кажется озабоченным увязкой методов, применяемых им для решения его задач, с какими-либо общимн идеями; аксиоматический же подход к законам композиции, подобный наметившемуся у Евклида, по-видимому, был чужд мышлению Диофанта, равно кан н его непосредственных продолжателей; он вновь появляется в алгебре лишь в начале Х!Х нека.
*) Правда, Евклид не дает в этом месте формального определения произведения двух отношений, а определение, находящееся в «Началах» несколько дальше (Книга У1, определение 5), считается позднейшей вставкой; тем не менее, он, коне шо, ннел совершенно ясное представление об этой операции и ее свойствах. **) Диофант не аннет отрицательных чисел; поэтому указанное правило можно истолковывать лишь нак относящееся к действиям над многочленами и позволяющее «раскрывать» произведения, подобные (а — Ь)(с — с1). 172 ИСТОРМЧКСККИ ОЧКРК ГЛ. 1 Потребовалось сначала, чтобы в течение промежуточных столетии, с одной стороны, развилась система алгебраических обозначений, пригодная для адекватного выражения абстрактных ааконов, а с другой — понятие «числа» настолько расширилось, чтобы наблюдение достаточно разнообразных частных случаев позволяло подыматьсядообщих понятий.
Для этих целей созданная греками акспоматнческая теория отношения величин была недостаточной, ибо она лишь уточняла интуитивное понятие вещественного числа )О н те операции над этими числами, которые в более смутной форме были известны еще вавилонянам; теперь же, напротив, дело касалось «чисел», о которых греки ие имели представления и которые вначале ие вызывали никаких наглядных «представлений»: с однои стороны, нуля и отрицательных чисел, ноявнвшихся в индийской математике в равнее средневековье, с другой стороны, мнимых чисел, этого творения итальянских алгебранстов Х >'1 века.
Если оставить в стороне нуль, которыя первоначально появился как нумерационный символ н лишь потом стал рассматриваться как число (см. Исторический очерк к главе П1 Книги 1), общим у всех этих расширений понятия числа был (яо крайней мере вначале) нх чисто еформальный» характер. Под этим следует понимать, что новые «числа» появлялись первоначально как результаты операций, примененных в условиях, где этн операции не имеют, если придерживаться их точного определения, никакого смысла (например, разность а — Ь двух натуральных чисел, когда а( Ь); отсюда и прксваивавшиеся нм наименования чисел «ложных», «фиктивных», «абсурдных», «невозможных>, «мнимых» и т.
д. Грекаы классической эпохи, увлеченным прежде всего ясностью мысли, подобные расширения были недоступны; они могли возннкнуть только у вычислителей, в противоположность грекам более склонных н несколько мистической вере в мощь своих методов («общность анализа», как скажут в Х«'П1 веке) и позволявших увлечь себя ыеханнзму вычислений, не проверяя обоснованности каждого его шага; впрочем, вта вера чаще всего оправдывалась апостериори точными результатаин, к которым приводило распространение на этк новые математические создании вычислительных правил, строго говоря, применимых лишь к ранее навестным числам. Вот почему эти обобщения понятия числа, вначале встречавшиеся лишь в виде нромежуточиых авеньев цепи операций, исходным пунктом которой и окончательным результатом были настоя»дне «чнсла», понемногу стали все смелее рассматривать сами по себе (независимо ни от каких применений к конкретным вычислениям); а отважившись однажды на этот шаг, начали искать более илн менее осязаемые истолкования новых созданий, приобретших таким путем право гражданства в математине *) .
*) Впрочем, зти иаысканнн составили лишь переходный этап в эволюции рассматриваемых понятий; с середины Х1Х века вновь вернулись, на этот раз вполне сознательно, к формальной концепции различных расширений понятия числа, и она заверя»плесь включением в «формалистскую» и аксиоматическую точку зрения, господству>ощую в современной математике.
173 ИСТОРИЧЕС!СИИ ОЧРРК В этом отношении уже индийцам было известно истолкование, котороо в некоторых случаях следует давать отрицательным числам (например, как -!олга в задачах коммерческого характера). В последу»ощпе века, помере проникновения на Запад (через посредство арабов) методов и результатов греческой и индийской матеыатнки, все больше осваиваются с оперированием атнми числами и начипа»от находить другие их «представления», геометрического илн кннематпческого характера.
Вот, собственно, вместе г прогрессировавшим улучшением алгебраической символики, и все заметные успехи алгебры в конце средних веков. В начале ХЧ1 века алгебра познает новый подъем, вызванный открытием математяками итальянской шкоды решення уравнения третьей, а затем и четвертой степени «в радикалах> (о чем подробнее будет сказано в Историческом очерке к главе Ч); в связи с этим онп были, так сказать, вынуждены, несмотря на все отвращение, ввести в свои вычисления мнимые числа; впрочем, мало-помалу возникает доверие к вычислениям с этими «невозможными» числами, как н к вычислениям с отрицательными, хотя в течение более чем .!зух веков не было пр»щумано для инх никакого «предстазления».
С другой стороны, Вьета и Декарт вносит в алгебраическу«о символику решающие усовершенствования; начиная с Декарта, алгебраическое правоппсание, с точностью до незначительных деталей, приобретает уже современный нам вид. С середины ХЧ11 и до конца ХЧ1Н века обширные горизонты, открытые созданием исчисления бесконечно малых, по-видимому, несколько отодвигают на задний план алгебру вообще и особенно математическое исследование законов композиции илн природы вещественных и комплексных чисел *).
Так, например, сложение сил и сложение скоростей, хорошо известные емеханике скопца ХЧ11 века, не нашли в алгебре никакого отражения, хотя и содержали уже в зародыше векторное исчисление. В самом деле, пришлось ждать идейного движения, приведшего примерно в 1ЗОО г. к геометрическому представленшо комплексных чисел (см, Исторический очерк к главе Ч1!1 Книги 1П), чтобы в чистой математике появилось сложение векторов *«). К этому же времени понятие закона компоаицни, впервые э алгебре, распространяется, в двух различных напразленинх, на элементы,име»ощие уже с «числамп» (в наиболее широком смысле, придававшемся н тому времени *) Следует оставить в стороне попытки Лейбница, с одной стороны, придать алгебраическую форму умозаключениям формальной логики, с другой— создать «геометрическое исчисление», оперирующее прямо с геометрическими элементами, без посредства координат ((1Ч), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
