Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 33
Текст из файла (страница 33)
10) Двусторонний идеал кольца А, порожденный элементами зэ7 — ух, где з и у пробегают А, есть наименьший из двустороняих идеалов с таких, что А!с коммутатнвно. 11) Пусть (с ) — семейство двусторонних идеалов кольца А, для которого () а„=(О). Показать, что А изоморфно подкольцу а произведения ) ( (А!а„). е12) Двусторонний идеал с кольца А называется нглривсдимым, если ве существует пары двусторонних идеалов Ь, с, отличных от с и таких, что а=Ь()с. а) Показать, что пересечение всех неприводимых идеалов кольца А сводится к О.
(Заметить, что множество всех двусторонних идеалов, не содержащих элемента а ~ О, яндуктивно, и применить теорему Цорса.) б) Вывести отсюда, что каждый двусторонний идеал кольца А есть пересечение всех содержащих его непрнводимых идеалов. (Использовать теорему 8.) КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАЫИ 157 з13) Идеал р коммутатнвного кольца А, отличный от А, называют врестьым если факторкольцо А/р есть кольцо целостности (иными словами, если отнозтения кар, у([р влекут му ( р).
з) Если А обладает единицей, то каждый максимальный идеал а в А — простой. [Заметить, что в факторкольце А/а идеал, порожденный любым ненулевым элементом, совпадает с А/а, и вывести отсюда, что каждый ненулевой элемент иа А/а обратим.) б) Каждый простой идеал непрнводим (упражнение 12). в) Если множество О всех простых Ш!еалоз, содержащих ааданный идеал э А, не пусто (что всегда верно, когда А обладает единицей), то оно илдуктизно по отношению уд если А обладает единицей, то О индуктввно по отношению ! г) Пусть а — произвольный идеал ~А и Ь вЂ” множество тех з Г А, у которых некоторан степень хз З а (где л зависит от х).
Показать, что Ь вЂ” идеал и что, если Ь чь А, пересечение всех простых идеалов, содержащих а, совпадает с Ь. [Заметить, что для а([Ь множество всех идеалов, содержащих а, но не содержазцих пикакон степени а", индуктивно по отношению С, и доказать, что всякий максимальный элемент р этого множества — простой.) 14) Прн структуре кольца с нулевым квадратом (и* 1, пример П[), определе!шой в заданной коммутативной группе С, идеалы кольца С совпадают с подгруппами аддитивной группы С. а) Примем за С аддитивную группу й/(р) целых чисел по простому модул!о р. Показать, что в кольце С с нулевым квадратом идеал (0)— максимальный, но не простой.
'б) Примем аа С подгруппу адднтивпой группы фХ рациональных чисел по модулю 1, образованную классами (ше) 1) рациональных чисел вида /г/р", где з и а — произвольные целые О, а р — фиксированное простое число. Показать, что каждая подгруппа группы С имеет вяд С„, где ф— множество всех классов (шо![ 1) чисел вида л/рв с фнкснровашгым л 0 и произвольным З.
Вывестн отсюда, что в кольце С с нулевым квадратом пе существует нп максимальных, ни простых идеалов, в) Приняв за С аддитивпую группу Х рациональных целых чисел, прпвестн пример идеала в пронаведепни СХ С кольца С с нулевым квадратом на самого себя, который не совпадал бы с произведением своих проекций на кольца-сомножптели. 15) Пусть А — кольцо с единицей е. Если оно является прямой суммой конечного числа своих левых идеалов [! (1 ( ! ~( и) и е = з = г,' е! (е! б(!), тост! — — ем еге/=0 при ! чь /' и [!=Аз!. [Записать, 4=! что э=хе для калщого х б А.) Обратно, если е; (1~(! (л! — л и идемпотентов таких, что е!е =0 при ! чь /' и е=~ е!, то А есть !=! Алгнвглнческик ствунтугы гп, к Ь Ь прямая сумма л левых идеалов Аеы Для того чтобы все эти идеалы Ле, были двусторонними, необходимо и достаточно, чтобы все ее прннадлежалн центру кольца А.
[Использовать предложение 7.] *16) Пусть е — идемпотент кольца А. а) Показать, что А есть прямая сумма левого идеала а=Ас и левого аннулятора б элемента е. [Заыетить, что, каково бы ни было кЕА, к — кеб Ь.] б) Каждый правый идеал Ъ кольца А есть прямая сумма ЬГ)е (правого идеала подкольца а) и Ь [б (правого идеала подкольца б). в) Если Ае=еА, то е есть единичный элемент подкольца е, б— двусторонний идеал пальца А и А — прямая композиция подколец а и Ь; каждый левый (соответственно правый) идеал е кольца А есть прямая сумма левых (соответственно правых) идеалов с[)а н сааб втого кольца.
*17) Пусть А — кольцо с единицей е. Если центр С кольца Л есть прямая композиция подколец С; (1 ( 1 ( л), то А есть прямая композиции порожденных ими двусторонних идеалов а;. [Для доказательства того, что А есть сумма идеалов аы воспольаоваться тем, что кажДое кРА пРеДставимо в виДе к=те=~ хе;, гДе ег — едиг=! нвчпый элемент подкольца СП чтобы убедиться в том, что эта сумма— прямая, показать, что, каково бы ни было з б а;, зе; = з и зе, = 0 для всех >'-.р-[]. е18) Кольцо без операторов А называют булееским кольцом, если каждый его элемент идемпотентен (нными словами, если нек н для каждого к б А). а) Показать, что если для любых А 1 Е, В Г Е положить АВ= =А1В н Л-[-В=(А()СВ)[ (В )СА), то этны в множестве ф(Е) всех подмножеств множества Г определится структура булевского кольца.
Это кольцо нзоморфво польцу Кн всех отображений Е в кольцо К=ЕД2) целых чисел по модулю 2. [1'ассыотреть для каждого Х ~ Е его ехарактерпстическую функцшо» ~[х, определяемую условяямп ~ух (х) — — 1, если ибХ, н ~рх (к)=0, если хйХ.] б) Каждое буленское кольцо А коммутативно и имеет характеристику 2. [Записать, что н+н — ндеыпотснт, а затем, что х-[-у— идеыпотент.] в) Г>улевгкое кольцо А без делителей нуля сводится к 0 кли пзонорфко 2~(2). [Понааать, что ку (к ' у) =О для любых двух элементов к и у нз Л.] Вывести отсюда, что в булевском кольце каждый простой идеал (упражнение 13) — максимальный.
г) Каждый идеал а булевского кольца А, отличный от А, есть пересечение содерзкащих его простых идеалов. [Применить упражнение 13г.] Вывести отсюда, что каждый неприводныый идеал кольца А (упражненве 12) — максимальный (тем самым для булевского кольца КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПКРАТОРАЫИ понятия неприводимого идеала, простого идеала и максимального идеала совладают). д) Показать, что каждое булевское кольцо изоморфно подкольцу произведения кь, где к=2/(2).
(использовать г) и упражнение 11.) е) Пусть р; (1 ( / ( л) — л различных максимальных идеалов булевского кольца А и а= д рм Показать, что А/а нзоморфно Кв. 1<сап (Индукцией по л,находя максимальные идеалы кольца Ка с помощью предложения 6.) Вывести отсюда, что каждое конечное булонское кольцо есть кольцо вида К". ж) В булевском кольце А отношение ху=-х есть от~гашение порядка; будем обозначать его х ( у ($ 1, упражнение 15); показать, что А — дистрибутивная решетка (Теор.
мн., гл. 1П, 1 1, упражнение 16), обладающая наименьшим элементом а, и что для каждой пары (х, у) ее элементов таких, что х ( у, существует элемент с/ (х, у), для которого (л/(х, д(х, у))=п, зпр(х, с/(х, у))=у. Обратно, показать, что если днстрнбутивная решетка А обладает указанными свойствами, то заноны композиции ау=~в((х, у) и х )-у/ д()п((х, у), зпр(х, у)) определяют в А структуру булевского кольца. 19) йолькеидаш называется множество Е, наделенное двумя внутренянмн законамн композиции: а) всюду определеяным ассоциативным умножением ху; б) аддктнвно аапнсмваемым не всюду елрсделенкььи законом, удовлетворяющивс следующим условиям: 1' оп лошмушатиеем (ннымп словамн, если х( у определено, то определено такзке у+х, и х+у= у+а; мы будем в этом случае говорить, что х и у суммирус.еы); 2' еслл х н у суъткруемы, то для того, чтобы х+// и х бьгли суммируемы, необходимо и достаточно, чтобы были суммируемы как х и з, так у и з; тогда также х н у+ з суммируемы и (х+у)+ з=х+(у+ а); 3' существует нейтральнып элемент О; 4' если как х н х, так у и с суммируемы и х+х.—.у+с, то х=у; 5' умножение двояко дкстрнбутпвко относительно сложения.
Иаясдое кольцо есть кольцонд; для того чтобы кольпонд, имеющий единичный элемент е, был кольцом, пеобходяио и достаточно, чтобы существовал элемент х такой, что х и е суммируемы и с+с=О. Исследовать, как распространяются на кольцонды определения и результаты 1 8 и прпведеепых выше упражнений (левым идеалом кольцовда Е назьсвается множество а Г Е, устойчивое относительно слознения и удовлетворяюьцее условию Еа Г а). 26) Пусть С вЂ” группа с операторами, а / и у — ее зкдовшрфнзмы. Для того чтобы отображение х —. /(х) у (а) также было ее эндоморфизмом, необходимо п достаточно, чтобы каждын элемент подгруппы / (С) был перестаповочен с каждым элеыентом подгруппы у (С); обозначая тогда этот эндоморфнзм через /+д, а композицию х — /(д(х)) эндоморфнзмов у и / через /у, показать, что множество Е всех эндомор- 160 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ гл е~й фи»мое группы с операторами С, наделенное этими двумя аакопами композиции, есть вельцеид с единицей (упражиение (9); для того чтобы Н было кольцом, необходимо и достаточно, чтобы группа С была коммутативпа.
Для того чтобы элемент ) Р Л' был суммируемьгм со всеми элементами из Н, необходимо и достаточно, чтобы )(С) содержалось в центре группы С; множество Л всех таких экдоморфизмов есть лольче, называемое ядром кольцоида Н, Эвдоморфизм 1 группы с операторами С называется нормальным, если ои перестаповочен со всеми ее внутренними автоморфиамами; какова бм ии была устойчивая нормальная подгруппа Н группы С, тогда и )(Н) будет устойчивой нормальной подгруппой этой группы. Показать, что множество В всех пормальяых звдоморфизмов группы с операторами С образует подкольцовд кольцопда в, а ядро Л есть двусторонний идеал кольцоида Л. $9. Тела .л.
Жела и тема е операторами Опгеделение 1. Телом называется кольцо К, множество ненулевых элементов которого образует группу относительно гапона, индуцированного заданным на К умножением. Кольцо с операторами К, обладающее этим свойством, называется телом с операторами. Так же как и для колец, мы в случае отсутствия опасности путаницы выесто «тело с оператораыи» будем говорить просто «тело». Множество ненулевых элементов тела К будет обычно обозначаться К*; наделенное групповой структурой, определяемой в нем заданным на К умножением, опо называется мультипликатигной группой тела К.
Будучи по самому определению группой, Ке не пусто; его нейтральный элемент е является единичным глг.кентом тела К; так как он чь О, то тело содержит по крайней мере два элемента. Кольцо, противоположное телу, очевидно, снова есть тело. Тело называют коммутативным, если его умножение коммутативно; такое тело совпадает с противоположным ему. Некоммутативные тела иногда называют косыми. Коммутатпвные тела будут называться полями. Ф (61 тнлА Примеры аояей «). 1) Наиболее важными для математики полями являютси поле разаональнми чисел, которое будет определено в и 5, поле вещественных чисел и лоле помплепонми чисел, которые мы определим в «Общей тоэологииь (Общ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
